Alcune dimostrazioni Analisi matematica 1

E

26 dalla

IMMAGINE funzione

assunti proprio

Valori

insieme dominio

dei sul

= f(a) (b e)

f di

b è

A - B attraverso

l'immagine a

: = [XEA f(x)ED)

F-(D)

SIG F F

De B

CONTROIMMAGINE Battraverso

chiama di

sia

B Controimm

Si :

A e

: :

=

= .

.

SUCCESSIONE

DEFINIZIONE DI

2) GanYne

F

E che R

IN

naturali in I

numeri valore

funzione prende

sui

una : : .

CONVERGENTE

SUCCESSIONE

28 Lany Ino

&

proprietà

aEIR

una la EIN

O

dice

si esiste che

se con >

numero

convergente un

succ . lan-alle

V

t vale a-Ecancate

cioe

no

n

.

c :

. ,

↳ ed

Distanza an

tra a

Ganz

è il limite si ad eim

della dice

succ

a d

a an

converge : = Ya

n 19

- E

a +

M

h

ES an

an

: = = a -

n 1

+ ·

a E

-

M

lim

Dimostrazione che 0 Dimostrazione

a lim a

1

che

= = =

=

on

n - n 1

0n +

+ ↓

no

29 SUCCESSIONI DIVERGENTI

SbnY Anc

se M

>

bn

Joe IN

M10

Si dice ER

divergente no Vale

a t

+o

· successione

La .

C

.

(bn n2)

bn

lim

definitivamente quindi

e + o =

=

n + 0

San se Ino M)

Et An definitivamente

ha

diverge E si

La M10 no an

>

· .

C

a :

Succ o

. - .

quindi

e Lim an 8

= -

n + 0

INDETERMINATE

SUCCESSIONI

30 (CnY =

ne

è ne div

dice indeterminata

Una si (n

se

succ conv im

non =

.

.

. n - g

1 se npari

(-1)" dispari 1

tra-1)

Oscilla <

es Cr Se n (n

1

: = - fany

è

Per

UNICITÀ

Th esiste

Se successione

3) DEL Successioni

LIMITE liman unico con

.

Supponiamo CEIR bFC Allora

limiti

2

abbia

sia

che D con

per

an che

assurdo

supp !

conv e

. , ,

lan-blE

D ↓ Un

InoE ha

(1) si

t

an

im Exo > no

c

= .

.

n - D

(21 ↓ ha

In lan-cE

C

an E

im t E n si

n

>

E)0 C

= ,

1 . . piccolissimo

-num

n 1x

- Ib- CI

D+ (2)

Ib-c E

Applico

Dato (1)

> =

r con

che C e

0

.

pongo 0

=

= 1008

y a e

21/1/11Il perché in dei intervalli

può que

Assurdo uno

cadere solo

an

//////// quindi

d na=maxino

: n

,

N2, No ne

,

>

X È

OGNI LIMITATA

SUCCESS CONVERG

3) . .

(anl è

Una t lank M

Y

successione limitata 7 si

30

M MLancM

ha

se C > no = -

. .

è limitata

CONV

ogni

Dim che Succ :

.

.

Sany è a

um an

.

conv =

n - Egrande

definizione piacere

la

Applico 1

E

con a : =

Poiché liman FEO VE lan-a n

t n

si no

a na

C

= .

.

1(an(a

=> a 1

+

- significa che :

S 13

7 noyc{a-1 è

[an compreso

degli in

l'insieme an na no

l'insieme un

con

a

: +

·

L'unione , è limitato

limitato l'insieme

intervallo

dei 2 Gar anoly è

finito elementi insieme

insiemi di

num

na

Gli nano da

an da

=

con un

un

o , .....,

, limitati

finito (gli insiemi finiti sono [an3

È limitato) e

e

(un limitata

ins

insieme limitati

limitato di 2

un = ·

.

. Laanty

3 Gany Gazz

e e

(sia

hanno Er

e che

Se che

lim

ha sia

Limite

dure

e

=

=

10)

C = =

[any f n)

b

Ino

supponiamo an

Esempio No

t

che C =

: . .

(2)

b

Liman

=> =

=

= n

Sand + g

1 E

b- E

D

<

<

330 an

no

Fissato +

:

Canz = perché

/22 &

2-2 f

sappiamo che

1 +

↓ (anz 2

senza novari

faco, che n no

vale =

,

è (-1)" Elimitata

è es an

Limitata

vero che ogni convergente

· Non <anc1 converg

succ ma .

-1 non

: =

.

PERMANENZA

TEOREMA PER

DELLA SEGNO

DEL SUCCESSIONI

LE

34 Canz è definitivamente

liman

se liman=

a)o , positiva

=

· + o

=

n n

> N 10

- - Lanz è

se definitivamente

Lo negativa

a

liman an

lim

, =

· -o

=

=

n n

- -8

Gany0

se lim o

· an

e a ac

=

= ,

n >0

-

[anz 70 lim a

se 240

e =

an

· =

n - D & lan-al Le

Enl

7

lim an E

E

alo t

Sappiamo sappiamo che

Scegliamo vale

C no

s

che no

= = :

.

