Analisi matematica I - Appunti completi del corso con teoremi e dimostrazioni

Appunti completi del corso di Analisi matematica I per il primo anno del CdL in Ingegneria Gestionale (UNIBG). Il documento contiene tutte le nozioni teoriche presentate a lezione, tutti i …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Garibordi Bianca Maria

Università Università degli Studi di Bergamo

Publisher alepeccenini

A.A. 2024-2025

78 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Corso di Analisi Matematica I

Ingegneria Gestionale

Primo Semestre a.a. 2024/2025

1 Insiemi

In matematica, un insieme è una collezione di elementi per la quale esiste un

criterio che permette di stabilire in modo univoco se un elemento appartiene o

meno a tale collezione.

Definizione - Intersezione tra due insiemi

Siano A, B sottoinsiemi di un un insieme universo U. Si chiama intersezione

tra A e B l’insieme ∩ {x ∈ ∈ ∨ ∈

A B = U : x A x B}

Definizione - Differenza tra due insiemi

Siano A, B sottoinsiemi di un un insieme universo U. Si chiama differenza tra

A e B l’insieme \ {x ∈ ∈ ∨ ∈

A B = U : x A x / B}

Definizione - Insieme complementare

Sia A sottoinsieme di U. Si chiama complementare di A rispetto ad U l’insieme

C \

A = U A

Definizione - Prodotto cartesiano

Siano A, B sottoinsiemi di un un insieme universo U. Si chiama prodotto carte-

siano di A per B l’insieme

× {(a, ∈ ∈

A B = b) : a A, b B}

Attenzione × ̸ ×

A B = B A

1.1 Gli insiemi numerici

Gli insiemi numerici che utilizzeremo sono:

• Insieme dei numeri naturali N

• Insieme dei numeri interi Z

• Insieme dei numeri razionali Q

• Insieme dei numeri irrazionali I

• Insieme dei numeri reali R √

Dimostrazione dell’irrazionalità di 2

Domanda

Ad ogni numero razionale q corrisponde un punto sulla retta. Ma è vero il con-

trario? Ovvero, tutti i numeri sono razionali?

Consideriamo il numero che corrisponde alla lunghezza della diagonale del quadrato

di lato 1.

Teorema ∈

Non esiste un numero razionale il qui quadrato è 2, cioè non esistono m, n N

primi tra loro tali per cui 2

2= 2

Per dimostrare il teorema, ragioniamo per assurdo e poniamo

m 2 2

2= oppure m = 2n

n ∈

m è quindi pari. Esiste allora p tale per cui

N 2 2 2

m = 2p cioè 2n = m = 4p

2 2

⇒ n = 2p

Segue che anche n è pari. ⇒ ∃t tale che n = 2t

La contraddizione: abbiamo supposto m e n primi tra loro, ma abbiamo di-

mostrato che hanno 2 come divisore comune

Assioma di completezza in Q

Sia che sono campi ordinati, ovvero godono entrambi delle stesse pro-

R Q

prietà per quanto riguarda le operazioni e l’ordinamento degli elementi.

Teorema

In non vale l’assioma di completezza

Q

Dimostrazione

⊂

Siano A, B non vuoti.

Q + 2

{x ∈

A = : x < 2}

Q + 2

{x ∈

B = : x > 2}

Q √ 2, il quale però non è un

L’unico elemento separatore tra i due sarebbe c =

numero razionale, come abbiamo già dimostrato.

è un insieme continuo, mentre non lo è.

R Q

1.2 Insiemi limitati

Definizione ∀M ∈ ⇒ ≤ ∀x ∈

A è limitato superiormente se x M A

R

∀m ∈ ⇒ ≤ ∈

A è limitato inferiormente se m x∀x A

R

∀m, ∈ ⇒ ≤ ≤ ∀x ∈

A è limitato se M m x M A

R

Definizione

⊂ ∈ ≤ ∀x ∈

Sia A Un elemento M si chiama maggiorante di A se x M A.

R. R

∈ ≤ ∈

Un elemento m si chiama minorante di A se m x∀x A.

R

Definizione

Il più piccolo dei maggioranti di un insieme A limitato superiormente si chiama

estremo superiore di A e si indica con sup(A).

Il più grande dei minoranti di un insieme A limitato inferiormente si chiama

estremo inferiore di A e si indica con inf(A)

Per l’assioma di completezza, in un insieme limitato superiormente (non

R

vuoto), ammette estremo superiore finito.

2 Le funzioni

Definizione

Si definisce funzione f da A a B una terna di elementi:

• Un insieme A, detto dominio di f

• Un insieme B, detto codominio di f

• Una legge che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B

∈ ∈

a A, f (a) = b, b B

Alcune osservazioni:

1. Una legge non è sempre una funzione. Possono esistere leggi che associano

ad ogni elemento di un insieme A più elementi di un insieme B.

