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SOLUZIONI ANALITICHE DELLE EQUAZIONI DI GOVERNO PER FLUSSI INTERNI
Abbiamo visto tre livelli precedentemente. Ora voglio definire delle equazioni analitiche per flussi interni, ci serve una formuletta per l'andamento all'interno dei condotti come arterie, capillari, vene ecc... ci sono anche tutti i dispositivi medicali che movimentano fluidi attraverso tubazioni, come i sistemi di supporto cardiaco per esempio. Anche se il sistema circolatorio non è fatto da condotti rettilinei rigidi a sezione circolare costante, l'analisi di questo tipo di flusso 'semplificato' può fornire buone stime e contribuire allo studio di sistemi complessi.
Cercheremo di trovare delle formule per applicarle poi a dei casi pratici (come Pouiselle). Pouiselle serve per rendere le cose valide rispetto a come funziona il flusso sanguineo.
REGIONE DI INGRESSO: con un condotto e inserisco del fluido nel condotto, quello che rappresento (immagine) è il profilo di...
velocità: sono le frecce che rappresentano la velocità in ogni punto. Immaginando un flusso non viscoso, al di sotto e al di sopra ci sono gli effetti viscosi. Il flusso accelera al centro, questo perché la portata è l'integrale della velocità sull'area. All'ingresso è tutto costante, ma al centro alcune zone vanno più piano e altre più veloce, quindi la portata media deve rimanere costante e allora si ha accelerazione. La regione del campo che fa sentire i suoi effetti di viscosità si chiama strato limite. La forma finale ad un certo punto non cambierà più, e si ha un profilo di velocità completamente sviluppato, che rimarrà così per sempre. La regione di ingresso è la zona compresa tra ingresso della tubazione e la sezione del profilo in cui non varia più. L'analisi dimensionale mostra che il numero di Reynolds è l'unico parametro che influenza.L'estensione della regione di ingresso: 34
Non so che relazione ci sia, ma la lunghezza adimensionale dipende dal numero di Reynolds.
In funzione di Reynolds, ho le lunghezze.
Si vede che a 1300 circa la linea nera rappresenta il primo andamento. Il valore rosso è più basso, quindi non sarà in mototurbolento. Sul disegno di prima dalle slides vedo l'andamento verde, che rappresenta l'andamento della pressione. La pendenza varia, ma esiste un punto in cui rimane costante, all'infinito, rappresentato da una retta. Questo andamento di pressione cambia percorrendo il percorso ma quando il flusso è completamente sviluppato, la pressione diventa costante.
FLUSSO PIANO DI COUETTE: descrive il moto di un fluido incomprimibile e newtoniano tra due lastre piane parallele indefinite, a distanza 2h, di cui una ferma e l'altra in movimento con velocità data V. L'ambiente è a pressione costante e trascuro effetti d'imbocco.
È alla base del funzionamento di alcuni viscosimetri (nel caso cilindrico spesso). Ora noi guardiamo lo spazio piano. Dalla conservazione della massa, equazioni di governo, tutte le derivate sommate devono essere uguali a zero. Ci sono delle ipotesi da cui partire che sono: - Moto bidimensionale nel piano xy - Piastre molto larghe e molto lunghe (il flusso è assiale, con velocità diretta solo verso x) - Moto stazionario - Fluido incomprimibile e newtoniano - Pressione costante e forza peso trascurabile Risulta che quindi tutti gli andamenti di y e z non servono e rimane solo x. La velocità è funzione solo della coordinata y, cioè varia solo lungo l’altezza del canale e con flusso completamente sviluppato: la velocità assiale lungo x è nulla. Ora vedo cosa succede nella conservazione della quantità di moto: Applicando le ipotesi descritte prima (vedo i colori nelle slides e cancello ciò che si può cancellare) esapendo che, dalla continuità, ho i valori come prima di ux (quello riquadrato) ottengo Sono passata da partial a d, derivata d, perché ux dipende soltanto da y, ho una derivata ordinaria non parziale. 36 Possiamo determinare le due costanti C1 e C2 che valgono V/2h e V/2 allora ottengo la soluzione del flusso di Couette dovuto ad una parete mobile che sarà: C1 e C2 sono due valori costanti e questa formula è una retta, y=mx+q. FLUSSO PIANO DI POISEUILLE: descrive il modo di un fluido incomprimibile e newtoniano tra due lastre piane parallele indefinite, ferme, a distanza 2h. la pressione varia lungo x, e trascuro l'imbocco. Applicando anche qui la conservazione della massa, con le stesse ipotesi di adesso, ottengo sempre che la velocità di x varia solo lungo l'altezza del canale. Ora ho una parabola, non una retta. Le uniche ipotesi diverse sono la P che varia e le lastre che sono ferme. Applicandole tutte ottengo dei pezzi in più rispetto.aprima.Se faccio le stesse considerazioni su y e su z questo nonvaria. Se ho due quantità uguali e una varia per x e l’altra per y, allora per essere ugualidevono essere uguali entrambi alla costante (che sappiamo essere negativa). Il profilo divelocità deve avere una concavità negativa (motivo per cui è disegnato così).integrando poi una volta, e successivamente un’altra volta,ottengo un risultato con C1 e C2, da cui posso ottenerli:con la stessa procedura applico e trovo C1 e C2da cui ottenendo la soluzione per il flusso inun canale dovuto ad un gradiente di pressione37Ho un valore parabolico avendo i valori al quadrato, il cui massimo è per y=0. Dal profilo divelocità possiamo calcolare altri parametri utili:- Sforzo tangenziale a parete per un fluidonewtoniano- Velocità media (con b la larghezza del canale):38 15/11/21LEZIONE 9: continuazione e viscosimetri con cenni di reologiaIL FLUSSO LAMINARE IN UN CONDOTTO
CIRCOLARE
Si parla di soluzione di Hagen-Poiseulle ed è una delle più utilizzate. È un adeguamento delle condizioni precedenti, ma applicate nel piano circolare. Posso calcolare la stessa cosa di prima usando:
- Un angolo teta
- Una velocità radiale
- Una velocità assiale
Dall'appendice poi ho tutte le formule di prima ma con coordinate cilindriche, che sono un po' più complicate, ma utili. Come vedo dall'immagine, ho ora una velocità assiale, una radiale e una circonferenziale (che dipende da teta). Per ipotesi la radiale è nulla, la circonferenziale è nulla, e l'unica variabile è zeta.
