Analisi delle preferenze dei consumatori

Modulo 3_3.2 analisi e rappresentazione dei dati di gradimento

Stima della variabilità

Ci sono diversi strumenti statistici per misurare la variabilità: uno strumento può essere l’intervallo (differenza tra massimo e minimo valore della serie di dati) è chiaro che se questo intervallo è molto grande la variabilità all’interno di una serie di dati è molto grande. Tuttavia, questo parametro è molto grossolano, poiché i punteggi in un ipotetico intervallo da 1 a 10 potrebbero essere per la maggior parte concentrati tra 9 e 10 mentre solo pochi potrebbero trovarsi vicino 1.

Un altro metodo è il calcolo dell’interquartile, che mi permette di identificare il 50% dei dati più vicini al valore centrale della mia serie. Se l’interquartile è molto piccolo i dati sono omogenei, altrimenti sono dispersi. Nonostante sia un parametro più sensibile dell’intervallo non è ancora sufficientemente fine.

Tutti concordano sul fatto che la variabilità si possa misurare con la varianza espressa come σ² o S². È un parametro che stima la variabilità in una serie di dati: se la variabilità è molto grande la varianza sarà grande, se la variabilità è molto piccola la varianza sarà prossima a zero.

Ho una serie di dati di cui calcolo la media; successivamente ogni valore della serie viene detratto dalla media (X-X̄) e poi sommato. Chiaro che se io ho somme degli scarti della media molto grandi questo valore starà ad indicare una grande variabilità o viceversa. Perché è elevata al quadrato? Se sommassi tutti gli scarti, siccome avrò sia valori positivi che negativi distribuiti in egual misura attorno alla media, la loro sommatoria sarebbe pari a zero, quindi devo eliminare il segno. Ovviamente un motivo per il quale due serie potrebbero avere diverso valore di varianza è il numero delle osservazioni, ma se io divido per il numero delle osservazioni questo problema viene ad essere risolto. Se io poi faccio la radice quadrata di questo parametro ottengo la deviazione standard.

Introduzione all’ANOVA

(slide 13). Le tabelle mostrate ci dovrebbero far chiedere se la media del prodotto A nella prima tabella che è 6 con un range 2 ha la stessa valenza della media del prodotto A nella seconda tabella che è 6 con un range 3. Che cosa vuol dire? Che se io comparo la variabilità che esiste tra le medie dei prodotti A, B e C nella prima tabella è esattamente la stessa che otteniamo tra le medie dei prodotti nella seconda tabella. Ma se vado a vedere la variabilità nei dati che hanno contribuito a formare queste medie trovo che probabilmente la variabilità nella seconda tabella tende ad essere più grande, ora questa è un’osservazione fatta ad 'occhio'.

Se volessimo considerare queste differenze da un punto di vista un po’ più tecnico dovremmo dire che se le differenze tra i trattamenti (dove i trattamenti sono dei campioni messi a confronto) cioè la variabilità tra le medie dei trattamenti è maggiore della variabilità nei trattamenti (cioè nei dati che hanno portato al computo delle medie) allora noi possiamo dire che le medie tendono ad essere significativamente diverse. Se viceversa è la variabilità all’interno dei dati che portano al computo delle medie tende ad essere maggiore della variabilità che esiste tra le medie evidentemente queste medie non sono significativamente differenti. Quindi, quando compariamo delle medie dobbiamo stimare la variabilità TRA le medie e la variabilità NEI dati che hanno portato a ottenere queste medie.

(slide 14). L’effetto della sorgente di variabilità campione si stimerà attraverso il calcolo del rapporto tra la varianza (che vuol dire variabilità) TRA i trattamenti (cioè la variabilità tra le medie) e la varianza NEI trattamenti che prende il nome di errore. Questo rapporto prende il nome di F di Fisher ed è il parametro di stima di analisi della varianza. Quindi che cosa vuol dire calcolare questo F? Vuol dire che se la variabilità nei trattamenti è pari alla variabilità tra i trattamenti il rapporto sarà uguale ad 1 e se il rapporto è uguale ad 1 non ci saranno differenze significative. Se invece la variabilità tra i trattamenti è decisamente più grande della variabilità nei trattamenti allora esisterà la possibilità di considerare differenze significative tra le medie.

