Appunti completi corso Bridge Theory and Design

Lezione 21/09/22

Concetti generali sui BC's

Vediamo ora cosa riguarda i BC's (Boundary Conditions) e come possono essere espressi in termini di quantità statiche o cinematiche. Affronteremo il problema in termini generali: in generale, per una piastra, devono essere soddisfatte 2 BC's su ciascun bordo. Queste condizioni possono essere espresse in termini di deflessione e rotazioni. Il taglio non è menzionato perché per il taglio sorgerà un nuovo concetto per le travi.

Considerazione dei bordi

Esempio: consideriamo un bordo incastrato lungo l'asse x, un bordo supportato lungo x ad una distanza dall'asse y, e abbiamo un bordo libero lungo l'asse x ad una distanza b da x, e lungo l'asse y abbiamo una trave di irrigidimento. Questo fornisce un certo supporto.

Statiche e cinematiche del problema

Vediamo come questo può essere gestito. Guardiamo ai 2 C-S: il primo a sinistra è collegato con una trave di irrigidimento. Supponiamo ora di avere una piastra rettangolare e prendiamo un lato (es. il lato a distanza b) in modo che i BC's che dobbiamo mettere siano in termini di deflessione e rotazione:

Considerando la deflessione, è data da w(x,b) = w(x) (quindi imponiamo che w assuma una funzione prescritta). Per un bordo fisso, la deflessione è zero. Guardando la rotazione attorno all'asse x pensiamo a β (beta y nella teoria di Kirchoff è definita come:

In questo caso dobbiamo imporre che la rotazione assuma una funzione bersaglio prescritta. Anche in questo caso, se abbiamo un bordo fisso, la rotazione sarà zero. Naturalmente, non abbiamo solo rotazione lungo y ma anche lungo x: ma imponiamo solo y perché sono dipendenti l'una dall'altra.

Quindi, quando prescriviamo la deflessione lungo un lato parallelo all'asse x, allora la direzione x è prescritta.

Problema statico

Guardiamo ora al problema statico: (abbiamo un'indeterminazione nel problema) forza di taglio efficace: guardando questo C-S nel piano x-z, consideriamo lungo il lato della piastra una serie di segmenti infinitesimali adiacenti e osserviamo i momenti torcenti di ciascuno di questi segmenti. Guardando il momento torcente del primo segmento, abbiamo il momento torcente M dx. Considerando il segmento adiacente, abbiamo un incremento poiché ci stiamo muovendo lungo l'asse x.

Condizioni di contorno statiche

Quindi abbiamo 2 momenti. Rappresentiamoli come una coppia di forze. Abbiamo 2 forze, una verso l'alto e una verso il basso. Il valore di queste forze è il momento diviso per la lunghezza:

Concentrandosi ora sull'interfaccia tra i 2 segmenti: abbiamo una sovrapposizione delle 2 forze. Sommando questi componenti, abbiamo un componente sbilanciato che è la prima derivata del momento. Questo significa che guardando il segmento centrato all'interfaccia, al centro abbiamo una forza verso il basso.

Quindi, guardando questo punto e se vogliamo conoscere il risultante di stress in termini di forza di taglio, abbiamo:

(questo comportamento è molto importante nel design).

Condizioni statiche BC's

Quali sono i BC's statici? BC's statici: dobbiamo imporre la forza di taglio efficace (ESF): (I BC's cinematici sono espressi direttamente in termini della funzione w e possiamo collegare w a ESF). = 0, i BC's statici si applicano direttamente al puro taglio.

Abbiamo una situazione particolare in cui, quando Mxy. Questo accade nel caso di flessione cilindrica:

Esempio di applicazione

BC's omogenei:

• Bordo fisso: abbiamo 2 condizioni cinematiche e nessuna statica. Questo implica che w (x,0)=0. Avere w = 0 implica βy=0 (poiché è una conseguenza dei BC's (deflessione) e = 0 (rotazione) sul supporto).
• Bordo semplicemente supportato (x=a): per questo abbiamo un mix di BC's cinematici e statici. Non possiamo dire nulla sulla rotazione. Il momento è legato alla seconda derivata di w.
• Bordo libero: abbiamo solo BC's statici. Poiché le quantità sono tutte uguali a zero, sono BC's omogenei.
• Quando abbiamo una trave di irrigidimento che non possiamo prescrivere per questa funzione un valore prescritto, ma dobbiamo imporre la compatibilità tra la piastra e la trave di irrigidimento. Questo porta a BC's non omogenei.