Quello che ottengo è in funzione di r, quindi varia tutto rispetto ad esso. Analogamente faccio tutto quello fatto prima con queste coordinate e avrò la possibilità di calcolare il profilo di velocità anche qui: introduco la caduta di pressione, Ap a cavallo del condotto di lunghezza L, e
Possiamo calcolare altri parametri:
- Velocità massima del profilo u (r=0): z
- Portata volumetrica Q: 39
Ho qui un integrale di superficie che lo posso rendere singolo. dA avendo R, prendo un dR, una variazione infinitesima, che è una grandezza, se la moltiplico per 2πr allora ottengo una corona circolare. Con l'integrale quindi sommo la velocità angolare dal centro fino alle pareti. Per un fluido newtoniano, come prima, valgono anche:
- Se conosco la portata volumetrica e divido per l'area trovo la velocità media sulla sezione
- Sforzo tangenziale a parete per un fluido newtoniano
IL FLUSSO LAMINARE TRA DUE CILINDRI ROTANTI
Mi servono per un calcolo più pratico, per arrivare diremo ad un viscosimetro molto più reale, e non solo teorie. Questo è l'analogo di poiselle con due tubi in rotazione e in mezzo il fluido. Se ne fermo uno è Couiette, ma ora li muovo entrambi. Definisco una velocità angolare interna ed esterna.
Ri ed Re li conosco, trascurando gli effetti ai bordi. Immagino che siano dei cilindri lunghissimi e questo ci permette di dire che la velocità assiale è zero. Essendoci simmetria assiale anche la velocità radiale sarà nulla e tutto dipenderà dall'avariazione di velocità circonferenziale. La velocità che dipende da θ, varierà solo ed esclusivamente in base al raggio. Applicando l'ipotesi introdotta posso ottenere un profilo di velocità: ipotizzo il cilindro esterno nullo, vedo quando è un flusso laminare con Re<1700 ed il profilo di velocità risulta: la velocità è solo in relazione alle proporzioni geometriche. Calcolo poi lo sforzo tangenziale che ci serve per capire le perdite di attrito, e anche per calcolare i momenti. Così mi servirà per calcolare la viscosità. Avendo lo sforzo allora posso calcolare il momento M necessario per far ruotare un cilindro di lunghezza L: basta.andare a definire in maniera corretta lo sforzo, quindi Ri interno mi rappresenta il raggio a tutti gli effetti, mi interessa quindi poi la superficie laterale. Aumentando ora il Ri e avvicinandolo ad Re quindi rendendo molto piccola l'intercapedine posso definire un delta e il profilo di velocità tende ad un andamento lineare, e ora lo dimostro: 41in cui definisco la coordinata y = Re-r. r è la posizione di un punto generico, che vale nella zona azzurra tra Re e Ri, che si muove in direzione opposta rispetto al raggio interno. Voglio scrivere tutto in funzione di y. Essendo l'intercapedine molto piccola Re=Ri circa allora possono valere uguale ed essendo y<VISCOSIMETRI E CENNI DI REOLOGIA
Sappiamo che esiste un legame tra gli sforzi e con le equazioni di conservazione le abbiamo espresse con le x y e z con lo sforzo. Dobbiamo in qualche modo legare sigma e tau. Posso raggruppare gli sforzi e i sigma all'interno di un tensore: 42
Abbiamo modellato tutte le tau con questi calcoli arrivando ad un legame tra questi due termini legame costitutivo. Con un flusso semplice di puro scorrimento monodimensionale come in figura, il tensore degli sforzi si semplifica significativamente con u che ha un andamento solo assiale (su x): Con quell'ultimo valore che è la velocità.
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