(slide 17). Come si calcola la varianza TRA i trattamenti e NEI trattamenti? La varianza corrisponde come detto alla somma dei quadrati degli scarti diviso il n° delle osservazioni - 1. Quindi se si calcola la varianza TRA i trattamenti in cui sono 3 campioni a confronto avrò che il denominatore sarà pari a 2, mentre la somma dei quadrati degli scarti è pari a 6. Quindi la varianza associata ai trattamenti è pari 6/2 = 3. Se si calcola la varianza NEI trattamenti innanzitutto devo considerare che il denominatore per il calcolo della varianza è dato dal numero delle osservazioni totali – il numero dei trattamenti ovvero 9 – 3 = 6. La somma dei quadrati degli scarti è 6 e di conseguenza la varianza nei trattamenti è 6/6 = 1.

Se io ora confronto le due varianze trovo che quella TRA i trattamenti è maggiore di quella NEI trattamenti; quindi, avrò ragione di ritenere che (probabilmente) esiste una differenza significativa tra le tre medie dei campioni messi a confronto (ovvero tra 6, 7 ed 8).

Esistono tabelle che servono a identificare i valori critici di F e che venivano usate quando ancora non esistevano i software. In cui vengono incrociate due informazioni, quella dei gradi di libertà al numeratore (nel nostro caso 2) e sulle righe i gradi di libertà dell’errore (nel nostro caso 6) ed all’incrocio tra 2 e 6 troviamo che è il valore critico per valori di significatività del 95% è F = 5,14. Se il nostro F calcolato è superiore all’F tabulato allora la significatività è maggiore del 95%.

Modulo 3_3.4 mappe interne di preferenza

Permutation test

È un metodo per stabilire quante componenti possono essere considerate informative. Esiste un metodo statistico per generare dei numeri casuali da una matrice (tabella) di dati, questo metodo si chiama permutazione, cioè i liking nelle righe e nelle colonne vengono invertiti casualmente, invertendoli produco una serie di dati casuali che ha però la stessa struttura dei dati originali, a questo punto non ho più modo di capire quali punteggi sono stati dati da una persona per certi prodotti (perché sono tutti mischiati!). Tale permutazione viene fatta tante volte 100, 200 o più ottenendo altrettante matrici di dati.

Quindi faccio la PCA sui dati originali (non permutati) e poi faccio la stessa su ognuna delle matrici permutate.

Cosa succede? Se io ho 100 consumatori ed ho fatto 100 permutazioni io avrò sommando tutti i dati 10.000 valori di correlation loading per la prima componente e 10.000 per la seconda tutti assolutamente casuali. Calcolo quindi il 95esimo percentile, ovvero il valore al di sotto del quale si trovano il 95% dei dati casuali ed al di sopra del quale si trovano il 5% dei dati casuali (sono casuali perché stiamo lavorando su dati creati da permutazione). Tale valore lo utilizzo per disegnare un’ellisse sulla mappa. Allora posso dire che se i soggetti che cadono fuori da quell’ellisse c’è solo il 5% di probabilità che siano casuali, se invece cadono all’interno appartiene al 95% dei dati casuali. In base al numero di soggetti che cadono fuori l’ellisse posso sapere se la mia mappa è informativa o no. In altre parole, se la concentrazione maggiore dei soggetti cade nel 5% ho una mappa informativa ed ho usato un numero di componenti adeguato, se invece la concentrazione maggiore dei soggetti cade all’interno dell’ellisse non ho dati informativi ed ho usato un numero scorretto di componenti.

Mappe interne di preferenza e mappe esterne di preferenza

Le Mappe di Preferenza possono essere di due tipi: interne o esterne.

Le Mappe Interne di Preferenza sono costruite computando per prima una PCA sui dati di gradimento, poi prendendo una matrice di dati sensoriali viene fatta una regressione dei dati sensoriali sulle coordinate dei prodotti ottenuti dai dati di gradimento. In sintesi, io faccio una proiezione dei dati sensoriali sulla mappa di gradimento. Quindi le differenze tra i prodotti sono ottenute sui punteggi di gradimento. Ogni volta che vogliamo sapere a che cosa è legata la preferenza dal punto di vista sensoriale e se ci sono gruppi che si distinguono fra i nostri consumatori applichiamo le MIP. Per ricapitolare, sulla matrice dei dati di gradimento computiamo la PCA, poi per ogni variabile sensoriale facciamo la regressione con le coordinate dei prodotti per la prima e seconda componente. Questo processo si fa in un’unica analisi che si chiama Principal Component Regression PCR.