Caratteristiche della trave

Consideriamo la trave caratterizzata da una rigidezza flessionale (EI)b e una rigidezza torsionale (GJ)b: per la trave di bordo abbiamo 2 condizioni: la deflessione deve essere uguale per la piastra e per la trave (deflessione della trave = wb): quindi abbiamo la condizione βx. Questa deve essere una rotazione torsionale.

La conseguenza di ciò è che possiamo esprimere una condizione anche per βy: questo riguarda i BC's statici. Riguardo ai BC's statici dobbiamo avere:

Reazioni all'angolo

Reazioni all'angolo: abbiamo alcune forze specifiche che possono sorgere negli angoli a causa del nostro modello fisico. Queste forze tipicamente hanno la stessa orientazione del carico. Per capire questo guardiamo ai bordi esterni della figura e dividiamo la figura in segmenti infinitesimali. Sostituiamo ogni momento generato con 2 forze (una verso l'alto e una verso il basso). Queste tengono conto dei momenti positivi. Considerando i momenti positivi, le 2 forze associate alla variazione del momento torsionale sono caratterizzate dalla stessa orientazione.

Questo è importante nel design. Riguardo al verso delle forze, le reazioni sono considerate positive se verso l'alto. Tuttavia, se cambiamo l'angolo, il verso delle forze cambierà. Quindi per questo dobbiamo guardare anche alla posizione degli angoli. Quindi possiamo definire:

Dipende anche dal segno del momento torsionale: se il momento torsionale è positivo, la reazione è verso l'alto e viceversa.

Forze di taglio sul contorno

Forze di taglio sul contorno: supporto per avere come in figura una piastra semplicemente supportata con una forza. I momenti normali al lato sono zero, ciò che abbiamo sono le forze di taglio efficaci. La distribuzione di queste forze avrà un valore massimo lungo la metà della trave e un valore zero all'angolo. Mostreremo che il momento torsionale sarà negativo in alto a sinistra e lo stesso sul lato opposto. E negativo sull'altro.

Osservazioni

• Le reazioni agli angoli sono auto-equilibrate con una porzione della forza di taglio efficace (ESF): quindi, se abbiamo un carico verticale P supportato da ESF e abbiamo reazioni verso il basso, ESF deve bilanciare anche le reazioni agli angoli e non solo le forze.
• Se la reazione è verso il basso, per far sorgere questa reazione il supporto deve essere bilaterale: questo significa che a causa della forza, gli angoli tendono a sollevarsi. Per evitare questo sollevamento dobbiamo garantire di avere una connessione forte agli angoli, utilizzando un supporto bilaterale. Per evitare il sollevamento, dobbiamo usare rinforzi.
• Quindi dobbiamo avere che: R < A fS y

Lezione 20/09/22

Modello cinematico

Piastra: elemento strutturale per cui 2 dimensioni sono >> della terza (lo spessore). Ci riferiamo al piano medio nella configurazione deformata. Nel piano medio definiamo il nostro sistema di riferimento. Quando applichiamo un carico esterno, la piastra si deforma e la superficie deformata è considerata come una superficie media.

Ipotesi del modello cinematico

Iniziamo con il modello cinematico e introduciamo l'ipotesi: dopo la deformazione, il segmento rettilineo è ancora rettilineo ma non necessariamente normale alla superficie media. Quindi trascureremo la deformazione da taglio ma la deformazione da taglio nel modo medio deve essere presa in considerazione. Guardando al sistema di riferimento, il modello cinematico è associato a 3 componenti di spostamento per descrivere la deformazione del corpo. Questi u,v,w sono gli sconosciuti del problema.

Tuttavia, in piegatura non ci piace usare la funzione di spostamento, ma usiamo quantità globali, in cui consideriamo le 2 rotazioni βx e βy.