, .

n +0 ↓

Dunque

Elan 29-9 can chat ea-anca E

Ean < a +

a -

2 2 2

O

considerazione

prendo in

questo : an Edefinitivamente positiva

anlo =

perché a so

ARHMETICA DEL LIMITI

35 Dato ber

limbr b a

limanza e con

= ,

bn)

(1) Lim(an Liman b

a

Limbn +

+

+ = =

Liman D

Lim (an bn) Limbn

(2) a

= = -

. -

Eman

(im() =

(3) = D

Limlan)umbn abaso

(an)

(4) am = =

(im(an

(1) bn) b

a +

+ = per confermare

stimare

Voglio

# E tesi

mia

la

= lan-al 3 Kantbul - (2 b))

2 ha

Anc

a Zno E

ECO

Liman =

Si

· C no

t -

= .

.

n - 0 I(an b)

(bn

a) + -

-

Ibn-bile ↓

Elo

Cimbr b si

EnoE t E

· ha

E

= Ma no

C

= .

n + Utilizzando dis. triang

la

0 E b) b)

lan al

bn (an 1bn

=

ELE +

-bic a + -

lan-al - -

-

1bn +

+ un

u Ibn-blLE

chelan-alle

b) so

D

lan bn

a

=> + - ·

- I

vogliamo

piccolo quanto

e

Essendo ?

(2) bn)

Lim(an b

a

= .

. Velo lan-alE

InoE t .

liman=a ad se

a nano

C

converge

· . n11bn-blE

liman d IMEI t

se &JO

a En

converge a C >

· = .

.

lank M

Una È Man M

Limitata se =

succ .

· -

m1)

(no Vnv

Scelgo v

max =

=

, b)) E

Ilan-bnl-(a E

< ·

. and-and) <

Kanbnl-(ab) E E

+ .

blan-a)/

lan (bn-b) E El Applico

+ < triang

dis

.

blan-al/lan)

lan(bn-b) lan-al

Ibl

-bl

/bn lankM

+ Essendo

+ -

.

a))

b(an

lan(bn (bn al

(b)

-b) b) (an

+ < M + -

- -

. . un

un

2E LE

-a))

b(an

lan(bn M(bn a)

(b)

-b) b) b)E

(an

+ < Mz

+ +

-

- . (E(M b)

+

no

pongo

2 (b)

M

= +

LE D

E ·

.

=

lim

(3) perché at

lim implicherà (3) applichiamo a

e

Dimostriamo poi

questo

che =

abbia

Fr

El d

EN si

Dato +.

vogliamo no

trovare no

C

o

· >

.

I dato

poichélimen

sviluppo il este

assoluto

valore

· b a

: = o

Ib-bnkEo

Un limite)

(questo

+. la di

def

Me >

c

. my per .

ini

Io

no

se nane

· prendo : invece dipende

Dr da

costante n

devo evitare

Osservazione piccolo

che dn sia molto

: piccolo

molto

num

perché num

-

num grande

piccolo

molto

può

Ma bn molto

che essere

so piccolo

non

il del

permanenza

della

teorema

per

segno : ( 0

Ibl

bfo >

Do

sappiamo che = Das

IN t

nae M

quindi

esiste C Ra

.

. # eaviv dire

a

.

22

do So

< nibni

Quindi

· IblIbnl Y vogliamo

piccolo quanto

prenderlo

possiamo

FORMA DER LA SOMMA

INDET

36 :

. lim(an

Se limbr bn)

liman F I

.

e > +

=+ =

+

-8 0

= = 0

o = - .

n n

30 - n

- +

8 g n-n2

-12 Lim

An antbr

Es ann Lim

=

: +8-0 =

= =

n n

+ +

8 8

INDETERMINATE

FORME

37 : 8 18 Do go

0

· ·

. N-8

0 · ·

.

.

.

TEOREMA PER

38 CONFRONTO SUCCESSIONI

DEL LE

↑ in

a nEIN

Date anIbnICn

- b

l E

(1) Limbn

LimCn

Liman =

=

= =

(2) Limanlimbn liman Limbn

se = +

=+ 8

o =

(3) liman

Liman limbr

se

limbn

an = o

= =

-o -

Dim (1) : EI E-ebnLate

An

e Ino

limbr t C vale

dimostrare

voglio no

>

che = . .

n + 8

Sappiamo che : e-eanceta

t

e Zei c

Liman num

· = . . 2-acne +n

Inzet G

e na

>

umCh =

· C +

= . . (In e

bn

12) e-E E

max(n1 <

disrg

Scelgo le <

no an

unire +

posso -

.

=

= ,

Dim(2) ?

Limbn

liman

so )

: + o

=+ o =

=

dimostrarechMothobnMYsapendo

Voglio bnanM non

cheanbn lim

= = se

MONOTONE

SUCCESS

39 .

Ganz è definitivamente

vale En

an Lante

crescente se

monotona no

= È

anlant1 Fl DECRESCENTE

MONOTONA

Es an no >

: = Le succ sono

non

monotone

Canz

Th Per Monotone Se e il esiste

liman

Le monotona

=

Succ > .

= indeterminate

mai

.

.

Se definitivamente

è no casi

crescente

an 2

anant1 :

sup[an NEI3 a

liman

è ER

(1) limitata

se an =

:

= NENYC[-M ,

San di

Fn

è MY

limitata)7MLOt quindi l'assioma

Dato ManLM per

an