Veniamo ora alle Mappe Esterne di Preferenza, un mezzo che permette di cambiare l’ordine delle cose. Possiamo computare la PCA sui dati sensoriali e poi proiettare i dati di gradimento di ogni consumatore sulla mappa sensoriale, cioè contro le coordinate dei prodotti per la prima e della seconda componente. Perché fare questo? Questa è un’operazione che fa chi sviluppa il prodotto, una volta che ha fatto un prototipo e inizia a modificarlo, vuole vedere dove si andrà a collocare il prototipo modificato in termini di gradimento.

Esempio nella figura sotto. La Mappa Interna di Preferenza ci dice che i consumatori sono prevalentemente spostati sulla destra, che i prodotti che piacciono di più sono G, T ed L in opposizione a P e B che piacciono di meno. Lungo la seconda componente ci sono due gruppi di consumatori, uno che si trova in basso a destra e che tende a preferire i prodotti T ed L, a cui non piace per niente il prodotto B e che lega la preferenza ai driver sensoriali bitterness, cacao ed almond. Poi c’è un gruppo più spostato in alto che preferisce G, cui non piacciono tanto i prodotti B ed L, gli va bene il prodotto T e non gli piace per niente P. Queste persone vogliono prodotti tick, cioè densi e cremosi. Questa è una mappa interna ed ho potuto identificare due cluster di consumatori e quali proprietà sensoriali preferiscono.

Nella parte alta della figura vediamo una Mappa Esterna di Preferenza. È una mappa che è stata fatta sulle differenze di profilo sensoriale del prodotto, ovvero un’analisi descrittiva che ha permesso di ottenere dei dati. Ci dice che il prodotto G è molto diverso da L, poi abbiamo sulla seconda componente P e B in opposizione a T. Immaginiamo che io sulla base della mappa interna, essendo il produttore del prodotto P, voglio spostarmi più vicino a T e ad L; cosa dovrò fare? Produrrò serie di prototipi per vedere se mi avvicino più a T o più ad L e se incontro i consumatori che preferiscono quei prodotti. Quindi io uso questa mappa per verificare se le modifiche al mio prodotto vanno nella direzione che i consumatori vogliono. Per farlo non ho bisogno di ritestare il prodotto, devo solo cambiarne le proprietà sensoriali e andare a vedere se cade nell’area che io vorrei. La mappa esterna predice le modificazioni del profilo sensoriale e mi dice se sono di successo o no.

Modulo 4 multiple factor analysis - MFA

Finora noi abbiamo solo considerato il caso in cui raccogliamo i dati di gradimento per tutti i soggetti e su questa matrice applichiamo la PCA e poi facciamo la regressione. Qui io mi trovo le variabili declinate da tre diversi gruppi di soggetti. In particola si fa riferimento al caso in cui tre gruppi di soggetti hanno utilizzato scale diverse (es. 1-5; 1-9; 1;7), o sono stati valutati i prodotti da tre gruppi diversi in momenti diversi o ancora semplicemente sono dati raccolti da tre gruppi diversi in generale. Per l’interpretazione di dati originatesi da questi casi si utilizza una tecnica multivariata, la MFA.

• Step 1) Ho tre matrici di dati raccolti negli esempi citati precedentemente.
• Step 2) Il primo passo consiste nel computare la PCA, separatamente, per ogni set di dati o matrice.
• Step 3) I set ottenuti sono ordinati secondo la quantità di varianza spiegata e sono sottoposti a standardizzazione, vengono cioè ridotti ad un unico tipo di modello.
• Step 4) Ricondurre ad un'unica matrice i tre set di dati sottoposti a standardizzazione.
• Step 5) Computare la PCA sulla nuova matrice.

Lo scopo della MFA è rendere confrontabili matrici che sono state misurate in modi non uguali.

Analisi procastica generalizzata - GPA

È un altro metodo di riduzione delle variabili e si differenzia dalla PCA perché la si può utilizzare su matrici di dati ottenute da certi tipi di analisi; in particolare, dalla Free Choice Profiling, Flash Analysis, Repertory Grid Method e Projecting Mapping. Sono analisi dove è il soggetto che sceglie la scala e non si può applicare la PCA. Inoltre, in tutti questi casi non ho una tabella organizzata in righe e colonne perché per ciascun soggetto e prodotto ho anche i descrittori.

