5. meccanica del corpo rigido e corpi deformabili

Meccanica del CR - Formulario

• GRADI DI LIBERTÀ
• punto libero ➔ 3 gdl ➔ ^→F = m ^→a
• sistema N punti nello spazio ➔ 3N gdl
• corpo rigido libero ➔ 6 gdl ➔ ^→F_e = m^→a_CM ∣^→M₀ = dL/dt

CINEMATICA del CR:

• MOTO TRASLATORIO:

Δ^→r = ^→r'     v_i = V_CM     a = ^→a_CM

^→F = m^→a_CM

spostamenti, velocità e accelerazioni sono uguali e il V punto

• MOTO ROTATORIO INTORNO UN ASSE FISSO:

Δs ≠ Δs_c = r_i Δθ

ΔΘ ≡ ΔΘ_c descrivono stesso angolo   V_i = ω ∙ r_i

ω = ω_i uguale a V punto

α_t = α f_i diversi, perchè dipendono da r_i

a_n = ω² r_i

• MOTO ROTOTRASLATORIO :

V_i = V^→CM + V^→clr       F_i = F_Cin + F^→clr

TRASLAZIONE PURA: c = V^→CM

ROTAZIONE PURA: se l'asse passa per il CM ➔ V_CM = 0

se l'asse non passa per il CM ➔ V_CM ≠ 0          ω^→ ∙ c^→    V^→ ≠ ω^→ ∙ r^→

DINAMICA DEL CR: (EQ. CARDINALI)

^→F_e =  d^→p/dt = m^→a_CM

M^→_eCM = dL_CM/dt

BARYCENTRO (per corpi non troppo estesi)

^→B = (CM ar Σi c^→_i ∙ m_i) /M

MECCANICA DEL CR IN MOTO TRASLATORIO:

^→F ≠ 0… ≤ d^→p_e/dt ≠ 0         F^→e M^→CM

L^e = ∫ F^→_eΔs_ch    

E^→e = ΣF^→e

int p^→ ≠ int Δs_ch = 0 perchè F^→int ≠ Σ^→τ^→int ≠ 0 ∃ RP .   ^→L = L^e  F^→e ∆s_ch

LAVORO:

POTENZA ISTANTANEA     p^→dL^e/dt = ^→F_e ∙ ^→J

EN CINETICA     T = 1/2 M V^→_cm²

EN POTENZIALE     U₁ - U₂ = ΔU = ΔU^e

MECCANICA DEL CR IN MOTO ROTATORIO INTORNO UN ASSE FISSO:

M^→CM = dω₀/dt

MOMENTO ANGOLARE ASSIALE       b^→₀ = ω ∙ Σ m_i r²_i = ω ∙ I_x

MOMENTO DI INERZIA       I_x = Σ m_i r²_i rispett. l'asse di rotazione x

• corpo continuo I^→Eσ^ωA
• cilindro/disco I = 1/2 πR²
• parallelepipedo I = M(o² + b²)/12
• barra sottile: I = mL²/12

TEOREMA HUYGENS-STEINER: I = I_cm + M·d²

Dinamica / Statica del corpo rigido

M_x^e = I_x·α Eq. Fondamentale

Energetica del corpo rigido

Potenze P_x = di^e/dt = M_x^e·ω

Principio di conservazione del M. angolare x sistemi rotanti

Statica del CR: V_cm = 0 ω = 0

F = 0 M_O/CM^e = 0

● MOMENTI ASSIALI PER UN CORPO RIGIDO CHE RUOTA INTORNO A UN ASSE FISSO

ASSE CENTRALE DI INERZIA, assi di rotazione intorno ai quali il corpo può ruotare

con ω̇ = cost senza intervento di T^est (rotazione libera) + T^est = M_ctr = 0.

Gli assi detti centrali di inerzia, devono passare per il cdm.