Comportamento del modello cinematico

Guardando l'elemento della piastra nella configurazione deformata nella figura, abbiamo una rotazione βx. Come usare questa rotazione invece dello spostamento? Come conseguenza dell'ipotesi della normale diritta, lo spostamento "u" a qualsiasi livello z può essere scritto come la rotazione βx distanza dalla superficie media (z), e lo stesso per l'altro componente di spostamento:

Quindi vediamo che le 2 funzioni di spostamento dipendono inizialmente da 3 coordinate. Ma dopo l'ipotesi, βx e βy dipendono solo dai punti sulla superficie media (su 2 coordinate x,y) e la dipendenza da z è lineare a causa della nostra ipotesi.

Quindi, se siamo in grado di definire βx, possiamo definire direttamente u. Che dire di w? Assumiamo che la funzione di spostamento w sia la stessa per qualsiasi punto sopra lo spessore della piastra. Quindi w per un volume 3D dipende da 3 coordinate, ma per il nostro caso non dipende da z. Quindi, per risolvere il problema, possiamo sostituire u,v,w con le coordinate generalizzate.

Equazioni di compatibilità

N.B! Per risolvere un modello cinematico, dobbiamo imporre compatibilità, equilibrio e legge costitutiva. Le equazioni di compatibilità collegano i componenti di deformazione interni alle funzioni di spostamento (Epsilon = strain, gamma = deformazioni da taglio). γxz e γyz derivano da 2 contributi diversi. Una rotazione e una derivata della deflessione. Questo mette in evidenza che possiamo definire le 2 rotazioni βx,βy come la somma di 2 contributi, uno derivante dalla deformazione da taglio e uno dalla variazione della deflessione. Abbiamo un segno meno perché quando guardiamo la variazione di w rispetto a x, il segno meno è associato alla convenzione del segno.

Approccio generale

Questo è l'approccio più generale applicabile a piastre spesse e sottili. Poiché lo spessore si riduce, il contributo della componente di taglio si riduce, nel nostro caso tanto che è trascurabile. Poiché questa trascuratezza ci dà una teoria più semplice, questa è sviluppata come una formulazione speciale, secondo l'ipotesi di Kirchhoff-Love (questo può essere applicato in ogni caso in cui le deformazioni da taglio sono piccole, quindi solo per piastre sottili):

In questo caso, poiché u,v sono derivati direttamente da w, l'unica incognita è w, quindi il problema è molto più semplice. Guardando di nuovo alle deformazioni generalizzate per questo caso:

Equazioni di compatibilità e legge costitutiva

Queste sono le equazioni di compatibilità. Per comprendere meglio il significato delle derivate seconde, introdurremo quantità correlate ai momenti di flessione e ai momenti torsionali (curvatura di flessione e curvatura torsionale).

Resultanti di stress

Resultanti di stress: Ora sviluppiamo l'equilibrio: Supponiamo che le tensioni = 0 (in realtà no, ma poiché sono associate all'intensità del carico applicato nella direzione verticale che è molto più piccola delle tensioni che sorgono sul piano, possono essere considerate trascurabili). Abbiamo solo 5 componenti di tensione indipendenti: Avere γxz e yz = 0 non significa che le tensioni corrispondenti siano = 0!!

Distribuzione delle tensioni

Se vogliamo vedere la distribuzione sullo spessore delle componenti di tensione, consideriamo un materiale elastico lineare, quindi le deformazioni variano linearmente sullo spessore e poiché abbiamo un materiale omogeneo, abbiamo una variazione lineare delle tensioni. Sappiamo che sigma può essere definito come una costante xz. Dobbiamo trovare questa costante e collegarla al momento punto per punto: Il valore di 'a' che otteniamo è esattamente il momento d'inerzia di una sezione rettangolare. Possiamo fare lo stesso per sigma,y e sigma,z.

Comportamento delle componenti di taglio

Che dire delle componenti di taglio? Le tensioni da taglio lungo lo spessore variano secondo un profilo parabolico perché avremo, riguardo alla distribuzione delle tensioni da taglio, alcuni BC's (le tensioni da taglio in alto e in basso devono essere = 0. Inoltre, non avremo una distribuzione non simmetrica, perché se è simmetrica, la derivata dello stress sullo spessore alla metà della campata è = 0 e quindi avremo 3 condizioni).

