Appunti completi per l'esame di Teoria dei segnali (Parte 2)

E

I rect

Yule

f I 8171

asincl2fI

ftp.tslfl s SEgYEeg7I

mieta

ni p

Si consideri un segnale periodico s(t), con periodo 4T. Si calcolino i coefficienti dello sviluppo in serie di

I Fourier di s(t) A T

T I ET

T UT I

KESI

Si può fare con un integrale per parti

Però affrontiamolo con la prima formula di Poisson

SIE È

periodicizzata IE S

YK

SE 4T

e

y

È.SE IInfhiia

fase deriva

Faccio la derivata nel senso delle funz. generalizzate

Ho 2 discontinuità: per la prima passo da 0 a -a e per l’altra passo da a a 0

Iad

E EH

si valore costante E.xsincKtTC

di

salto A

getta

ImIII 7

9 aE.net

Ora faccio la TCF mese a I E www.a.mn

Eeee.IE

Il segnale di partenza era reale e dispari e questo

infatti ci viene immaginario puro e dispari

SE

ne K

i se PARI

IIIIIIIIIIIIIIFEE.EE

i seria

Basta arrivare QUI (non fare la distinzione per k pari e k dispari)

So già che Yk va a zero come 1/k perché è discontinuo

Proviamo a fare l’integrale per parti il dominio è simmetrico rispetto all’origine => scompare il coseno

E AFFARE d

AI

de

di L

e SINCZTKE

AI

YK J

Non considero tra -2T e -T e tra T e 2T perché lì la funzione è nulla

È di Sesindede

KE E

sin parti

per

integrale tosIIIIII

IIII

I

FETYA E T 2

HE => Ho ottenuto il risultato di prima (trovato con la derivata ecc)

15 81

azione

Esercizi E

rect

SIE rect t E

F e rect

rect

E rect rect

e

Ste rect

rect L

TE

Ivect 2

E d

recTK

E e ÉÉÈ

Great E 1

TEL k

2ITL

1 t

a 2

È

E È

e

E

Quando t >-1 il rettangolo rosso é entrato completamente nel rettangolo blu

III

somma E

1 2

2

11

2 1 2

I 1 pereso

14

assoluto

Senza la formula di Poisson devo calcolare i coefficienti C k

geeIIIIIL ECO

per

E ge

de_zffefe.at

fila

E e II c

Il

l te è 1 82

La funzione é continua => i coefficienti tendono a zero come 1/k^2

Viene reale e pari e infatti la funzione é reale e pari nel periodo

Lezione 16 83

Digitalizzazione dei segnali 2 di

Esempi digitali

segnali

Ripassiamo la classificazione dei segnali

Segnali tempo-continuo e tempo discreto

Caratteristiche dei segnali tempo discreto 84

Campionamento dei segnali a tempo continuo cioè

Teorema del campionamento Lo spettro del segnale campionato è

formato dalla sovrapposizione periodica

di infinite repliche del segnale originale

di partenza

Teriodiche

Pettine di delta: é come un interruttore

mi che si apre e chiude con frequenza la

frequenza di campionamento

no so 85

pettIIetta periodico

segnale

portandelodllogos

am r 1

CASO Effie p p Ion

intrody

fa CB

2 repliche

sovrapposizione

CASO

2 in Essere p

p

Teorema del campionamento (condizioni di Nyquist) Il segnale:

• deve essere a banda limitata

• deve avere frequenza di campionamento > 2B

Se però il segnale non è a banda limitata posso

amor limitare la sua banda con un filtro di anti-aliasing

Ricostruzione di un segnale campionato filtro

un

a

L passaba

Hei III I

Condizioni di Nyquist: L

GAETANI

77 si

nzion FC 2B

2

Se valgono queste condizioni posso considerare al

m

Madh posto del segnale i suoi campioni

la

solo

rimane centrale

replica 86

segnalericostruito sinfEIdt

Excuse n

y'so E enti end

ma

primitogtributi 120sinc 20

2 0

nella 7

sommatoria

solo i 1000

frendo e

Moe quantizzatore

TI pe sostII

I DOCENTI

Lezione 17

Dopo la quantizzazione posso scrivere il segnale come una sequenza di bit. Il campionamento sotto certe

ipotesi non introduce errore! Posso passare da un segnale tempo continuo a un segnale campionato infinite

volte, mentre la quantizzazione introduce SEMPRE errore.

Quanto più alta la frequenza di campionamento e tanto più costoso sarà il dispositivo.

Trasformata di Fourier per le sequenze Inizialmente vedo l’asse temporale come se

fosse ancora continuo, quindi posso far

partire il ragionamento applicando la

trasformata di Fourier in quel modo

I

soprammarieiniftenni

i di

alla

cioè normalizzata frequenza

campionamen

LI 87

ego a

Dopo aver campionato non possono entrare in gioco frequenze maggiori di f c/2 F

fc.F

T.IE f

ataF

z

g

TCWLT

Trasformata Inversa Dopo il campionamento abbiamo uno spettro

periodico -> può essere scritto come serie di

Fourier e i coefficienti sono i campioni stessi

18

Lezione

Convergenza parziale

Somma

Ztf

W Enlarged finito

valore

un

dim 88

G nieva uniforme

L

iiwl it

ieri L nIa

IE.IN

Feline

un

E EEIXINI

In e TI errore

segnale

p così

scrivere

si

può XMCFII'dF

XLFI

mlim.SI O

-> Se la sequenza ha energia finita esiste la trasformata di Fourier per sequenze