2. Non è detto che ogni elemento del codominio sia immagine di un elemento

del dominio.

Definizione

→

Data f : A B chiamiamo immagine di f il sottoinsieme di B che contiene

le immagini di A: {b ∈ ∃a ∈

Imf = B : A : f (a) = b}

Definizione

→ ×

Sia f : A B una funzione. Si dice grafico di f il sottoinsieme A B definito

da: G(f {(a, ∈

) = f (a)) : a A}

Definizione

→

Sia f : A B una funzione. ∈

i. f si dice iniettiva se due elementi qualunque a , a A, diversi tra loro,

1 2

hanno immagine diversa tramite f , cioè se

∀a ∈ ̸ ⇒ ̸

, a , A, (a = a ) (f (a ) = f (a )

1 2 1 2 1 2

ii. f si dice suriettiva se l’immagine di f coincide con il codominio, cioè se

Im(f ) = B

iii. f si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva

Definizione

→

Data f : A si dice che:

R,

i. f è crescente se ∀x, ∈ ⇒ ≤

y A, x < y f (x) f (y)

ii. f è strettamente crescente se

∀x, ∈ ⇒

y A, x < y f (x) < f (y)

iii. f è decrescente se ∀x, ∈ ⇒ ≥

y A, x < y f (x) f (y)

iv. f è strettamente decrescente se

∀x, ∈ ⇒

y A, x < y f (x) > f (y)

→

f : A si dice monotona se è crescente o decrescente. Si dice Stretta-

R

mente monotona se è strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

Teorema →

Sia f : A una funzione. se f è strettamente monotona, allora è anche

R

iniettiva.

Definizione

→

Sia f : A una funzione definita nell’insieme simmetrico A.

R

i. f si dice pari se ∀x ∈

f (−x) = f (x) A

ii. f si dice dispari se −f ∀x ∈

f (−x) = (x) A

Secondo il teorema enunciato precedentemente, se una funzione è strettamente

monotona sul dominio, allora sarà anche iniettiva. Se però una funzione è iniet-

tiva, non è garantito che sia sempre monotona nel suo dominio. Allora quando,

data una funzione, si può ”tornare indietro”?

Definizione → ⊂

Data la funzione f : A B, con A, B si dice che f è invertibile se esiste

R,

→

una funzione g : B A tale per cui:

◦ ∀x ∈

i. (f g)(x) = x B

◦ ∀x ∈

ii. (g f )(x) = x A

−1 −1

In questo caso si pone f = g e la funzione f si dice funzione inversa di f

Teorema →

Data f : A B, f è invertibile solo se è biettiva.

Corollario

→

Sia f : A una funzione.

R →

i. Se f è iniettiva, allora f : A f (A) è invertibile

→

ii. Se f è strettamente monotona, allora f : A f (A) è invertibile

Dunque ogni funzione iniettiva o strettamente monotona, ma non suriettiva, è

invertibile sull’immagine.

3 Successioni

Definizione

Data la semiretta di numeri naturali

{n ∈ ≥ }

S = : n n

N 0 0

Si definisce successione (reale) qualsiasi funzione con dominio S e codominio R

Definizione

Una successione è limitata superiormente se lo è l’insieme delle immagini:

∃u ∈ ≤ ∀n

: a u

R n

Sono analoghe le definizioni di successione limitata inferiormente e globalmente

limitata.

In modo analogo alle funzioni, valgono anche le condizioni di iniettività, suriet-

tività e biunivocità, oltre a quelle di monotonia.

Ci interessa però anche capire cosa succede quando n diventa molto grande.

Una successione può essere:

• ±∞

Divergente quando per n molto grandi si avvicina a

• Convergente quando per n molto grandi si avvicina a un valore finito ℓ

• Irregolare negli altri casi.

Studiamo in particolare il caso di successione convergente a ℓ.

In questo caso possiamo considerare un ”intorno”, ovvero un raggio di valori

che si discosta da ℓ di una quantità ε positiva o negativa.

