Musica tra arte e scienza

Il nostro sistema uditivo però non funziona allo stesso modo a tutte le frequenze.

L’orecchio infatti è molto più sensibile a certe frequenze rispetto ad altre. Quindi sentiamo

molto meglio suoni con frequenza tra circa 600 e 5000 Hz, che è l'area del linguaggio

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parlato , ma soprattutto sentiamo molto meno sulle frequenze basse. Questo accade

perché il condotto uditivo ha una lunghezza tale da provocare un'area di risonanza a circa

3000 Hz. Di conseguenza il livello sonoro percepito non corrisponde all'ampiezza fisica.

La figura seguente mostra le cosiddette curve isofoniche (elaborate da Fletcher e Munson

e note anche con il nome dei due ricercatori) che mappano la sensazione di livello sonoro

effettivamente percepito rispetto ai dB per le varie frequenze.

Si leggono nel modo seguente: supponiamo di volere un suono a 1000 Hz con livello

sonoro percepito di 60 dB. Per sapere quale ampiezza fisica dovremo dare a questo suono

perché venga effettivamente percepito a 60 dB:

1. cerchiamo sull'asse orizzontale i 1000 Hz (1k)

2. andiamo verso l'alto fino a incontrare la linea etichettata con 60

3. da qui andiamo verso sinistra fino a incontrare l'asse verticale e leggiamo l'ampiezza in

dB.

Eseguendo questo procedimento risulta che, per generare un suono a 1000 Hz con livello

sonoro percepito di 60 dB, il suddetto suono dovrà avere una ampiezza fisica di 60 dB.

Tutta questa fatica per avere un valore uguale? Sì, perché le curve isofoniche sono tarate

proprio sui 1000 Hz.

4 Interessante notare che spesso ci da fastidio l’urlo del bambino che piange, questo perché è a una frequenza tale da

esser sentita dall’uomo a un livello più alto anche a distanza per un fatto naturale di sicurezza e sopravvivenza della

specie. 3

Ma adesso facciamo la stessa cosa per una frequenza a 100 Hz. Risulta che, per generare

un suono a 100 Hz con livello sonoro percepito di 60 dB, il suddetto suono dovrà avere

una ampiezza fisica di circa 70 dB.

Facendo musica si nota che i suoni bassi si sentono un po' meno, ma non sembra che la

differenza sia così grande. Questo dipende dal fatto che gli strumenti hanno meccanismi di

compensazione, sia nella regolazione della sensibilità dei tasti del piano, che nella

grandezza delle casse acustiche.

A partire dalle curve isofoniche è stata messa a punto un'altra unità di misura che tiene

conto della frequenza e delle curve isofoniche ed è stata chiamata Phon. Una frequenza di

100 Hz a 60 phon equivale alla stessa a 85 dB.

La forma d’onda.

Il suono, con l’ausilio del computer, viene spesso rappresentato tramite la sua forma

d’onda oppure tramite lo spettrogramma.

La forma d’onda è la rappresentazione grafica dell’ampiezza dell’onda in funzione del

a(t) . Lo spettrogramma invece oltre a fornirci la

tempo, o in altre parole la funzione reale i(t, f)

frequenza, rappresenta anche l’intensità dell’onda; la funzione è perciò .

Ogni suono ha un proprio sviluppo nel tempo, una variazione dinamica nel tempo che

viene chiamata inviluppo.

Se analizziamo il suono di una nota fatta da diversi strumenti questi avranno un inviluppo

diverso: il pianoforte o il tamburo hanno un attacco diverso più forte rispetto alla tromba o

a strumenti ad arco; questo è dovuto ovviamente al modo di produzione del suono dei vari

strumenti.

L’inviluppo è formato da quattro fasi:

1) attacco, corrisponde all’inizio del suono fino a quando

questo non ha raggiunto la massima potenza, può essere

immediato o graduale.

2) Decadimento, o decadimento iniziale, è una breve e

rapida diminuzione di ampiezza, prima che il suono si

stabilizzi.

3) Tenuta, è la fase in cui il suono rimane stabile mentre

l'esecutore continua a fornire energia. 4

4) Rilascio, o decadimento finale, è la fase che inizia nel momento in cui l'esecutore

smette di dare energia e il suono decade più o meno rapidamente.

Banda critica e Battimenti.