● MOMENTO ANGOLARE b_x e MOMENTO DI INERZIA I_x

Dato un corpo rigido che ruota intorno l’asse fisso X, ogni m_i del corpo

descrive una circonferenza di raggio R_i e centro Q_i; la sua velocità (tg alla

circonferenza) è v_i = ωR_i. ω: velocità ang. v: punto

l_i = l’angolare rispetto car polo Q_i è b_αi = R_i × (m_i ∙ j_i)

I_i = l_i = m_iR_i²ω poiché v_i = ω ∙ R_i

∑b_i = ∑R_i × m_i ∙ v_i = ∑r_i ∙ m_i ∙ ωr_i = |ω| ∑m_ir_i² MOM. ANGOLARE

I_x = ∑m_i ∙ R_i² MOMENTO di INERZIA del CORPO RISPETTO al ASSE DI ROTAZ X

in base alla teoria del CR ∀ corpo almeno 3 assi centrali mutuamente ⊥

rispetto al quale il momento angolare ha la direzione dell’asse stesso.

Quest sono ASSI PRINCIPALI di INERZIA e i momenti di inerzia rispetto a tali assi

sono detti MOMENTI PRINCIPALI DI INERZIA

Se un corpo ha assi di simmetria, tali assi sono anche PRINCIPALI di INERZIA e per

essi b = I ∙ w

● MOMENTI di INERZIA I_x = ∑m_i ∙ R_i² (per un sistema discreto di masse)

I = ∫R² dm = ∫c ρR²dv M = c = cost |∫ρR²dv| = I

ES CILINDRO o DISCO I = ⅓ M ∙ R² PARALLELEPIPEDO I = M(c₂ + b²/12

BASTRA SOTTILE I = ML²/12

● TEOREMA DI HUYGENS-STEINER: Il M d’inerzia rispettò a un asse non passante

per il cdm dipende dall’orientazione e dalla collocazione dell’asse rispetto al corpo.

… più di inerzia per un asse // all’asse di rotazione che passa dal cdm

+ L = I_cm + H² distanza cdm asse di rotazione

Quando ad es. l’asse di rotazione incontra sempre dal CR, quindi di

diretta la distanza tra il Cdm del corpo e l’asse di rotazione

Meccanica dei corpi deformabili - FORMULARIO

e⁼m^√l

STATICA DEI FLUIDI:

• PRESSIONE DEI FLUIDI IN QUIETE p = F/S [B] = [N/m²]
• COMPRIMIBILITÀ DEI FLUIDI

ΔV/V = -Δp/kv

se Δp>0 Δe/e_x = sp/B B₌1/kv

• FORZE DI SUPERFICIE

dF₌p

FdS

• FORZE DI VOLUME

dF₌m

G

e_G

EQUAZIONE DELLA STATICA PER I FLUIDI PESANTI (in forma locale)

dp = e

g

dy

• LEGGE DI STEVINO p(y) = p₀(y₀) + p

g(y-y₀)

p₌p₀ + egh

• PRESSIONE ATMOSFERICO

p_a≅105Pa

p = p_a + e

g

h

• STATICA DEI FLUIDI NON OTOGENEI e₁h₁ = e_2}h₂
• FORZE DI UN FLUIDO SULLE PARETI

p_x pressione differenziale

• FORZE SUL FONDO

F₌e

g

hA_F

• FORZE SULLE PARETI LATERALI

F₌e

g_Xh_/2 = P_Xf/2

dH₁(h)

dF

dh = e

g

h,(0

H)

dH-H

integr eHo=F. 4/3

• TORCHIO IDRAULICO (Pascal)

p_!!≅f₁

f₂

=i = A_f2A_f1

• PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

S = e_tV_imn

g applicata al centro di somma

• CORPO PARZIALMENTE IMMERSO

V_eV_tot

S = e_i

V_imn

g

• CORPO ABBANDONATO

1. e_c > c

c affonda a

• 2. e_c = e_h2o corpo galleggia
• 3. e_c < e_h2ocorpo galleggia

e

V

g=

e_h2o

V_e

g

• PRESSIONE ATMOSFERICA (Torricelli)

p_a = e

i_t

g

H

=1.0132ͮ10⁵

1) 1mgq

1m3

E_msg13.585

10³ kg

H=

6

cm

P

V

corpo affonda    a=

g(1-

e₌