Appunti Aerodinamica - 1/3

Calcolo tensoriale

Le grandezze fisiche definite in ogni punto di uno spazio a n dimensioni (ad esempio n=3) si possono classificare come:

• Scalari (tensori di ordine 0) che sono determinati da n⁰=3⁰=1 componenti scalari(Esempi: campi di temperatura, densità…) _A, _TIn questo caso abbiamo solo un valore numerico accompagnato dall’unità di misura (ad esempio 3 metri, da distinguere rispetto alla dimensione fisica, ovvero lunghezza). L’unità di misura rappresenta la grandezza di riferimento con cui misuriamo la nostra grandezza fisica.

• Vettori (tensori di ordine 1) che sono determinati da n¹=3¹=3 componenti scalari(Esempi: campi di forza, velocità…) _A, _ESono rappresentati da modulo (scalare) e da una direzione (intesa come direzione orientata, quindi direzione+verso).

• Tensori (tensori di ordine 2) che sono determinati da n²=3²=9 componenti scalari(Esempi: tensore degli sforzi, tensore di deformazione…) _A, _TSono associati a grandezze fisiche che dipendono da due direzioni.

Dato un sistema ortogonale rettilineo di versori _x, _y, _z possiamo esprimere un vettore come:

Mentre per un tensore del secondo ordine (abbiamo 2 indici):

Un tensore del II ordine è rappresentabile come una matrice quadrata, un tensore del III ordine è rappresentabile come una matrice cubica/tridimensionale (3 indici), un tensore del IV ordine è rappresentabile come una matrice quadrimensionale (4 indici).

Mentre un vettore ha 3 componenti scalari lungo i tre assi coordinati, un tensore (del II ordine) ha 9 componenti scalari lungo le 9 diadi coordinate o, equivalentemente, ha 3 componenti vettoriali lungo i 3 assi coordinati.

Prodotti vettoriali:

• Prodotto scalare o interno: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = c \)

  \( a_i b_i = (a_1, a_2, a_3) \cdot (b_1, b_2, b_3) = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) \) \( \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } i = j \\ 0 & \text{se } i \neq j \end{cases} \)

• Prodotto vettoriale: \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{c} \)

  \( a_i b_j = c_k = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \)

  \( \varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{se } (i,j,k) \) è una permutazione pari \( (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \) \\ -1 & \text{se } (i,j,k) \) è una permutazione dispari \( (2,1,3), (3,2,1), (1,3,2) \) \\ 0 & \text{se due indici sono uguali} \end{cases} \)

• Prodotto tensoriale o diadico: \( \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{A} \)

  \( \mathbf{a} = a_i \hat{e}_i \)

  \( \mathbf{b} = b_j \hat{e}_j \)

  \( \mathbf{A} = a_i b_j \hat{e}_i \hat{e}_j \)

  \( A_{ij} = a_i b_j = \begin{bmatrix} a_i b_1 \\ a_i b_2 \\ a_i b_3 \end{bmatrix} \)

• Prodotto misto: \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = d \)

  Proprietà ciclica \( a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b) = 0 \)

• Doppio prodotto vettoriale: \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{d} \)

  \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} = \mathbf{d} \)

  \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a} = \mathbf{d} \)

Calcolo differenziale per vettori e tensori

Avremo grandezze che dipendono da (x,y,z) o, equivalentemente, (x1, x2, x3):Ovvero grandezze funzioni del punto in cui vengono misurate:

• Problema stazionario: sistema indipendente dal tempo
• Problema instazionario: sistema che varia nel tempo

Quindi eventualmente può aggiungersi 't' come ulteriore variabile.

Operatore nabla ∇

Per capire come effettuare le operazioni di differenziazione di funzioni vettoriali e scalari dobbiamo introdurre l'operatore nabla: ∇.È un operatore differenziale vettoriale: le sue componenti effettuano delle derivate sull'oggetto sul quale è applicato l'operatore.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano (le variabili delle funzioni sono le coordinate del punto: x1, x2, x3). Le componenti dell'operatore nabla sono le derivate parziali rispetto a x1, x2, x3.

• Consideriamo l'operatore ∇ applicato ad una funzione scalare:

Applicando l'operatore nabla ad una funzione scalare si ottiene il gradiente della funzione.

• Considerando invece ∇ applicato ad una funzione vettoriale (si ricordi che: consideriamo scalari, vettori e tensori come funzioni del punto, altrimenti non potremmo derivare) possiamo fare le operazioni:

• Prodotto scalare ∇ · v che restituirà uno scalare, detto 'divergenza del vettore'
• Prodotto vettoriale ∇ ^ v che restituirà un vettore detto 'rotore del vettore'
• Prodotto tensoriale / diade ∇ v che restituirà un tensore, detto 'gradiente del vettore'

Quello che ora indichiamo con v rappresenta solo un vettore generico, in seguito lo utilizzeremo per indicare il vettore velocità, in modo da poter definire il gradiente di velocità.La divergenza è collegata alla comprimibilità (variazione di densità) del mezzo.

• Considerando ∇ applicato ad una funzione tensoriale (come τ) possiamo fare le operazioni:

• Prodotto scalare ∇ · τ che restituirà un vettore, detto 'divergenza del tensore'
• Prodotto vettoriale ∇ ^ τ che restituirà un tensore detto 'rotore del tensore'

Dimostriamo adesso un'altra relazione, partendo da

1/2 A ∇ υ = υ ⋅ A^e

con A = ∇ ∇; A_v = υ ∇ υ e 1/2 (∇ υ) ∇ υ = υ ⋅ 1/2 (∇ υ - ∇_v̅)

• (∇ υ) ∇ υ = (∇ υ) υ ⋅ υ
• ∇ (υ²/₂) υ = ∇ (υ ⋅ υ) υ = υ ⋅ (∇ υ) - ∇ (υ²/₂)

∇ ⋅ (υ ∇) = (∇ υ)_e ⋅ e + (∇_e) ⋅ υ

∇ (e ⋅ s) = (∇_e) ⋅ s + (∇_s) ⋅ e

Tutte queste relazioni valgono per qualsiasi riferimento ma è comunque importante notare che hanno espressioni particolari, quando le andiamo ad esplicitare, a seconda del sistema di riferimento.

Altre proprietà utili in relazione al gradiente di una funzione scalare f

• Formula del gradiente: la derivata direzionale di f nella direzione di versore s è

• ∇f è un vettore e, in quanto tale, è caratterizzato da una certa direzione: il vettore gradiente (di una funzione scalare) è ortogonale alle isolinee (curve che si ottengono ponendo f=cost., tracciando i punti per i quali si ottiene quel valore per f) della funzione

• ∇f è diretto nella direzione delle f crescenti

• il modulo di ∇f ci dà il valore (del modulo) della derivata direzionale massima

  il versore per cui si ottiene la derivata direzionale massima è parallelo a ∇f