Aerodinamica, appunti - parte 1/3

IPOTESI DEL CONTINUO

La fluidodinamica non viene affrontata studiando le singole strutture molecolari di un fluido/gas, ma è focalizzata sulle quantità e qualità dei campi come il campo di velocità, pressione, tutte f(z, x, y) definito come mediano sul volume rispetto alle proprietà delle singole molecole.

Il volume di controllo deve essere grande abbastanza da contenere un numero consistente di molecole con volume da potere includere una microfisica, una sfera abbastanza piccola da non essere affetto da effetti macroscopici.

VISCOSITÀ

Q.tà che lega sforzi e deformazioni dentro un fluido.

• Nei gas se T↑ anche μ↑ (agitazione molecolare)
• Nei liquidi se T↑ μ↓

μ = Visc. dinamica 18·10⁻⁶ Pa·s [r°c]

ϑ = Visc. Cinematica 15·10⁻⁶ m²/s

PARTICELLA/ELEMENTO

Particella: Piccola porzione di fluido che si muove con la velocità locale del fluido

Elemento Materiale: regione di fluido che conserva la sua identità mentre si muove, un elemento materiale è sempre formato dalle stesse particelle di fluido.

Una particella non può attraversare un elemento materiale perché la velocità relativa tra i due a contatto è sempre nulla.

DESCRIZIONE SPAZIALE (Euleriana)

Sist. inerziale: Sist. di rif. che può muoversi ma non accelera

Eulerio si avvale del concetto di campo e ne descrive le proprietà come f(z) del vettore posizione X e del tempo.

Esempio: la velocità sarà espressa come

Ṽ = Ṽ(x, t)

∂Ṽ = derivata locale di Ṽ (punt. non accelerazione di Newton)

Quindi l'osservatore è solidale ad un riferimento fisso o inerziale e fotografia il campo in diversi istanti temporali: osserva info sulla singola particella.

DESCRIZIONE REFERENZIALE (Lagrangiana)

Focalizza l'attenzione non su un preciso volume di controllo ma sulla singola particella.

Le proprietà del fluido sono funzioni del singolo elemento e del tempo.

Identifica la particella mediante il vettore posizione X_o.

singolo "elemento" è dei tempi.

Identifica la particella mediante il vettore posizione x_o del suo GA all'istante iniziale t_o.

La sua posizione al generico istante t è data da:

x* = x* (x_o, t)

mentre all'istante iniziale è:

x* (x_o, t_o) = x_o

quindi d x*/ dt.

d x*/ dt (x_o, t) = ∂ x*/∂t (x_o, t) + ∂ x*/∂x x*(x_o, t), t

= v*(x*(x_o, t), t)

Deriviamo poi da sx e dx:

d²x*/ dt² (x_o, t) = d/dt (v*(x*(x_o, t), t))

= ∂v*/∂t + ∂v*/∂t + ∂v*/∂t

= ∂/∂x (∂x*/∂t) + ∂/∂y (∂y*/∂t) + ∂/∂z (∂z*/∂t)

Prendo solo 1ª componente del:

du*/ Dt = ∂u/ ∂t + ∂u/ ∂x* + ∂u/ ∂y* + ∂u/ ∂z*

= ∂u/ ∂t + u ∂u/ ∂x + v ∂u/ ∂y + w ∂u/ ∂z

Con tutte le componenti:

Dv*/ Dt = ∂v*/ ∂t + (v*·grad) v*

Der. matr.

Der. loc.

segue la

nel

temp

Trascinamento

(v*·grad) = (u, v, w)·(∂/ ∂x, ∂/ ∂y, ∂/ ∂z)

(v*·grad)v*

grad v* di div

div v* di div

CINEMATICA

Traiettoria (streakline) Insieme delle posizioni: occapate da una particella nel corso del tempo

Linea di fumo (swokeline) Insieme di particelle che, una volta nella loro storid, sono passate dallo stesso punto

Linea di corrente (streamline) Linea che, in ogni punto e tangente al vettore velocità

Nel caso stazionario: ∂/ ∂t = 0 le tre def. coincendo

e facciamo ② - ① :

D_t∫_Vm(t)ρφ^VdV = d/dt ∫_V(t)ρφ^VdV

-∫_Vm(t)dφ/dt dV + ∫_S(t)ρφ(^V-^V_s) n ds

e rimane :