Tensioni da taglio medie

Tensione da taglio media = Forza di taglio / Spessore. Questa procedura può essere ottenuta anche tramite equilibrio diretto. A questo punto scriviamo le equazioni di equilibrio in termini di resultanti di stress e non in termini di tensioni puntuali (questo è il motivo per cui facciamo tutti i passaggi preliminari): Nel passaggio iniziale, quello che abbiamo fatto è sostituire nelle derivate le funzioni in termini di resultanti di stress interne.

Equazioni di equilibrio

Facendo questo otteniamo equazioni in termini di resultanti di stress (a destra). Per le 3 equazioni abbiamo la coordinata z coinvolta e vogliamo cambiare questo e quello che possiamo fare è: prendiamo questo e integriamo sullo spessore. Facendo questo, dividiamo l'integrale in 2 parti. Il secondo termine è un componente di forza volumetrica, forza x unità di area (=p= carico fuori piano). Riguardo all'altro integrale, Qx e Qy non dipendono dallo spessore e possono essere presi fuori dall'integrale.

Osservazioni sulle equazioni di compatibilità

• Le equazioni di compatibilità sono scritte in termini di deformazioni generalizzate, curvatura di flessione e curvatura torsionale;
• L'equilibrio è scritto in termini di resultanti di stress (momento di flessione, momento torsionale e forze di taglio).

Leggi costitutive

Ora dobbiamo metterle insieme usando le leggi costitutive. Le leggi costitutive devono tenere conto della natura del materiale. Partiamo dal caso isotropo: Scrivendo le leggi costitutive usiamo G = modulo di taglio. È più conveniente perché usando G è direttamente correlato a tau, gamma xy. Il passo successivo è sostituire la relazione che abbiamo trovato tra sigma,x, sigma,y, sigma,xy e i resultanti di stress Mx, My, Mxy. Facendo questo possiamo scrivere: D = rigidezza flessionale della piastra.

Rigidezza della piastra

NB! La rigidezza di una piastra è generalmente maggiore della rigidezza di una trave e questo è il motivo per cui definiamo E'. Questo perché la rigidezza di una striscia di unità di lunghezza sarebbe E / momento d'inerzia della sezione. Tuttavia, per una serie di strisce, cooperano e quindi abbiamo una rigidezza maggiore. Questo è messo in evidenza con la presenza in E' dell'effetto di Poisson.

Integrazione e soluzione del problema

Ora abbiamo compatibilità, equilibrio e, per un materiale isotropo, le leggi costitutive. Mettendole insieme: se le integriamo possiamo ottenere la soluzione del problema in termini di w, e da w possiamo ottenere tutto.

Caso di piastra isotropa e ortotropica

Questo è per il caso di piastra isotropa. Come può essere scritto per il caso di materiale ortotropico?

Equazioni governanti per piastre ortotropiche

Equazione governante caso ortotropico:

• M M 2w 2w_X YXQ = + M = −D ( + )_X X x x y x2 y2
• M M 2w 2w_XY YQ = + M = −D ( + )_Y Y Y x y y2 x2
• Q Q 2w_X Y+ = −p − 2D = Mxy_XY{ {x y x ∂y2wχ = −X x22wχ = −y y22wχ = −2xy{ x ∂y

Combinando tutto otteniamo:

4w 4w 4w + 2 + = x4 x2 ∂y2 y4. Per piastra isotropa: Dx= Dy= H = D. Dove: 2H = 2(2Dxy + v Dy)x.

Piattaforme ortotropiche

Per piastre ortotropiche:

Lezione 27/09/22

Deformabilità trasversale del ponte

Muovendosi dall'alto verso il basso, la deformabilità trasversale della trave aumenterà. Maggiore è la flessibilità trasversale, più complessa sarà la risposta.

Modellazione del ponte

Modellazione del ponte: solitamente i travetti trasversali sono prefabbricati. Dal punto di vista statico, questi possono essere considerati come piastre ortotropiche. Inoltre, l'ortotropia non è dovuta alle caratteristiche del materiale ma alla tecnica costruttiva. Chiamiamo questa ortotropia costruttiva. Il punto chiave è che il parametro geometrico che governa l'analisi è lo spazio tra le travi, perché cambiando gli spazi cambiamo la larghezza di competenza della trave. Man mano che lo spazio si riduce, poi la griglia diventa sempre più vicina.