Considerato questo raggio, cerchiamo un valore di N tale che, per tutti i valori

di n maggiori di N , la successione si trovi all’interno dell’intorno. In simboli:

∀ε ∃N ∀n ≥ −

> 0 : N si ha ℓ ε < a < ℓ + ε

Definizione {a }

Una successione si dice convergente a ℓ se

∀ε ∃N ∀n ≥ −

> 0 : N si ha ℓ ε < a < ℓ + ε

E si scrive lim a = ℓ

n→+∞

Definizione {a }

Una successione si dice divergente a +∞ se

n ∀k ∃N ∀n ≥

> 0 : N si ha a > k

E si scrive lim a = +∞

n→+∞ −∞

Risulta analoga la definizione di successione divergente a

Teorema

Se una successione è convergente, allora è limitata

Dimostrazione

∀ε ∃N ∀n ≥ |a −

Hp: > 0 : N si ha ℓ| > ε

∀m, ∈

Th: M si ha m < a < M

R n

Fissiamo ε = 1 (o qualsiasi altro valore). Per definizione, esiste un indice N tale

≥

che per ogni n N si ha |a − |a −

ℓ| < ε =⇒ ℓ| < 1

n n

Considerando la disuguaglianza triangolare

|x ≤ |x| |y|

+ y| +

≥

Per valori di n N , risulta che

|a | |a − ≤ |a − |ℓ| |ℓ|

= ℓ + ℓ| ℓ| + < 1 +

n n n

≥

Ovvero per n N la successione risulta compresa all’interno dell’intervallo

− |ℓ|, |ℓ|)

(−1 1 +

Ora, i termini della successione per valori di n < N sono in numero finito.

{a }

Questo significa che anche l’insieme , a , ...a è un insieme finito. In

−1

1 2 N

quanto finito, questo insieme ammette, per definizione, un massimo finito M .

Prendiamo |ℓ|}

B = max{M, 1 +

Allora per ogni n

• Se n < N abbiamo |a | ≤ ≤

M B

• ≥

Se n N abbiamo |a | |ℓ| ≤

< 1 + B

∈ |a | ≤

Segue che per ogni n B, dunque la successione è limitata.

N, n

Teorema (di monotonia)

{a }

Sia monotona crescente.

i. Se è superiormente limitata, allora è convergente e

}

lim a = sup{a = ℓ < +∞

n n

n→+∞

ii. Se non è superiormente limitata, allora è divergente a +∞ e

}

lim a = sup{a = +∞

n n

n→+∞ 8

Dimostrazione

[1] Iniziamo dimostrando che una successione monotona crescente e superior-

mente limitata è convergente.

Se la successione è monotona crescente e limitata superiormente, l’insieme dei

suoi valori, S, ammette per definizione un estremo superiore finito ℓ tale che

∀n ∈

a < ℓ N

Inoltra, dato che ℓ è un estremo superiore, ci aspettiamo che i termini della

successione ci si avvicinino senza mai superarlo. →

Dobbiamo ora dimostrare che la successione tende a ℓ per n +∞, dunque,

per definizione di limite di successione, dobbiamo dimostrare che

∀ε ∃N ∀n ≥ |a −

> 0 : N si ha ℓ| < ε

− ≤ ∀n ≥

=⇒ ℓ ε < a ε N

n −

Poichè ℓ è l’estremo superiore della successione, per ogni ε > 0 risulta che ℓ ε

non è estremo superiore della successione, ovvero esiste almeno un termine della

−

successione maggiore di ℓ ε, quindi

∃N −

: a > ℓ ε

N

Dato che la successione è monotona crescente, abbiamo che

∀n ≥ ≥

N si ha a a , quindi

n N − ≤ ≤

ℓ ε < a a ℓ

N n

Risulta allora verificata − ≤ ≤

ℓ ε a ℓ

Ovvero a è sufficientemente vicina a ℓ in modo tale da soddisfare la condizione

di limitatezza (tesi del teorema).

[2] Dimostriamo ora che una successione non superiormente limitata è diver-

gente a +∞

Dobbiamo dimostrare che

∀k ∃N ∀n ≥

> 0 : N si ha a > k

Sia dunque k un qualsiasi valore reale. Poichè la successione non è limitata

superiormente, possiamo affermare che esiste N tale che

a > k

N ≥

Inoltre, poichè la successione è monotona crescente, per ogni n N vale

≥

a a > k

n N

Che soddisfa il criterio di divergenza. 9

4 Limiti di funzioni

Definizione

Si dice che lim f (x) = ℓ

x→c

∈ ∪ {±∞}, ∈ ∪ {±∞}

Con c ℓ

R R

Se per ogni intorno I(ℓ) di ℓ esiste un intorno I(c) di c tale che

∀x ∈ ̸ ∈

I(c) x = c si ha f (x) I(ℓ)

4.1 Dimostrazione limiti

[1] Consideriamo 

+∞ α > 0





lim n = 1 α = 0

n→+∞ 

0 α< 0



E dimostriamo i risultati

i. α > 0 α

lim n = +∞

n→+∞

Consideriamo la definizione di successione divergente

∀k ∃N ∀n ≥

> 0 : N si ha a > k

I(ℓ) = I(+∞) = (k, +∞)