Il concetto di banda critica è molto importante perché determina sia la percezione di suoni

simultanei (accordi) che quella del timbro. Esso è legato alla fisionomia del nostro

orecchio. Le cellule dell'organo del Corti che interpretano le informazioni di frequenza,

infatti, lavorano a gruppi di circa 1300, ognuno dei quali occupa fisicamente circa 1.3 mm

di membrana basilare e copre, in frequenza, circa 1/3 di ottava.

Ognuno di tali gruppi costituisce una Banda Critica.

Quando due frequenze simultanee sono abbastanza vicine da stimolare lo stesso gruppo di

cellule e quindi cadono entrambe entro la stessa banda critica, la loro distinzione diventa

difficile, se non impossibile e dà luogo a vari fenomeni.

I battimenti possono essere di due tipi.

Battimenti di prima specie.

Un battimento di prima specie è provocato da due suoni con frequenze molto vicine, tali

da non essere distinguibili, che quindi cadono entrambe dentro la stessa banda critica

(vale per i battimenti della prima specie).

È il tipico fenomeno che si sente quando uno o più strumenti si accordano su un unico

suono (battimento fra le fondamentali). In questo caso, le due frequenze producono,

all'interno della chiocciola, due onde che interferiscono fra loro e formano il battimento.

L’esempio mostra due onde leggermente differenti come frequenza che sommate danno

l’onda con i battimenti mostrata sotto.

Per i battimenti di prima specie, il numero di battimenti al secondo (frequenza

di battimento) è pari alla differenza tra le frequenze delle due onde.

Battimenti di seconda specie.

Anche se può risultare strano si possono avere battimenti anche con frequenze tra loro

lontane. Sono i battimenti di seconda specie che hanno origine neurologica, cioè sono

provocati dalla elaborazione del suono effettuata nel cervello.

Si dicono fenomeni di seconda specie (o secondo ordine) quelli provocati da suoni che non

cadono nella stessa banda critica per cui la loro origine non può essere attribuita a

interferenze nella chiocciola. Nella pratica comune però si sommano i diversi tipi di

battimenti tra loro anche tra armonici differenti. Quindi questi sono propriamente

fenomeni di psicoacustica ma che ho riportato per completezza.

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Toni di combinazione.

Questo è un argomento controverso. Si tratta di suoni in realtà non esistenti, prodotti da

varie combinazioni di differenza di frequenza tra due suoni generatori o fra le loro ottave.

Se da un lato è evidente che, in certe condizioni, si sentono, non tutti gli studiosi sono

d'accordo sia sulla loro origine (cervello o chiocciola) sia sulle condizioni migliori per

sentirli. Il dato di fatto è che anche il terzo suono (il più facile) non è sentito da tutti e non

si sente sempre. Si può sentire, per es., su un pianoforte e non su un altro oppure, nel

caso di registrazioni, con delle casse ma non con altre e spesso anche la distanza dalle

casse o dagli strumentisti è importante.

Il terzo suono di Tartini corrisponde alla differenza fra le frequenze generatrici: un LA a

440 Hz e un MI 660 Hz, quindi, producono un LA 220 Hz cioè l'8va sotto (660 - 440 =

220). Esistono altri toni di combinazione, ma la loro percezione è alquanto dubbia e

discussa tra gli studiosi.

Teoria degli armonici.

Alla metà dell'800 Helmholtz (1821-1894) dimostrò in modo scientifico l'esistenza degli

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armonici, cosa che era già nota intuitivamente fin dai tempi di Rameau , formalizzando

quella che è nota come la teoria classica del timbro. Secondo questa teoria, il timbro di un

suono è determinato dai suoi armonici. Ma cos'è un armonico?

Ogni onda può essere scomposta in una serie di onde semplici e prive di armonici, le

sinusoidi, ognuna delle quali ha una certa frequenza, una certa ampiezza e una certa fase

(ma quest’ultima ci interessa meno delle altre due).

Secondo questa teoria di ogni suono prodotto da uno strumento possiamo scomporne

l’onda in onde armoniche, che sono semplici sinusoidi. Questo processo avviene grazie al

famoso matematico e fisico J. Fourier, il quale studiò la trasformata che prende il suo

nome: la trasformata di Fourier. Questa viene usata in campo informatico mediante un

algoritmo per individuare le frequenza armoniche.