D_t∫_Vm(t)ρφ^VdV = d/dt∫_V(t)ρφ^VdV + ∫_Sρφ(^V-^V_s) n dS

Per un volume di controllo fisso V_m(t)=V, e posso portare dentro la derivata e ∫_S ,

ottengo il TEOR DI TRASPORTO DI REYNOLDS:

D_t∫_Vm(t)ρφ^VdV = ∫_V∂/∂t(ρφ^V) dV + ∫_Sρφ^Vn dS

D_t/Dt = ∂/∂t + trasporto

CONSERVAZIONE MASSA

La massa non si crea o distrugge :

D_t∫_Vm(t)ρ dV = 0 per volume mat. ovvero impermeabile

Utilizzando il T.T.R, avremo :

∫_V∂ρ/∂t dV + ∫_Sρ^Vn dS = 0

FORMA INTEGRALE (se è cambiata in V e per via di un flusso)

Con il teor div :

∫_V(∂ρ/∂t + div(ρ^V))dV = 0

Quero :

∂ρ/∂t + div(ρ^V) = 0 FORMA DIFFERENZIALE

Se fluido incomprimibile, ρ = cost.

div(^V) = 0

Vediamo una scrittura alternativa :

Definizio ε = 1/ρ con ρ ≠ const. e

1/ε Dε/Dt = div(^V) ε = volume specifico

infatti so che :

D_R/Dt = ∂ρ/∂t + ^Vgradρ

div(ρ^V) = ρdiv(^V) + ^Vgradρ

D_R/Dt = ∂R/∂t + div(^V) - ρdiv(^V)

de cons massa,

D_R/Dt = -ρgrad(^V)

φ(0) = φ(L) = 0

Allora la termodinamica ci dice che un fenomeno diffuso monodimensionale è governato dalla

EQ. DI CONDUZIONE:

_∂φ∂t = α_{∂²φ∂x²}

dove per I.C.:

φ(x, t = 0) = A sin(^πx_L) con

φ(^L₂, t = ∞) = A

La cui soluzione è:

φ(x, t) = e^-T2αt • A sin(^πx_L)

Ovvero nel corso del tempo il profilo si appiattisce fino ad annullarsi. Questo rappresenta il significato del termine π²α, ovvero:

• Rappresenta gli sforzi viscosi presenti tra diverse regioni o strati di fluido; questi sforzi si oppongono ai movimenti relativi delle molecole vicine

Effetto viscoso della viscosità:

Rappresenta considerando la qtà di moto, se da qualche parte nel campo di moto c'è un picco di qtà di moto, il termine viscoso lo smorza

d2Ψ/dx² = 0 → U_y = 0 → Ψ = Ψ(x)

Allora: U_y = 0 ⇒ ∫U_x dx = Ψ + C

Poi trovo che U_y = dΨ/dx ⇒ dΨ/dy = 0 ⇒ Ψ = U_∞y + C

Vortice Elementare

U_z - U_y = 0

È irrot ed incomp

Trovo Ψ(r)

(U_x,U_y) = (-1/r ∂Ψ/∂y, 1/r ∂Ψ/∂r) ←→ Ψ ≠ Ψ(θ)

U_x = -Γ/2πr

U_y = Γ/2πr

Sorgente/Pozzo

Q portata volumetrica 2D della sorgente [m²/s]

div(U) = rot(U) = 0

(U_r, U_θ) = (-1/r ∂Ψ/∂r , -1/r ∂Ψ/∂θ ) ←→ Ψ ≠ Ψ(r)

U_r = Δ_m/2πr

U_θ = Δ_m/2πr

Ψ_sorgente = Δ_m/2π

Δ > 0: Sorgente

Δ < 0: Pozzo

Flusso Uniforme + Sorg

U_x → U₀ cosθ + Δ/2π

Ψ = U₀r sinθ + Δ/2π

Ricoavo:

U_r = U_∞ cosθ + Δ/2π

U_θ = U_∞ sinθ

Attraverso la linea di separazione non posso muovermi

Doppietta + Cor. Uniforme (Rankine Oval)

U = y = const

Ψ = Δ/2π

Se avviciniamo sorg e pozzo ottengo un cyl.

k_m = L_k/2π

k = intensità della doppietta

Ψ_p = 2π

Ψ_doppia = ^k_m/_2πr

U_y = U_∞Sinθ (1 - R²/r)

U_x = U_∞Cosθ (1 - R²/r)

Per r = R : U_r = 0

2 pt. di ristagno