Appunti Aerodinamica - 1/3

Calcolo tensoriale

Classificazione delle grandezze fisiche

Le grandezze fisiche definite in ogni punto di uno spazio a n dimensioni (ad esempio n=3) si possono classificare come:

• Scalari (tensori di ordine 0) che sono determinati da n⁰=3⁰=1 componenti scalari (Esempi: campi di temperatura, densità…) _A, _T. In questo caso abbiamo solo un valore numerico accompagnato dall’unità di misura (ad esempio 3 metri, da distinguere rispetto alla dimensione fisica, ovvero lunghezza). L’unità di misura rappresenta la grandezza di riferimento con cui misuriamo la nostra grandezza fisica.
• Vettori (tensori di ordine 1) che sono determinati da n¹=3¹=3 componenti scalari (Esempi: campi di forza, velocità…) _A, _E. Sono rappresentati da modulo (scalare) e da una direzione (intesa come direzione orientata, quindi direzione+verso).
• Tensori (tensori di ordine 2) che sono determinati da n²=3²=9 componenti scalari (Esempi: tensore degli sforzi, tensore di deformazione…) _A, _T. Sono associati a grandezze fisiche che dipendono da due direzioni.

Rappresentazione di vettori e tensori

Dato un sistema ortogonale rettilineo di versori _x, _y, _z possiamo esprimere un vettore come:

ω = αx + βy + γz = ω_ie_i = α₁x + α₂y + α₃z = α_ie_i

α_i = x, α₂ = y, α₃ = z

Mentre per un tensore del secondo ordine (abbiamo 2 indici):

A = A_ije_ie_j

Un tensore del II ordine è rappresentabile come una matrice quadrata, un tensore del III ordine è rappresentabile come una matrice cubica/tridimensionale (3 indici), un tensore del IV ordine è rappresentabile come una matrice quadrimensionale (4 indici).

Prodotti vettoriali

Prodotto scalare o interno

(a_ib_i) = (a₁, a₂, a₃) · (b₁, b₂, b₃) = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)

δ_ij =

• 1 se i = j
• 0 se i ≠ j

Prodotto vettoriale

(a_ib_j) = c_k = ε_ijka_jb_k

ε_ijk =

• +1 se (i,j,k) è una permutazione pari (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)
• -1 se (i,j,k) è una permutazione dispari (2,1,3), (3,2,1), (1,3,2)
• 0 se due indici sono uguali

Prodotto tensoriale o diadico

(a ⊗ b) = A

(a = a_i ê_i)

(b = b_j ê_j)

(A = a_ib_j ê_i ê_j)

A_ij = a_ib_j =

• a_ib₁
• a_ib₂
• a_ib₃

Prodotto misto

((a × b) · c) = d

Proprietà ciclica: a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) = 0

Doppio prodotto vettoriale

(a × (b × c)) = d

(a × (b × c)) = (a · c) b - (a · b) c = d

((a × b) × c) = (a · c) b - (b · c) a = d

Calcolo differenziale per vettori e tensori

Avremo grandezze che dipendono da (x,y,z) o, equivalentemente, (x₁, x₂, x₃):

Ovvero grandezze funzioni del punto in cui vengono misurate:

Problema stazionario: sistema indipendente dal tempo

Problema instazionario: sistema che varia nel tempo

Quindi eventualmente può aggiungersi 't' come ulteriore variabile.

Operatore nabla ∇

Per capire come effettuare le operazioni di differenziazione di funzioni vettoriali e scalari dobbiamo introdurre l'operatore nabla: ∇.

È un operatore differenziale vettoriale: le sue componenti effettuano delle derivate sull'oggetto sul quale è applicato l'operatore.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano (le variabili delle funzioni sono le coordinate del punto: x₁, x₂, x₃). Le componenti dell'operatore nabla sono le derivate parziali rispetto a x₁, x₂, x₃.

Consideriamo l'operatore ∇ applicato ad una funzione scalare:

Applicando l'operatore nabla ad una funzione scalare si ottiene il gradiente della funzione.

Considerando invece ∇ applicato ad una funzione vettoriale (si ricordi che: consideriamo scalari, vettori e tensori come funzioni del punto, altrimenti non potremmo derivare) possiamo fare le operazioni:

• Prodotto scalare ∇ · v che restituirà uno scalare, detto 'divergenza del vettore'
• Prodotto vettoriale ∇ ^ v che restituirà un vettore detto 'rotore del vettore'
• Prodotto tensoriale / diade ∇ v che restituirà un tensore, detto 'gradiente del vettore'

Quello che ora indichiamo con v rappresenta solo un vettore generico, in seguito lo utilizzeremo per indicare il vettore velocità, in modo da poter definire il gradiente di velocità.

La divergenza è collegata alla comprimibilità (variazione di densità) del mezzo.

Considerando ∇ applicato ad una funzione tensoriale (come τ) possiamo fare le operazioni:

• Prodotto scalare ∇ · τ che restituirà un vettore, detto 'divergenza del tensore'
• Prodotto vettoriale ∇ ^ τ che restituirà un tensore detto 'rotore del tensore'

Relazioni e proprietà aggiuntive

Dimostriamo adesso un'altra relazione, partendo da:

1/2 A ∇ υ = υ · A^e con A = ∇ ∇; A_v = υ ∇ υ e 1/2 (∇ υ) ∇ υ = υ · 1/2 (∇ υ - ∇_v̅)

(∇ υ) ∇ υ = (∇ υ) υ · υ; ∇ (υ²/₂) υ = ∇ (υ · υ) υ = υ · (∇ υ) - ∇ (υ²/₂);

∇ · (υ ∇) = (∇ υ)_e · e + (∇_e) · υ;

∇ (e · s) = (∇_e) · s + (∇_s) · e

Tutte queste relazioni valgono per qualsiasi riferimento ma è comunque importante notare che hanno espressioni particolari, quando le andiamo ad esplicitare, a seconda del sistema di riferimento.

Altre proprietà utili in relazione al gradiente di una funzione scalare f

• Formula del gradiente: la derivata direzionale di f nella direzione di versore s è ∇f è un vettore e, in quanto tale, è caratterizzato da una certa direzione: il vettore gradiente (di una funzione scalare) è ortogonale alle isolinee (curve che si ottengono ponendo f=cost., tracciando i punti per i quali si ottiene quel valore per f) della funzione
• ∇f è diretto nella direzione delle f crescenti
• Il modulo di ∇f ci dà il valore (del modulo) della derivata direzionale massima
• Il versore per cui si ottiene la derivata direzionale massima è parallelo a ∇f