Vediamo questo esempio, qui è rappresentata l’onda di un suono (prodotto a computer) e

di fianco la relativa scomposizione:

Teoricamente le 8 componenti

raffigurate possono essere ricombinate al computer per formare nuovamente il suono di

5 Jean-Philippe Rameau (1683-1764), organista e compositore nonché teorico, scrisse un trattato fondamentale per

l’armonia, che viene studiato tuttora. 6

partenza, ma questo procedimento funziona solo per suoni artificiali, poiché per gli altri

suoni si presentano numerose altre variabili da considerare.

Non tutte le parziali di un suono però sono anche armoniche. Sono parziali le sinusoidi

nelle quali è scomposto un suono, ma non tutte sono parziali armoniche. Sono parziali

armoniche solo quelle a una frequenza multipla della fondamentale. E più in generale

possiamo dire che le onde periodiche hanno frequenze armoniche, le onde non periodiche

hanno solo parziali inarmoniche, vediamo l’esempio:

quest’onda è chiaramente non periodica, e infatti le sue parziali, sotto, non sono a uguale

distanza l’una dall’altra come succedeva per le armoniche precedentemente, ma le sue

sono parziali inarmoniche.

Concludendo, si può affermare che i suoni con parziali armoniche producono una nota ben

definita, mentre quelli con parziali inarmoniche producono note non definite, è il caso della

batteria, il gong, altri strumenti senza intonazione fissa. Questa è la

serie delle

frequenze

armoniche

con relative

note.

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Sviluppo in serie di Fourier.

Enunciato del teorema di Fourier.

Data una funzione y(t) che sia:

a) periodica di periodo T,

b) continua e limitata,

c) integrabile in [0;T]

allora y(t) è sviluppabile in serie di Fourier:

Dove

a e b sono opportuni coefficienti che dipendono dalla funzione y(t) e in particolare:

n n

Se y(t) è dispari a =0 Serie di soli seni

n

(come la funzione seno)

Se y(t) è pari b =0 Serie di soli coseni

n

(come la funzione coseno)

Praticamente la serie di Fourier serve a scomporre un’onda complessa in sinusoidi

semplici, come abbiamo fatto prima per la teoria degli armonici.

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Due esempi.

Nella figura sono rappresentati il grafico e il contenuto spettrale della funzione di

equazione:

costituita dalla sovrapposizione (somma) di tre parziali armoniche di ampiezza (in cm)

3,2,1 e frequenza 200, 400, 600 Hz nell'ordine. Il grafico è stato disegnato per un

intervallo di periodicità della funzione y(t) che è pari a T = 5 ms cioè frequenza pari a 200

Hz (che è quella della fondamentale).

Grafico nel dominio del tempo Grafico nel dominio delle frequenze (spettro)

Questo è ciò che si fa solitamente nell’analisi di un’onda. Ma possiamo scomporre, o

meglio creare anche onde molto più complesse. Vediamo l’onda quadra di equazione:

Poiché la funzione è dispari, si otterrà una serie di soli seni e le componenti armoniche

saranno dispari. I coefficienti sono:

Grafico nel dominio del tempo Grafico nel dominio delle frequenze (spettro)

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Nascita del sistema temperato.

La musica però non è fatta solo di suono come l’abbiamo analizzato fin’ora, ma come

sappiamo i suoni, sono chiamati note musicali. La corrispondenza tra la nota e la relativa

frequenza che ne definisce l’altezza però non è stata sempre uguale nella cultura europea.

Innanzitutto dobbiamo dire che il concetto di ottava in musica è universale, cioè ogni

popolo, ogni cultura, e ogni teoria musicale è accomunata nel dire che due suoni a

frequenza doppia l’uno rispetto all’altro sono in un intervallo di ottava. Cambiano poi i

modi di suddividere l’ottava.

Le origini risalgono a Pitagora, il quale elabora una scala di suoni, detta appunto scala

pitagorica, mediante metodi matematici. Egli divide l’ottava in parti via via più piccole

arrivando a una scala molto uniforme che venne usata sino al medioevo.

Con l’affermarsi della polifonia però si sentì il bisogno di una nuova scala che risultasse

meno dissonante per l’uso di più voci contemporaneamente. Gioseffo Zarlino risolse il