Appunti AxI

BOTTOM-UP

TECNICA RISOLUZIONE

DI : 1 Proprietà sotto

di struttura

QUANDO PUNTI

APPLICARLO CHIAVE

- : 2) RIPETERE

si

sottostanze

le devono

generate

3) RISTRETTO

deve

delle utilizzabil

sottostanze

lo

epazio essere

MEMOIZZAZIONE di IBRIDO

X

algoritmo Approccio

un =

[INIT X]

FASE NON i

1 casi

RICORSIVA

procedura base tabella

che risolve mette

le nella

: e

-

(REC X]

FASE RICORSIVA implementa

2 la di struttura

sotto

procedura che

: pr

- . è

soluzione

tabella vedere qua

un'istanza controlla presente

quando invocata la per una

se

su

presente quella

* soluzione

ritorna

>

- (che salvatal

CONQUER

> fasi RECURSE

DIVIDE ritornare soluzione

presente verrà

* una

non per

- , , itts))

ESES

(RECALL

PROBLEMI S(i)

OTTIMIZZAZIONE

def ad

DI delle i

: soluzioni

Insieme associate :

istanza

un

: =

:

S-R

MINIMIZZAZIONE

problema di

MASSIMIZZAZIONE funzione

de C

rispetto ad costo :

= O una (max][c(s) ses(il)

ES(i) c(s )

*

SOLUZIONE

trovare *

problema alla

rispetto funzione

risolvere OTTIMA

el costo

S

= min

:

una :

=

def OTTIMA

SOTTOSTRUTTURA

PROPRIETA' DI

: s* di

relazione

struttura problemi ottima

proprietà i

un'istanza tagha

soluzione

ottimizzazione

de tra

di per es

= s

soluzioni ottime piccola

n di

no taglia

istanze più

e a

..., IM CUT-AND-PASTES

D

(PASSI) ASSURDO

PARADIGMA : + C

DP

① r)

(S *

SOTTOSTRUTTURA relazione *

PR base

di

DI soluzione taghano

S caratterizzazione istanze

con

> con ....,

. (S)

(c(S

② RICORRENZA)

/ f *

) )

<(s

COSTO i

OTTIMA

DELLA *

tra

relazione

SOL tipo

corte

>

= = ...,

,

.

② SE)

*,

(S DA

INFO AGGIUNGERE

*

STRUTTURALE

ADDIZIONALE solo

Info S da

costruire

per se

: .

. . , STRUTTURA

la

③ Interessa

MEMOIZZATA)

Co

)

C(S

CALCOLO DOWN

* TOP

BOTTOM UP

Calcolo

DEl COSTI oh

> della sol ottima

8 .

CALCOLO INFO ai

ADDIZIONALE concorrentemente Corte COSTO

(spesso il

solo

interessa

STRINGA

def : *

Exc Xm] I

Z

Z XiEZ lunghezza

l'insieme X

è finita

de

stringhe

alfabeto

dato stringa

una con en

e

= ....,

,

& = vuota

stringa e)

(Xo 1)

(X1 im

Xi) X

Xi PREFISSIo = =

= =

,

.

.

.

, , =

(x

Xi + e)

M

(Xi Xm) )

i X

SUFFISSI ou

1

< m +

= = =

.,

. .

, ,

Xiji xj) Tijam Olma

egottoStringa sotto

X

di MAX stringhe

di :

...,

, isj

E jesoneddisumacresan

SeaX :

Il

(z Zr)

z #

c j di

MAX

=X sottosequenze

,

Zi

= ji >

-

, ..., ,

OSS Li i j)

Xi anchez el

e' vale

1 viceversa

+

...j con non

ma

: , ...,

, (interessa STRUTTURA)

APPLICAZIONE DEL PD LCS COSTO

: e

<31

(X1

PROBLEMA Yn)

Y SUBSEQUENCE

LONGEST

Er)

(E) COMMON

X Xm) determinare z

date =

e

= =

=

.,

. ...,

. ., ,

.

