X & Y La vita e il mondo in funzione delle incognite

Tra i primi obiettivi di studio ed osservazione vi fu una sorgente X identificata

con un sistema binario, trovata nella Via Lattea, costellazione del Cigno e

Cygnus X-1.

catalogata come

Evoluzione:

Per molto tempo si è pensato che i buchi neri fossero destinati ad accrescersi

nel tempo, inglobando materia ed energia dall’esterno, sino a quando S.

Hawking, applicando principi della meccanica quantistica, formulò l’ipotesi che

potessero estinguersi nel nulla a causa di una continua emissione di energia (in

contrasto con l’idea dominante che i buchi neri non possano emettere nessuna

radiazione) .

Secondo alcuni astrofisici, che basano la loro ipotesi sulla teoria della Relatività,

i buchi neri sarebbero dei punti di collegamento (una sorta di scorciatoia, detta

Ponte di Eistein-Rosen) tra zone molto distanti dell’universo, se non addirittura

“paralleli” :

tra universi se un oggetto riuscisse a passare indenne attraverso il

buco nero si troverebbe istantaneamente in un altro spazio e in un altro tempo.

“ gemme”

Secondo altri scienziati i buchi neri sono come da cui si originano

nuovi universi.

MAXWELL

L’incognita come termine mancante :

asimmetrie tra il campo elettrico e magnetico

Il viaggio nel mondo delle incognite svelate dalle scienza continua, passando

dalla scoperta

dei buchi neri alla scoperta del termine mancante nelle equazioni di Maxwell.

I fenomeni elettrici e magnetici furono studiati fin dall’inizio dell’800 e nel corso

del secolo si

susseguirono ricerche e scoperte che misero in luce via via nuovi fenomeni. Gli

scienziati

eseguirono esperimenti e formularono leggi per interpretare il comportamento

delle correnti

elettriche e degli aghi magnetici. Ben presto cominciarono ad apparire i primi

collegamenti tra

elettricità e magnetismo, che molti continuarono a considerare per lungo tempo

campi

assolutamente separati. Fu James Clerk Maxwell (1831-1879) a riordinare la

massa di conoscenze Trattato

fino ad allora acquisite e a formulare tra il 1871 e il 1873 nel suo

sull’elettricità e il

magnetismo teoria

una teoria unificatrice dei fenomeni elettrici e magnetici, la

elettromagnetica.

Egli riesaminò i risultati sperimentali e le leggi fino ad allora formulate e cercò

un modello

matematico da cui dedurre ogni fenomeno elettromagnetico. Una delle più

importanti conseguenze della sintesi da lui operata fu che un campo elettrico

variabile genera un campo magnetico variabile e viceversa: ciò significa che i

campo

due campi non esistono separatamente ma ne esiste uno solo, il

elettromagnetico.

Prima di Maxwell la trattazione dell’elettromagnetismo si basava sui teoremi di

Gauss, sulla legge dell’induzione elettromagnetica (legge Faraday - Neumann) e

sul teorema di Ampère.

I teoremi di Gauss permettono di quantificare gli effetti globali del flusso dei

campi E e B. La legge dell’induzione elettromagnetica permette di determinare

gli effetti elettrici delle variazioni di campo magnetico.

Il teorema di Ampère correla gli effetti magnetici con le

correnti che li producono.

Q

⃗

( ) =

Φ Schiusa E Maxwell riassunse la descrizione di tutti i fenomeni

ε o elettromagnetici noti in sole 4 equazioni.

Il Teorema di Gauss per il campo

La circuitazione del campo elettrico

elettrico afferma che il flusso di

lungo un linea chiusa orientata è

⃗

( ) ⃗ attraverso una superficie

−∆ Φ B E

⃗

( ) =

Γ E data dall’opposto del rapporto tra la

l chiusa è dato dal rapporto tra la

∆t variazione del flusso del campo

somma algebrica delle cariche

magnetico e l’intervallo di tempo. La

contenute all’interno della

quale per la legge di Faraday-

superficie chiusa e la costante

Neumann è uguale alla forza

dielettrica del mezzo che riempie

elettromotrice indotta.

lo spazio.

Il teorema di Gauss per il campo

magnetico stabilisce che il flusso di

⃗

( )

=0

Φ Schiusa B ⃗ attraverso una superficie

B

chiusa è sempre nullo.

⃗

( ) =μ

Γ B i

l o Il teorema di Ampère afferma che

la circuitazione del campo

magnetico lungo un linea chiusa

orientata è data dal prodotto tra

Osservando queste quattro la somma delle correnti elettriche

equazioni, scorgiamo due concatenate a l e la costante di

⃗

asimmetrie tra i capi e

E permeabilità magnetica del vuoto.

