Adattamento in potenza

BISOGNA RIACCENDERE IL GENERATORE , STACCARE IL CARICO IN MODO DA AVERE

UN CIRCUITO APERTO E MISURARE LA DIFFERENZA DI POTENZIALE AI CAPI DEI

MORSETTI DETTA TENSIONE A VUOTO.

Un circuito costituito da un generatore (comunque complesso) e da un carico (comunque

complesso) può essere schematizzato con un circuito ad una maglia in cui c'è un generatore

di tensione con in serie Z (del generatore) e Z (Z d'ingresso del carico)

eq c

Separando parte resistiva dalla parte reattiva,otteniamo

Z =R + jX R >0

eq eq eq eq

Z =R + jX R >0

C C C C

Ora vediamo quanto vale la POTENZA ATTIVA consegnata al carico Z .

C

∗

P=

La POTENZA COMPLESSA consegnata al carico Z è .

C

Per avere la potenza attiva dobbiamo prendere la parte reale della potenza complessa

(ho sostituito V inoltre I è reale)

c c

I è il rapporto tra la ddp e la somma delle impedenze.

c

Separando parte Re e Im avremo

Questa che abbiamo trovato è la POTENZA ATTIVA CONSEGNATA AL CARICO.

Fissato il generatore bisogna trovare l'impedenza di carico che massimizza la potenza

trasferita al carico.

Quindi dobbiamo massimizzare rispetto Z ovvero rispetto a R (R >0 perché il carico è

c c c

passivo) e rispetto a X .

c

X compare solo al denominatore quindi se vogliamo massimizzare la frazione dobbiamo

c

minimizzare il denominatore.

Di conseguenza il valore più piccolo che si può ottenere al denominatore si ha per X =-X in

c eq

2

modo che (X +X ) =0

eq C

Ora dobbiamo massimizzare per R il rapporto

c

( + )

Al denominatore metto in evidenza R , che portato fuori dalla parentesi quadra

equivalente

2

sarebbe .Scrivo una R al denominatore ed una al numeratore.

eq

In particolar modo lo scrivo in questa maniera.

(min 1:47:00)

Quindi

Se pongo R /R =x ho una funzione f(x)= e devo massimizzare questa funzione.

c eq 2

(1+)

Vediamo come è fatta questa funzione.

→

Per x=0 ho 0 f(0)=0.

Se calcolo il limite per x che tende a infinito

perché il denominatore va ad infinito come “x al quadrato” mentre il numeratore va ad

infinito come x ,quindi il limite fa zero .

Per x compreso tra 0 ed ∞ si otterrà un numero reale positivo.

Se calcolo la derivata della funzione e trovo che sia annulla per un valore reale positivo di x

quello sarà certamente un massimo.

Graficamente la funzione parte da zero poi cresce fino a raggiunge il massimo e poi

decresce finché per il limite per x che tende all’infinito vale zero.

Calcoliamo la derivata prima della funzione (con la formula della derivata del rapporto).

(per la proprietà della derivata)

Ora devo porre la derivata uguale a 0.

→si

f’(x)=0 annulla per x=±1

Ci interessano solo valori di x “maggiore uguali di zero” perché R >0, quindi ci interessa x=1

c

→

e quindi il massimo si ottiene quando x=1 cioè quando R /R =1 R =R .

c eq c eq

Quindi ottengo il massimo trasferimento possibile di potenza sul carico se

ossia se l’impedenza di carico Z è pari al complesso coniugato dell'impedenza equivalente

c

∗

del generatore : Z =

c

Questa è la CONDIZIONE DI ADATTAMENTO IN POTENZA.

L’ADATTAMENTO IN POTENZA VUOL DIRE MASSIMIZZARE LA POTENZA ATTIVA

TRASFERITA AL CARICO UNA VOLTA FISSATO IL GENERATORE.

IL CARICO DEVE AVERE UN'IMPEDENZA D'INGRESSO Z PARI PROPRIA A Z (DEL

C EQUIVALENTE

GENERATORE) CONIUGATO.

Ciò che bisogna fare è usare queste informazioni per la linea di trasmissione.

CIRCUITI DI ADATTAMENTO

Ora assegnato un circuito costituito da linee di trasmissione bisogna cercare di determinare

una sezione tale che TUTTO CIÒ CHE STA A MONTE della sezione (che include certamente il

generatore) possa essere schematizzato col GENERATORE EQUIVALENTE DI THEVENIN e

TUTTO CIÒ CHE STA A VALLE di quella sezione possa essere schematizzato con una Z di

carico

Dobbiamo capire il criterio per scegliere la sezione di separazione tra il circuito del

generatore e il circuito del carico.

Ricordiamo che la condizione per l’adattamento in potenza e che il generatore era fissato

e quello che variava era soltanto il carico.

Quindi nello scegliere la sezione DOBBIAMO FAR IN MODO CHE A MONTE TUTTO SIA

FISSATO, CIOÈ CHE LA SEZIONE CHE COMPRENDE IL GENERATORE NON ABBIA QUANTITÀ

CHE POSSONO ESSERE VARIATE.

INVECE A VALLE DELLA SEZIONE CONSIDERATA DEVONO ESSERCI SOLO LE GRANDEZZE

CHE POSSONO VARIARE IN MODO TALE DA FAR VARIARE L'IMPEDENZA CHE VIENE VISTA

A QUELLA SEZIONE. →

Nel nostro caso in cui stiamo cercando di utilizzare un adattatore a uno STUB in serie la

sezione che scegliamo per poter imporre la condizione di adattamento deve certamente

lasciare a valle i due STUB.