, . ,

,

7 massimal

Y lunghezza

sia

sottosequenza de de de

X che

LCS(X y)

X

②1) 20Y PREFISSI

z E

2

= = =

= &

, -

Y)

(X (Y'

,

1) a) (CS(X (X) X)

Y b)

X ab- RELAZIONE

(CS

lunga

Z sottostante

tra Istanza

> più

Stringa e

= e =

= = e ,

, ,

, [LCs(Xi Objen] Alm n)

Yj) Oxiem

prefissi -tagua

SOTTOISTANZE

DELLE

SPAZIO oh

: :

coppie .

, ,

Yn) Y)

(CS(X

(Xm

SOLUZIONE (CS

trovare

da : = ,

,

[P ) Yi) (E

S 0 ER)

(Xi

Y

Yj prefission X LCS

e maz

Xi ,

=

=

. . ,

. . .

, . ,

,

1) i 0 z E

00j >

-

se =

=

= 1) )

(L2S(Xi

1)

(CS(Xi Yj

z

(d)sexi Xi y

2) Yj -

y; ezr

ej0 Xi

>0

i Y Er j

-1

= =

>

- 1

se -> =

= = 1

=

i ,

-

,

& -

-

- , argmax[/LCS(Xi-e Yj-1))]

Yi))

(6) (s

(Xi 1)

Yj)

(CS(Xie (i

Yj

più tra (CS

lunga E

XiFy z

se >

-

e

>

- = =

: ,

, , ,

,

#M assurdo

: per = / Yi))

② (25(Xi .

e(i LCS(Xi

j)

def

COSTO Yj)

LUNGHEZZA runghezza 0

.

P

della S

stringa Applicando la ottengo

- :

= :

, .

, .

,

0)

(i 0)v(j z

I E

O =

=

= 1)

i) (CS(xi

e(i n(j)0)n(xi

7)

(i (iso) yj) z yi)

1 Yj

& j

1 Xi

+ = 1

- =

=

- -

=

, - ,

,

, argmax(/L2s(Xi-e Yj-1))]

Yi))

-1)) 125

(50) (xifY

(iso) )

e(i

max(e(ie j) (i

z

j n n =

j ,

, ,

, ,

,

& j)

bli (CS(Xi Yj) sottostanze

strutturale delle

funzione

informazione necessaria ricostruire in

= a

, ,

(j

(i 0)

0) V

BASE : informazione

nessuna necessaria

=

= 5-1)-o j)

(i (i-1

, ,

(IFO)V(jf0) ·

Yj)

LCS(Xi

bisogna QUALE

NON BASE determina /

I

tenere de

tracua sottostanza

: , 01

"A "

Xi)

<LCS (Xin -1)

2) j)

bli

Yj

z

Xi 3j

se =

= = , 1)

, , (i j -

" , .

(CS(Xi " ·

*

Yj)

b) Xz j)

bli (i j)

Xi + Y 18

se = - =

j ,

, ,

(CS(Xi "I "

Yj-1)

z j)

bli

= =

, , n]

n]

UP)

⑤ blo

③ 10

(BOTTOM BIDIMENSIONALI addizionale

TABELLE cost 0

0 info

m

due

rso m

+ e =

=

: ,

, ...

... ...

...

(i-1 -1) (i

(1-1 eli

-1)

(i j) i)

j)

l'elemento devono

al

dipende dalle de

celle calcolate

risolvere qua

>

- momento esere

in ,

, ,

,

, , , eli j] er(i

eli-1 j-1] -1)

5

le sottostanze

DIPENDENZE

GRAFICO : ,

,

,

,

j)

(i

1)

(i (forto

j -1 (forri

-1 )

2 )

- SCANSIONE bene analizzano

, major perché

comm

, row major vanno

e

:

> ... ...