⃗ .

B

La prima riguarda, da una parte la presenza della carica Q nella legge di Gauss

per il campo elettrico e l’assenza di una carica analoga nella legge di Gauss per

il campo e magnetico e, dall’altra, la presenza della corrente elettrica i nella

legge di Faraday-Neumann. Questa asimmetria si spiega con il fatto che non

sono stati scoperti poli magnetici isolati, mentre si sa che esistono cariche

elettriche positive o negative isolate.

Vi è però anche un’altra asimmetria tra i due campi. Manca nella legge di

Ampère un termine analogo a quello che compare al secondo membro della

legge di Faraday-Neumann, cioè un termine proporzionale alla rapidità con cui

varia il flusso del campo elettrico:

⃗ )

∆ Φ( E

Δt

Partendo da considerazioni di simmetria, James Clerk Maxwell aggiunse questo

termine mancante, che gli consentì di risolvere alcune ambiguità teoriche

emerse nell’ambito delle quattro equazioni originarie. Ma non si tratta di una

pura aggiunta formale, ma di una vera e propria scoperta, perché il termine in

più consente di prevedere l’esistenza

delle onde elettromagnetiche. è

proprio questo riscontro sperimentale,

cioè l’effettiva esistenza di un

fenomeno contenuto implicitamente

nelle equazioni, che provo la

correttezza del lavoro teorico di

Maxwell.

Consideriamo il processo di carica di un condensatore :

Mentre le armature si stanno caricando, nei fili circola una corrente di intensità

sempre più piccola che genera nello spazio un campo magnetico. Le linee di

questo campo circondano i fili ma, per quel che ne sappiamo, non dovrebbero

esistere attorno al condensatore. Lì infatti non ci sono fili dove possa circolare

una corrente elettrica e quindi il campo magnetico dovrebbe essere nullo. μ i

Per la legge di Ampère la circuitazione del campo magnetico è uguale a 0

S e S S

lungo le circonferenze , e dovrebbe essere nulla lungo . E lungo

1 2 3

S il calcolo della circuitazione è ambiguo, perché non si sa se considerare la

4 S

corrente concatenata o meno con la circonferenza .

i 4

Aggiungendo, come fece Maxwell, alla legge di Ampère un termine

proporzionale alla rapidità con cui varia il campo elettrico e precisamente

⃗ )

ΔΦ( E

μ ε

o 0 Δt

questa discontinuità sparisce.

Infatti con la modifica di Maxwell la circuitazione del campo magnetico lungo la

S

circonferenza interna al condensatore risulta eguale a quella lungo le

3

S e S

circonferenze . Inoltre per continuità essa deve avere lo stesso valore

1 2 S

lungo la circonferenza anomala . La discontinuità sparisce e l’ambiguità è

4

quindi risolta.

La legge di Ampère con l’aggiunta del termine mancante e raccogliendo a fattor

μ

comune o

( )

⃗ )

ΔΦ( E

( )

⃗ =

Γ B μ i+ ε

o 0 Δt

Il secondo termine dentro le parentesi, che ha le dimensioni fisiche di una

i

corrente e che indicheremo con il simbolo , è stato chiamato da Maxwell

s

corrente di spostamento :

⃗

( )

ΔΦ E

≝

i ε

s 0 Δt

LE FUNZIONI

Le incognite nella Matematica

Una funzione è una legge o un’applicazione tra due insiemi che associa ad ogni

elemento del primo insieme A uno ed un solo elemento del secondo insieme B.

B

A a

1 b

2 c f

3 d Codominio

Dominio e

f : A→B

∈ ∈

Se a x A la funzione associa y B, diciamo che y è immagine di x

f quindi scriviamo

⟼ (x)

f : x y oppure y=f

Dominio

A viene detto della funzione, cioè l’insieme di punti per cui è

definita la funzione. La funzione è definita quando ad un elemento del

dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.

