Statica dei Gusci Cilindrici in Regime Membranale

S S S S

= 2µ̃ G G + G ⊗ G, (2.3)

λ̃

C ⊠ 1

dove denota l’operazione di coniugazione ortogonale tra tensori . Il tensore di

⊠ −1 (A)

elasticità inverso, tale che E = T , è

C

1 λ̃

S S

−1 S S

G G −

= G ⊗ G. (2.4)

C ⊠

2µ̃ 4µ̃( +

λ̃ µ̃)

Le costanti e sono i espressi in termini del modulo di Young

λ̃ µ̃ moduli di Lamé,

e del modulo di Poisson dalle relazioni seguenti:

Ẽ ν̃ Ẽ

Ẽ ν̃ = (2.5)

= , µ̃ .

λ̃ (1 − + 2(1 +

ν̃)(1 ν̃) ν̃)

Per una trattazione esauriente, si rimanda a [3], cap. 5.

2.3 Caratteristiche di sollecitazione

Per definizione, il tensore S verifica la condizione

Sn = 0,

T

1 (A := ∀A, ∈ Lin.

,

B) C ACB B

⊠

16 CAPITOLO 2. STATO TENSIONALE ED EQUILIBRIO

che equivale a 3

i3 i i

:= S · e ⊗ e = Sn · e = 0, (i = 1, 2, 3).

S

Quindi, le componenti controvarianti non nulle in generale del tensore S sono

iα i α i

:= S · e ⊗ e = s · e (2.6)

S .

α

Un discorso del tutto analogo vale per le componenti di M e di C. Le componenti

dei tensori S e M rappresentano le Le componenti

caratteristiche di sollecitazione.

αβ

attive dello sforzo, , si dicono due normali (per =

S α β)

forze membranali, 3α

e due di taglio (per 6 = le due componenti reattive sono le

α β); S forze di

αβ

Le componenti attive del tensore di momento vengono

M

taglio trasversali.

chiamate se = se 6 = non esiste una

α β, α β;

momenti flettenti momenti torcenti 3α

nomenclatura particolare per le due componenti reattive .

M

Le forze membranali e i momenti flettenti e torcenti hanno le seguenti espres-

sioni in termini della parte attiva di T:

+ε

Z (A)

αβ β α

= g · e

S αT dζ,

−ε (2.7)

+ε

Z (A)

αβ β α

= g · e

M αζT dζ.

−ε

Facendo uso del legame costitutivo, si possono esprimere tali componenti in

termini di deformazioni (e quindi di spostamenti, ricorrendo alla relazione di

17

2.4. EQUAZIONI DI BILANCIO IN FORMA LOCALE

congruenza (1.14)). Si ottengono le seguenti relazioni:

+ε

Z i

h

αβ α β

α β δ

= 2µ̃ E · e ⊗ g + E · g ⊗ g e · g

S α λ̃ dζ,

δ

−ε (2.8)

+ε

Z h i

αβ α β δ α β

= 2µ̃ E · e ⊗ g + E · g ⊗ g e · g

M αζ λ̃ dζ.

δ

−ε

Nella tabella seguente si riassume la natura delle caratteristiche di sollecitazione.

Sforzi Momenti

11 12 21 22 11 12 21 22

Componenti attive S , S , S , S M , M , M , M

31 32 31 32

Componenti reattive S , S M , M

2.4 Equazioni di bilancio in forma locale

Per dedurre le equazioni locali di equilibrio, cominciamo con il considerare la

(v. fig. (2.2)) ai punti della superficie media del sistema

riduzione per equipollenza

di forze agenti nei punti della generica fibra ortogonale a S per x e sulle superfici

inferiore e superiore del guscio. Tale sistema è composto dalle forze per unità di

volume b, che agiscono nei punti p = x + al variare di nell’intervallo (−ε,

ζn ζ ε),

e dalle forze di contatto per unità di superficie t che agiscono sulle superfici

suddette, cioè, nei punti p = x ± Integrando tali campi sullo spessore del

εn.

guscio si ottiene il sistema di forze e coppie per unità di area agenti sulla superficie

media: +ε

Z

S b := + (αt)

αb dζ ,

|x±εn

−ε (2.9)

+ε

Z

S S

f := × b + (αζn × t) = n × h,

αζn dζ |x±εn

−ε

18 CAPITOLO 2. STATO TENSIONALE ED EQUILIBRIO

avendo definito +ε

Z

S h := + (αζt)

αζb dζ .

|x±εn

−ε

S S

Il sistema di carichi ( b, f) agisce su ogni parte P ⊂ S, mentre (s, c) rappresenta

Figura 2.2: Riduzione dei carichi alla superficie media

il sistema di carichi per unità di lunghezza della curva frontiera della parte

∂P,

P su S.

Le condizioni di bilancio globale degli sforzi e dei momenti si formulano come

segue: Z Z S

s + b = 0,

P

∂P (2.10)

Z Z S S

[(x − o) × s + c] + (x − o) × b + f = 0, ∀P ⊂ S,

P

∂P 19

2.4. EQUAZIONI DI BILANCIO IN FORMA LOCALE

dove o è il polo rispetto al quale si calcolano i momenti. Inserendo in queste

formule le rappresentazioni di s e c in termini dei corrispondenti tensori di sforzo

e di coppia, utilizzando il teorema della divergenza per un tensore e sfruttando

l’arbitrarietà del dominio di integrazione, si possono ottenere le versioni per punti

delle condizioni di bilancio (2.10) e cioè, i due sistemi di equazioni a

per parti,

derivate parziali, con annesse condizioni al contorno:

S S

Div S + b = 0, Sm = s; (2.11)

S S

Div C + e × s + f = 0, Cm = c.