∈

n I(+∞) = [N, +∞)

a = n

Fisso k e verifico n > k 1

α ⇐⇒

n > k n > k α

Quindi 1 α

∀k ∃N ∀n ≥

> 0 = k : N si ha n > k

ii. α = 0 α

lim n = 1

n→+∞ 0

=⇒ lim n = 1

n→+∞ 1

=⇒ lim n = 1

n→+∞

iii. α > 0 α

lim n = 0

n→+∞

Consideriamo la definizione di successione divergente

∀I(ℓ) ∃I(+∞) ∀n ∈ ∈

: I(+∞) si ha a I(ℓ)

oppure

∀ε ∃N ∀n ≥ |a |

> 0 : N si ha < ε

Fisso ε e verifico α α

|a | ⇐⇒ |n | ⇐⇒

< ε < ε n < ε

n −β,

Ricordo che α < 0 e definisco α = β > 0 1

−β

α ⇐⇒ ⇐⇒

n < ε n < ε <ε

n 1

1 β

⇐⇒ ⇐⇒

n > n >

ε ε

Quindi 1

1 β

∀ε ∃N ∀n ≥ |a |

> 0 = : N si ha < ε

[2] Consideriamo 

+∞ q > 0



1 q = 1



lim q = −

0 1 <q < 1

n→+∞ 



 −1

q <



∄

E dimostriamo i risultati

• q> 1 n

lim q = +∞

n→+∞

0 1 2 3

q = 1 < q = q < q < q ...

La nostra successione è monotona crescente ed illimitata superiormente.

Per il teorema di monotonia n

lim q = +∞

n→+∞

• q =1 n n

q = 1 = 1

lim 1 = 1

n→+∞

• −1 < q < 1 Iniziamo considerando solamente 0 < q < 1

0 1 2 3

1 1 1

1 > > > ...

2 2 2 2

La successione è monotona decrescente e illimitata inferiormente. Per il

teorema di monotonia n n }

lim q = inf{q = 0

n→+∞

−1

Consideriamo ora < q < 0

0 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1

− − − − − −

= 1, = , = , =

2 2 2 2 4 2 8

Quando n è pari, la successione è monotona decrescente e limitata inferi-

ormente, quando invece n è dispari, la successione è monotona crescente e

limitata superiormente. Questa successione non ha limite. Il limite però

esiste e vale 0 quando 0 < q < 1.

• −1

q < −k,

q = k > 1

n n n n

q = (−k) = (−1) (k)

Per n pari la successione è crescente e illimitata superiormente, mentre

per n dispari è decrescente e illimitata inferiormente. Nessuna delle due

successioni ammette limite, quindi la successione non ha limite.

Teorema (di permanenza del segno)

Sia lim a = ℓ

n→+∞

Allora

• ℓ > 0 =⇒ a > 0

• ≥ ≥

a 0 =⇒ ℓ 0

Dimostrazione ∪ {+∞}

(i) Se ℓ appartiene a (0, +∞) possiamo prendere come intorno di ℓ

un intervallo I contenuto in (0, +∞). Applicando la definizione di limite con

∈

questa scelta di intorno ℓ, otteniamo che esiste V intorno di x tale che f (x) I

∈ ∩ \ {x }.

per ogni x I A Quindi per tali valori di x, f (x) è un numero positivo.

0 ∪ {-∞},

Nel caso in cui ℓ appartenga a (-∞, 0) si ragiona in maniera analoga.

≥

(ii) La proprietà si dimostra per assurdo. Supponiamo f (x) 0 per ogni

∈ ∩ \ {x }. ∪ {+∞},

x A V Se il limite ℓ non appartenesse a [0, +∞) al-

0 ∪ {−∞}

lora apparterrebbe a (−∞, 0) e, dalla proprietà (i), dovrebbe esistere

∈ ∩ \ {x }.

un intorno V di x tale che f (x) < 0 per ogni x A V Siccome V

∗ ∗

0 0

e V sono due intorni di x , la loro intersezione è essa stessa un intorno di x .

∗ 0 0

∈ ∩ ≥

Pertanto non è vuota. Fissiamo x V V . Per nostra ipotesi f (x ) 0 ma,

∗ ∗ ∗

per quanto appena dimostrato, f (x ) < 0, il che è ovviamente assurdo.

∗

5 Asintoti

[1] Asintoto orizzontale lim f (x) = ℓ

x→±∞ → ±∞

y = ℓ è asintoto orizzontale di f (x) quando x

[2] Asintoto verticale ±∞

lim f (x) =

x→c → ∈ \ {±∞}

x = c è asintoto ve

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