Equazioni ISO, orto e grigliate

Guardando alla piastra ortotropica, abbiamo 4 contributi: abbiamo lo stesso contributo in tutti i punti D = rigidezza flessionale della piastra isotropica. Anche in questo caso, abbiamo lo stesso contributo, ma il peso dipende dalla corrispondenza tra x,y.

Con le griglie vogliamo sviluppare un'analogia come in precedenza trattando il problema come una piastra ortotropica. Dobbiamo sviluppare coefficienti di rigidezza equivalenti denotati come ρp, ρ (rho)e per analizzare il comportamento della piastra risolvendo la stessa equazione differenziale della piastra ortotropica.

Questi coefficienti sono differenziati per le diverse proprietà della trave perché il materiale è considerato isotropico. Guardando ai travetti trasversali, il peso totale è 2b. bi= spazi tra travi longitudinali. Dobbiamo caratterizzare la risposta meccanica di ciascuna trave definendo proprietà (materiale e geometria). Abbiamo bisogno del modulo di Young e delle proprietà della sezione trasversale (momento d'inerzia). Per la rigidezza torsionale abbiamo bisogno di G.

Equazioni differenziali per griglie ortotropiche

Dopo questo, possiamo derivare tutti i dati del problema. Come possiamo sfruttare l'equazione per piastre ortotropiche per ottenere i resultanti di stress? Iniziamo da:

Questi sono momenti di flessione (forza per unità di lunghezza) (Dividendo tutti i momenti in alto per gli spazi corrispondenti). Questa nuova rigidezza (per unità di lunghezza) è definita come:

Se abbiamo diverse C-S per travi longitudinali e trasversali, abbiamo una rigidezza diversa. Se le C-S sono le stesse a causa dell'ortotropia costruttiva, abbiamo 2 diversa rigidezza torsionale γp, γ E.

Se queste sono le nostre relazioni, per analogia possiamo collegare le 3 equazioni nella pagina precedente. Possiamo anche collegare i momenti con le forze di taglio, con l'equilibrio (trascuriamo le deformazioni da taglio a causa dell'ipotesi di Kirchhoff, ma le forze di taglio non sono =0).

Sostituendo in questi i momenti di flessione e assemblando in un'unica equazione, otteniamo l'equazione differenziale governante per la griglia ortotropica:

Denotiamo come: γ,p γ,e. Per valutare un contributo torsionale, abbiamo e se sono uguali o hanno valori diversi la somma è uguale. Quindi la cosa importante è che la somma sia la stessa. Quindi il comportamento torsionale dipende dalla somma dei 2 γ.

Per alpha = 1 abbiamo un fattore di Poisson equivalente. Quindi il comportamento della griglia di travi è governato dai resultanti di stress interni:

Soluzione per piastre ortotropiche

Vogliamo vedere come sfruttare la soluzione per piastre ortotropiche: vogliamo calcolare i resultanti di stress interni quando applichiamo un carico, vedendo come le diverse travi contribuiscono a sostenere il carico.

Consideriamo una griglia ortotropica, una piastra rettangolare supportata ai 2 estremi. Questo rappresenta una griglia di travi. Consideriamo un carico lineare sinusoidale. Questo carico può essere semplice da analizzare e qualsiasi funzione di carico può essere espressa in termini sinusoidali attraverso una serie di Fourier, quindi questo è il motivo per cui questo carico è molto importante. Sfrutteremo il principio di sovrapposizione.

La differenza tra considerare un carico lineare e un carico distribuito è che nel primo caso la piastra si comporta come una trave. Questa differenza rappresenta l'attitudine della piastra a comportarsi in maniera rigida nella direzione trasversale.

Seguiamo lo sviluppo passo dopo passo: la soluzione a un carico sinusoidale è rappresentata da una funzione sinusoidale. Immaginiamo che il carico sinusoidale sia definito come sinistra. Supponiamo che il carico sia applicato rispetto all'asse del ponte e con un'eccentricità e.