• Step 1) Per ciascun prodotto riferito ad ogni soggetto faccio la media per tutti i suoi descrittori (somma di d1, d2, d3 diviso il numero dei descrittori del primo soggetto, poi del secondo e del terzo soggetto). Ottengo un punto che è media per ogni prodotto, in grafico rappresentato dalle lettere A, B e C.
• Step 2) Si opera la centratura delle configurazioni individuali sull’asse cartesiano in modo che sia sulle coordinate 0;0.
• Step 3) Rotazione o riflessione: serve ad avvicinare rendendo minime le distanze tra i punti A di tutte le configurazioni, tra i punti B e C.
• Step 4) Scaling: si fa la standardizzazione perché come per la MFA potrebbe non essere stata usata la stessa scala e quindi i “triangoli” che hanno inizialmente dimensioni diverse diventano tutti della stessa misura.
• Step 5) Compunto di una configurazione di consenso: procedo facendo la media fra C1, C2, C3; poi la media fra B1, B2, B3 e così via. Ottenendo un punteggio unico per ogni prodotto. La nuova mappa che viene fuori e che in questo caso avrà tre punti (perché ha tre prodotti) si chiama configurazione di consenso.

La PCA si fa su questi tre punti medi. Tutto questo lo si fa per ottenere da una tabella che non può essere analizzata con PCA, una che invece può. Gli output grafici della GPA sono una mappa di consenso ed un bi-plot.

Valutazioni e verifiche successive alla GPA

Step 1. Verifica della significatività della configurazione di consenso (ottenuta con la GPA) attraverso l’uso del Permutation Test. A differenza della PCA, per la GPA la varianza spiegata non è un buon indice della bontà dell’informazione. Si utilizza allora il Permutation Test, dove il 90esimo ed il 95esimo percentile dei dati ottenuti tramite permutazione saranno utilizzati come riferimento di varianza spiegata totale per livelli di significatività rispettivamente del 90% e del 95%.

Step 2. Valutazione della % di varianza di consenso dopo le prime due dimensioni del modello. È mostrata una tabella con e nelle colonne la % var. spiegata, residua e totale, nelle righe sono riportate le dimensioni. Vale la regola generale che i valori di varianza superiori al 50% indicano un livello accettabile di omogeneità di valutazione. Tale valore deve essere calcolato sommando la varianza spiegata per tutte le dimensioni (prima colonna). Generalmente si considera che le prime due dimensioni devono superare da sole il 50% o al massimo possono farlo sulle prime tre. Se le prime tre dimensioni da sole non riescono a raggiungere valori superiori al 50% la PCA non è buona. Sta ad indicare che i punteggi dati sugli stessi prodotti dai consumatori non sono omogenei tra i valutatori e c’è qualcosa di sbagliato.

Step 3. Valutazione delle differenze tra i prodotti. Minore è la distanza che separa due campioni, minori saranno le differenze tra questi sulla base delle variabili valutate. L’importanza delle distanze lungo la prima e seconda dimensione dipende dalla % di varianza spiegata legata a ciascuna delle dimensioni.

Step 4. Valutazione del peso delle variabili nel determinare la configurazione di consenso: analisi dei correlation. Ciascuna variabile per le due dimensioni va nel range tra +1 e -1. Più il valore è vicino a 1 più la variabile è importante per spiegare i prodotti.

Esempio. La tabella in slide 14 mostra che nel set 2 il carattere descrittivo “UVANERA” è importante per spiegare bene il prodotto nella seconda dimensione; essendo però molto vicino a -1 spiega bene in modo negativo, cioè il prodotto ha tutto il contrario del sapore che può essere associato ad uva nera. Il -1 spiega bene quello che non è, +1 spiega bene quello che è mentre vicino allo 0 non è ben spiegata poiché non da indicazione né su quello che è né su quello che non è. Il descrittore “ACIDO” nel secondo set ha valore -0,06 sulla seconda dimensione, questo non vuol dire che non sia acido ma semplicemente non è né acido né non acido.

Step 5. Verifica della variabilità tra i giudici del peso degli attributi nel discriminare i prodotti. Il valore di correlazione che potrà essere positivo o negativo è più alto in valore assoluto quante più volte viene dato un giudizio simile.