Codominio

Il della funzione è il sottoinsieme di B costituito dalle immagini degli

elementi di A

Variabile indipendente Variabile dipendente

è detta , .

x y

Spesso una funzione è assegnata mediante un espressione analitica, ossia

mediante una formula matematica. Forma

( )=0

Una funzione può essere anche indicata con , detta

f x ; y

implicita Forma esplicita

( )

, mentre è detta .

y=f x

CLASSIFICAZIONI DELLE FUNZIONI

Le funzioni esprimibili analiticamente possono essere distinte in funzioni

algebriche e trascendenti. ( )

La funzione è algebrica se l’espressione analitica che la descrive

y=f x

contiene soltanto, nella variabile ,operazioni di addizione, sottrazione,

x

moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

Una funzione algebrica può essere:

-Razionale : · Razionale Intera ( o polinomiale ) se è espressa mediante un

polinomio; in particolare se il polinomio è di primo grado

rispetto lineare

alla variabile , la funzione si dice ; se il polinomio

x

in è

x quadratica

di secondo grado, la funzione è detta ;

· Razionale Fratta se è espressa mediante quoziente di

polinomi;

-Irrazionale : se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice;

x

Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente .

Una funzione trascendente può essere:

- Esponenziale

- Logaritmica

- Goniometrica

Per una funzione algebrica viene definito il grado della funzione che è il grado

del polinomio in e della forma implicita della funzione

) x y

P(x ; y ( )=0 .

P x ; y

IL CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE E LO STUDIO DEL SEGNO

Spesso di una funzione si considera come dominio il suo campo di esistenza,

ossia il sottoinsieme più ampio di in cui la funzione può essere definita. Per

R

questo, invece di campo di esistenza, si parla anche di insieme di definizione

della funzione.

Funzione Campo di esistenza

∈

Funzioni razionali intere: x R

n n−1

+a +

y=a x x …+a

0 1 n

Funzioni razionali fratte:

)

P(x ∀ ∈

(P /DENOMINATORE

y= e Q polinomi) x R ≠ 0

Q(x)

Funzioni irrazionali con indice

pari: ∀ ∈

x R

√

n dispari (

y= f x)

Funzioni irrazionali con indice

dispari: ∀ ∈ /RADICANDO

x R ≥0

√

n pari (x)

y= f

Funzione trascendente

esponenziale: ∀ ∈

x R

x

y=a

Funzione trascendente

logaritmica: ∀ ∈ /

x R ARGOMENTO> 0

y=log x

Funzione trascendente

goniometrica: ∀ ∈

x R

y=sen x , y=cosx π

∀ ∈ /x +

x R ≠ kπ

y=tg x 2 ( )

E’ possibile anche studiare il segno di una funzione , ossia cercare

y=f x

per quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, per quali è

negativo, per quali è nullo.

LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI

( )

Una funzione definita in un certo dominio , si dice:

D⊆ R

y=f x [ ]

(−x )=f ( ) ∀ ∈ 2

Pari se f x x D y=x

[ ]

(−x )=−f ( ) ∀ ∈ 3

Dispari se f x x D y=x

LE FUNZIONI CONTINUE x

Una funzione si dice continua in un punto se

0

x 0

( )=f (¿)

f x

∃ ¿

lim

x → x 0

Una funzione si dice continua quando e' continua in ogni suo punto, cioè non si

interrompe mai.

LE FUNZIONI DISCONTINUE

Una funzione si dice discontinua quando non è continua in ogni suo punto. Un

[ ]

x

punto di un intervallo si dice punto di discontinuità per una

a ; b

0 x

funzione se la funzione non è continua in .

( )

f x 0

Esistono tre tipi di discontinuità:

I SPECIE

x

Un punto si dice punto di discontinuità di I specie per la funzione ( )

f x

0

quando :

( )=l

lim f x 1

x → x 0 ( )=l

lim f x 2

x → x 0

Il limite destro e il limite sinistro sono entrambi finiti ma diversi tra loro.

La differenza fra il limite destro e il limite sinistro si chiama salto della funzione

x

in 0

Salto = | |

−l

l 1 2

II SPECIE

x

Un punto si dice punto di discontinuità di II specie per la funzione ( )

f x

0 x → x

quando ( )

per almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di è

f x

o infinito oppure non esiste.

III SPECIE

x ( )

Un punto si dice punto di discontinuità di III specie per la funzione f x

0 quando:

( )=l

lim f x

1. Esiste ed è finito x → x 0 x ( )

f x ≠l

2. non è definita in , oppure, se lo è, risulta

f o

0

Un punto di discontinuità di III specie viene anche detto di discontinuità

,

x

eliminabile, perché, se la funzione non è definita in è possibile

0 ( )=l

estendere il suo campo di esistenza a tale punto ponendo e

f x

rendendo in tal modo la funzione continua.

SIGMUND FREUD E L’APPARATO

PSICHICO

L’incognita come complessità della psiche : la struttura

Il percorso fino a qui affrontato trova una naturale confluenza in Sigmund Freud

e nella sua

opera, considerata universalmente l’incrocio perfetto tra scienza e filosofia.