Operazioni tra sequenze, sequenze elementari

Ho una sequenza di durata L e una sequenza di durata M 89

ha bin ha 1

durata

acn M

L

la

Eh datata Delta di Dirac: funzione con proprietà integrali

Impulso discreto: mi dice che se lo applico a

una sequenza moltiplico per 1 il campione in

zero e per zero tutti gli altri

La delta discreta è l’elemento neutro della

convoluzione discreta

I Ottengo la delta se sottraggo al gradino unitario

il gradino unitario traslato di 1

Fo

WO TI

Teoremi sulla trasformata di Fourier 6 ESILIHÈ

90

Nel dominio dei dati campionati non riesco a vedere

frequenze superiori a f /2

c

Periodicizzazione e formule di somma di Poisson

professology del

teorema campionamento

Quando campiono non rispetto la prima condizione di Nyquist (il segnale non é a banda limitata) quindi

cambia lo spettro

Ricapitolando 91

Il campionamento può dare problemi

92

domada I

e

j.ee

Ricostruzione del segnale analogico

ma i

Interpolazione fatta con i sinc 93

Con questa formula ricostruisco perfettamente il segnale

Conversione D/A - ricostruzione ideale Formatore di impulsi: genera il pettine di delte (é un

blocco ideale)

Conversione A/D di segnale passa-banda Vediamo quale è la frequenza di

campionamento più bassa con cui posso

trattare un segnale passabanda senza perdere

informazioni

fa

foca dove

fa e lamaxeggiintervallo

Quando campiono a fc ottengo uno spettro periodico di periodo fc

ne

Lo spettro è correttamente orientato (non é ribaltato)

Se il segnale ha lo spettro ribaltato é un problema

Ribalto lo spettro moltiplicando per (-1)^k

Cioè moltiplico per -1 i campioni di posto dispari

amasse

si 94

Questo segnale occupa 200 Hz quindi la frequenza di campionamento

non potrà essere inferiore a 400 Hz (dalla 2° di Nyquist)

E fa Hz

920

È valore con cui riesco a campionare il segnale senza

perdere informazione

il 3,63 3

8

Prendo

K 1 in

intero contenuto

massimo

Quindi non posso prendere 4 sennò violo Nyquist

460720 920 K Z ribalto lo

non spettro

9207

È 720

307 95

Non ho bande di guardia tra l’origine e la prima replica

Non lo chiede mai di progettare con le bande di guardia, se chiede la

frequenza minima si fa come nel 1° caso

Lezione 19 BOSS fesab

80HZ

B

BOTTEGAIO Efesuss

K 41

MAGGIOR fa 37C

K 1 513

fc3160Hz 1Lfc4173. minimaFueq.di

campionamento

1

conf usucced questo

K è dispari 1 cit

1 Cosa succede se moltiplico ogni campione per (-1)^n

-> cerco la trasformata di Fourier per sequenze

Quindi quando moltiplico per (-1)^n, sposto (in frequenza)

D di una banda pari a fc/2 la banda del segnale

fa Quindi la moltiplicazione per (-1)^n ribalta lo spettro in

banda base, questa non è una vera moltiplicazione ma cambio

di segno i soli campioni di posto dispari non

chiede 9

vengon p c

TandapassanteI

bettata banffafisizio

Potrei, dato un segnale su basse frequenze, allocarlo su frequenze più alte? Devo scegliere il

campionamento opportuno di queste frequenze e dopo vado a filtrare via tutte le repliche tranne quella

che mi interessa

Conversione A/D con campionamento reale Se abbiamo qualcosa simile alla Delta (impulso molto ripido),

questa cosa mi da noia e quanto? 97

I segnali in generale hanno una banda limitata.

Il contenuto energetico delle alte frequenze é molto basso,

vorrei che non ci fossero segnali oltre una certa frequenza

EFIEenza ma se questo non succede elimino tutte le frequenze al di

sopra di un valore determinato con qualche criterio.

La nostra voce sta sotto 4 KHz

III Se non metto un filtro di antialiasing si verificherà una situazione di

questo tipo: il disturbo dà distorsione, sono in grado di dire quanto pesa

questa distorsione dovuta ad aliasing

Se sommo il contributo di tutte le repliche con k≠0 ottengo la

I

distorsione spettrale introdotta dal campionamento

I

GEES

SNR PIEFIIisnran.IE 30

I

Il segnale ha uno spettro reale e

pari, posso applicare Parseval ggi

distorsione DAGDA

rappysegnale

Sto considerando il caso in cui non ho il or

filtro di aliasing (non ho la frequenza di tattEEFIettosi

taglio) perché sto calcolando la

distorsione (definisco solo la frequenza di

campionamento) Attraverso il rapporto segnale-distorsione troviamo la

frequenza di campionamento

FE'EITE

repliche 98

Definisco f e trovo il rapporto S/D

c

Trovo la distorsione e l’energia del segnale

Ho un segnale a banda limitata, posso prendere una

frequenza di campionamento di 24 Hz

Ma ho trovato un campionatore a 20 Hz, violo la 2 di

1 7

20

sei ge Nyquist

Posso però trovare l’entità del disturbo

1

9 248

2,48100

2 ma

asthologio dB

lo dB 23,94

se volessi in

Tempo di campionamento non istantaneo non posso usare le delte

Introduco il circuito Sample and Hold, il

campionatore acquisisce la media del segnale su

un intervallino di durata tao

È

RECT Dobbiamo anche scalare l’ampiezza quindi moltiplichiamo per

Considero la convoluzione del mio segnale di pa