α α

S

dove Div è l’operatore di divergenza superficiale (cf. [3], §3.6). A partire da que-

sta espressione analitica delle condizioni di bilancio puntuale, si possono derivare

altre due versioni di tali condizioni, sia in termini di vettori di sforzo e di coppia

che in termini di caratteristiche di sollecitazione (cf. [3], §7.2, 7.3). Per i nostri

scopi, occorrono le espressioni delle condizioni di bilancio locale in termini di ca-

ratteristiche della sollecitazione. Si tratta del seguente sistema di cinque equazioni

2

differenziali alle derivate parziali :

S 3α S

δα δα δ

| − + = 0, = 1, 2,

S L S b δ

α

3α S S 3 (2.12)

βα

| + + = 0

S L S b ,

α αβ 3δ S

δα δ

| − + = 0, = 1, 2.

M S h δ

α

Se si esprimono le componenti attive dei tensori S e M in termini dei tre campi

scalari di spostamento (α = 1, 2) e utilizzando le (2.8), le cinque equazioni

û w,

α

che compongono il sistema contengono in totale cinque incognite, ovvero, oltre

δα

2 In queste formule abbiamo usato la notazione che esprime la derivata covariante di S

rispetto alla coordinata e il concetto di componenti miste per un tensore

α,

(cf. [3], §3.6).

20 CAPITOLO 2. STATO TENSIONALE ED EQUILIBRIO

3α

queste tre funzioni, le due componenti reattive dello sforzo .

S

2.4.1 Considerazioni sul tensore di sforzo superficiale

Le relazioni di bilancio locale sulla superficie media possono essere ottenute an-

che per integrazione sullo spessore delle corrispondenti relazioni valide per un

continuo tridimensionale ordinario di Cauchy. In particolare, se si considera la

condizione di bilancio locale dei momenti T ∈ Sym e la si integra sullo spessore

del guscio (cf. [3], §7.4), si ottiene la condizione generale:

S T

S + s ⊗ n − M L ∈ Sym. (2.13)

3

Quindi, il tensore di sforzo superficiale S risulta simmetrico se e solo se risulta

S T

simmetrico il tensore s ⊗ n − M L , circostanza che in generale non si realizza.

3

2.5 Regime di sforzo membranale

Lo stato di sollecitazione membranale per un guscio si formalizza nelle seguenti

ipotesi sui vettori superficiali di sforzo:

s · n = 0, = 1, 2, s = 0

α 3

α

e sui vettori superficiali di momento:

m = 0, = 1, 2.

α

α

Discende immediatamente dalla seconda ipotesi sui vettori di sforzo e da quella

sui vettori di momento che la condizione (2.13) fornisce S ∈ Sym. Si vede anche

21

2.5. REGIME DI SFORZO MEMBRANALE

facilmente che la prima ipotesi sui vettori di sforzo discende dalle altre (e quindi

dalla simmetria di S), infatti, se s = 0 = m , si ha:

3 α

3α

α α

s · n = Se · n = = e · Sn = 0

S ,

α

in quanto S è un campo tensoriale tangenziale.

In virtù di tali ipotesi, il tensore di momento M è nullo, mentre le uniche

αβ

S della forma ,

S

componenti del tensore di sforzo non nulle sono quelle attive,

vale a dire le forze di membrana. Esaminiamo l’aspetto che le equazioni di bilancio

locale assumono: S

δα δ

| + = 0, = 1, 2;

S b δ

α (2.14)

S S 3

βα + = 0,

L S b

αβ

per quanto riguarda il bilancio locale degli sforzi; la pretesa di assumere nulle le

azioni flessionali, invece, fa sı̀ che le due equazioni di bilancio locale dei momenti

giochino il ruolo di condizioni di compatibilità sui dati del problema, cioè, sui

carichi esterni che agiscono su G(ε):

S δ = 0, = 1, 2. (2.15)

h δ

Notiamo subito che le prime due equazioni di bilancio locale degli sforzi sono di

carattere differenziale, mentre la terza è di carattere algebrico; nel complesso, que-

sto sistema di equazioni è notevolmente più semplice di quello generale. dunque

esse risultano notevolmente semplificate rispetto al caso generale. Le condizioni

(2.15), necessarie ma non sufficienti, sono soddisfatte, ad esempio, nel caso di un

guscio cilindrico o sferico sottoposto a pressione su una o entrambe le superfici

22 CAPITOLO 2. STATO TENSIONALE ED EQUILIBRIO

S

inferiore e superiore, in quanto affermano che il vettore h dev’essere parallelo

alla normale n in ogni punto della superficie media: il problema che esamineremo

rientra in questi casi esemplificativi.

Un’altra osservazione importante riguarda il modo in cui si può condurre la

soluzione del problema elastico per un guscio in regime membranale. Per la sim-

metria di S, il sistema (2.14) si compone di tre equazioni in tre incognite, le forze

11 22 12 21 12

normali e le forze di taglio , = . Pertanto, se si dispone di con-

S , S S S S

dizioni al contorno in termini di sforzo, il guscio risulta staticamente determinato.

Neppure è necessario far ricorso al legame costitutivo per esprimere le componen-

ti attive di S in termini di deformazioni e spostamenti, ai fini della risoluzione.

Dunque, la soluzione del problema di determinare uno stato elastico (vale a dire,

le