1 ⑳

· /

I 3 (i

j] (i-1 j)

(i diagonale NO

ultimo

& j) dopo

ROW mentre

per ,

, ,

,

MAJOR O

BASE

CASI colonna

riga e

:

4

-

3 >

(i j)

j-1)

(i 2 ,

, v

. MAJOR

COLUM > LCS

tutta lunghezza

restituisce b la

la della

tabella e

7 , .

Vero o

tabella di

le LCS

che sulla

contiene struttura

la informazioni

l'effettiva stringa

stampare

per

↳ ANALISI

SOTTOSTRUTTURA

PR

sulla

basato . n) 0(m

T(m n)

+

=

"k" ,

1)

j] Xi]

(LCS(Xi

Yj)

b(i (CS(Xi Yj

1

:

= =

, - -

, ,

,

[i j] (CS(Xi

"1" Yj)

(Xi

Yj)

b (CS

:

= = 1

, -

, ,

" 7"

b(i j) (S(Xi 1)

(Xi

Yj) Yj

(S

:

= =

, , , -

=

m)

T(

ANALISI m

: ALGORITMO MEMOIZZATO

, j)

(CASO Fi

PESSIMO XifY

DOC

IPOTETICO : ,

( (m 0)

0)u(n

(m

m)

T(n =

=

=

, 1)

+(m

n) 1

1 +

n altrimenti

+ -

- ,

,

n

m

per = 2T(n

(n n) 1)

T SENTINELLA

1

n

1

> +

- -

, , + "-1"

2i salvata

Istanza

INFOLDIN

-

> (n non

1) =

+ c n -

- ,

nk 2

(n

T =

, ISTANZE

ALCUNE può far risparmiare

per >

si e

TOP-DOWN risparmiano

:

- (i-1 j) (i 1)

Chiamate j

e

Xi yj -

,

= ,

- j)

(i-1

BOTTOM-UP sapere

può e

non se ANALISI

: ,

(i j-1) utele

saranno si

T(m n) al UNA

n calcolano VOLTA

em tutte le

peggiore

, caso n m

.

, .

RISPARMIO FORTE SIMILI

stringhe base

di

sotto istanze

= non

per (interessa STRUTTURA)

MCM

APPLICAZIONE DEL COSTO

PD e

: =

CEpKr

(INTRO) eBeqPr

COMPATIBILI AEpKa

MATRICI AxB irbaj

def Per C

si definisce con

sono ese cij

: = ,

. (A

OBIETTIVO CATENA An

COMPATIBILI

Moltiplicare DI MATRICI

: una , ...,

#

(Ait1) 1xicn-

comms(ti) 1 parametri dimensioni

Me

n

> rappr

+ per .

=

rows

= ,

Pi -

)n

(Po (N

↑ (in)) +

(A1) colums t

rows Pn

= Pr

= =

...,

, .

x(A2xAz)

(A

((A xA2) XAz)

RECALL 3

sen

= + =

+ matrici

↓ PARENTESIZZAZIONE

prodotto si può el

ottenere

di tramite più

n e

%

PARENTESIZZAZIONE

COSTO DALLA

DIPENDE

complessivo Usata

PARENTESIZZAZIONE PIENO

BINARIO

OGNI ALBERO

= &

O

0

(n 1) parentesi

di

coppie

-

T(p r)

ANALISI P (A1 (A2 A3)

,

: or

= .

, "

)

(IN

PROBLEMA pe +

dato delle determinare

el dimensioni de compatibili,

rettangolari

matrici

de

vettore n

catena

una (MCM)

PARENTESIZZAZIONE

la Matrici

de

el de

della

prodotto al

associata

eseguire catena

per numero

minimo

complessi

scalari

prodott tra matrici matrici

delle

delle dimensioni

NOTA Vettore è le

Istanza necessario e

non conoscere vere proprie

-

=

: I

= Ar)

1 (A1 /Arm

? n An)

P(n)

QUENTE = spezzata, que

catena sottocatene

può in e

essere

una

=> ...,