Inoltre a valle della sezione ci deve essere il carico su cui andiamo a massimizzare la

potenza e ci deve essere solo il carico Z ,su cui massimizza la potenza che ha una parte

c

resistiva su cui si può dissipare potenza (non devono essere altre resistenze su cui si può

dissipare potenza).

Per i circuiti di adattamento ad uno STUB, va bene qualunque sezione compresa tra AA’ e

CC’.

Questo perché qualunque sia la sezione che prendiamo tra loro, lascia a valle tutte le

grandezze variabili (le lunghezze x e y) e lascia solo il carico Z tra i carichi su cui si può

c

dissipare potenza e dall’altra parte (quindi a Monte di una qualunque sezione compresa tra

CC’ e AA’) tutte le quantità sono fissate. min 2:17:00

Tuttavia non ci conviene scegliere una sezione intermedia ma una tra CC’ e AA’.

Se ci mettiamo su CC’ otteniamo una semplificazione dal lato del generatore perché non c'è

bisogno di applicare THEVENIN dato che il circuito è già costituito da un generatore ideale e

dalla sua impedenza interna e quindi la condizione di adattamento diventa immediata:

∗

Z = .

c

Con questo metodo ci semplifichiamo la vita da un lato però dall'altro c'è la complichiamo.

(spiegazione inutile dato che non la usiamo )

min 2:18:00

Riprendiamo il circuito ∗

=

Se ci mettiamo alla sezione AA’ la condizione di adattamento sarà ′

dove Z è la Z del circuito di thevenin di tutto ciò che sta a Monte di AA’.

equivalente

Avremo una situazione analoga all'adattamento per uniformità cioè abbiamo che

Re{ }= Re{ } (vedi similitudine adattamento per uniformità)

′ ′

Ma Re{ } = Re{ } :

′

{ } = { }

′

{

{ } = −{ }

′

Nota: = +

′ ′

Nella prima equazione compare solo l'incognita x quindi possiamo risolvere la prima

equazione rispetto a x e poi sostituire nella parte immaginaria di e quindi di .

′ ′

Poi usiamo la seconda equazione per trovare y in perfetta analogia a quanto abbiamo fatto

nel caso dell'adattamento per uniformità.

Lo svantaggio è che qui

dobbiamo applicare il teorema di thevenin per trovare Z eq .

Per trovare Z dobbiamo spegnere il generatore e quindi cortocircuitare il generatore di

eq

tensione e alimentare da AA’ verso sinistra e vedere che impedenza è presente.

Ciò che avremo sarà che Z è pari a Z trasportato di un tratto di lunghezza L.

eq g

ATTENZIONE:

Z va trasportato sempre verso il generatore perché quando usiamo il teorema di

g

thevenin per trovare Z alimentiamo da AA’.

g

NOTA:

La condizione di adattamento in potenza è in generale diversa da quella di adattamento per

uniformità.

Nel nostro caso se volessimo realizzare adattamento per uniformità dovremmo porre

= Z in modo da avere che coefficiente di riflessione nullo .

′ 0

Ma noi non stiamo ponendo la parte Re{ }= Re{Z } ,ma nel nostro caso Re{ }=Re{Z }

′ ′

0 eq

quindi adattamento per uniformità e adattamento in potenza sono in generale due

condizioni diverse.

La condizione desiderabile e che entrambe venissero realizzate contemporaneamente

la condizione di adattamento per uniformità ci permette di non avere riflessioni lungo la

linea e contemporaneamente con l'adattamento in potenza potremmo massimizzare la

potenza consegnata al carico (fissato il generatore).

→

In realtà se Z =Z indipendentemente dalla lunghezza del tratto ,quando andiamo a

g 0

trasportare un carico adattato lungo la linea esso rimane sempre uguale a se stesso.

Ponendo Z =Z nella formula vediamo che numeratore e denominatore si semplificano e

g 0

rimane Z =Z

eq 0

e quindi la condizione di adattamento in potenza coincide con la condizione di adattamento

per uniformità.

Quindi in un caso di questo genere se abbiamo che Z =Z possiamo anche non conoscere

eq 0

la lunghezza L ma possiamo risolvere comunque il problema di adattamento .

Quindi se

POTENZA IN QUESTO TIPO DI ADATTAMENTO

Per avere la massima potenza trasferibile al carico bisogna utilizzare la formula

Dove: X =-X e R =R

c eq c eq

La potenza attiva massima trasferibile al carico che viene detta anche potenza disponibile

| |

P =

del generatore è aMax

( )

P =

La potenza disponibile del generatore è anche pari semplicemente a aMax

perché massimizzare la potenza consegnata al carico equivale a massimizzare il flusso di

potenza attraverso una qualunque sezione, dato che la potenza attiva non cambia lungo le

sezioni in quanto la linea è senza perdite.

Quindi la potenza consegnata al carico, in particolare in condizioni di adattamento, è

sempre uguale alla potenza che fluisce attraverso la sezione BB’, sezione AA’ , sezione CC’

perché stiamo supponendo che non ci siano perdite e quindi la potenza disponibile si può

anche calcolare direttamente qui

| |

P=

Come

CALCOLO DEI PARAMETRI DELLA LINEA

Ora dobbiamo capire come fare ,assegnata una linea di trasmissione , come calcolare i

parametri che la caratterizzano.

Dobbiamo