Geometrie non euclidee: Implicazioni filosofiche e applicazioni fisiche

Le Geometrie Non Euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

Indice Pag.

INTRODUZIONE 4

 PREMESSA 5

 GENESI DELLA GEOMETRIA 8



 GEOMETRIA EUCLIDEA 10

 EUCLIDE 10

GLI ELEMENTI 11

o  DEFINIZIONI 11

 NOZIONI 12

 POSTULATI 13

 PROPOSIZIONI 14

 RAGIONANDO SULLA GEOMETRIA EUCLIDEA 15

QUINTO POSTULATO 15

o  ANOMALIE 15

 DIBATTITO 19

GIROLAMO SACCHERI 22

o  QUADRILATERO 22

 ANGOLO OTTUSO 25

 ANGOLO ACUTO 26

TIPOLOGIE RETTE 27

o COERENZA 31

o 2

Davide Ragazzi

Le Geometrie Non Euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

 GEOMETRIE NON EUCLIDEE 32

INTRODUZIONE STORICA 32

o

 GEOMETRIA IPERBOLICA 36

ELEMENTI 36

o  BASI CONCETTUALI 36

 TRIANGOLI IPERBOLICI 37

METODO DEI MODELLI

o 39

 KLEIN 40

 POINCARÉ 41

COERENZA 42

o

 GEOMETRIA SFERICA 43

ELEMENTI 43

o  TEOREMI 45

 GEOMETRIA ELLITTICA 46

RAPPRESENTAZIONE 46

o

 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 48

 IMPLICAZIONI FILOSOFICHE: Immanuel Kant 51 3

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 APPLICAZIONI FISICHE: Relatività 53

 Principio di relatività Galileiana 54

 Principio di relatività ristretta 56

 Spazio-Tempo 4-dimensionale 57

 Paradosso Gemelli 57

 Equivalenza Energia Massa 58

 Principio Relatività Generale 58

 Spazio-Tempo Curvo 60

 CONCLUSIONE 62

 BiBliografia / Sitografia 63 4

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Le Geometrie Non Euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

INTRODUZIONE

Quando la rassicurante certezza della geometria di Euclide ha lasciato spazio ai dubbi e

alle provocazioni di geometrie che parevano negare l’evidenza stessa della realtà

quotidiana, incuriosito, ho iniziato una personale ricerca sull’argomento.

Da questi approfondimenti nasce il lavoro che intendo presentare, che vede come

protagonista Le Geometrie Non Euclidee impegnate in un confronto con la filosofia e con

la fisica, nella Teoria della Relatività.

Inizio riprendendo il concetto di Geometria in generale, risalendo alla sua nascita

naturale ed empirica, fino ad arrivare alla Geometria Euclidea descritta e delineata ne Gli

Elementi di Euclide.

La geometria è una scienza matematica, e come tale è strutturata in un sistema

assiomatico, cioè formata da assiomi, proposizioni indimostrate date per vere, da cui si

ricavano i teoremi.

Seguendo cronologicamente la storia degli eventi, ho messo in risalto le problematiche

sorte dall’analisi minuziosa dell’Opera di Euclide. I problemi maggiori riguardano il quinto

postulato delle rette parallele. Molti lo considerarono un “falso” postulato cercandone la

dimostrazione senza riuscirvi.

Gauss formula i primi concetti delle geometrie non euclidee. I suoi scritti non li

pubblicherà mai perché contrastanti con le idee filosofiche kantiane predominanti in quel

periodo. Anche se, per quel che ho potuto capire, non credo che la filosofia di Kant

escluda a priori l’esistenza di geometrie diverse da quella classica.

Successivamente passo ad analizzare la Geometria Iperbolica, la Geometria Sferica e la

Geometria Ellittica, concludendo con una breve digressione filosofica e con un

approfondimento sulla Relatività.

Le Geometrie Non Euclidee, insieme alla teoria della relatività, hanno rappresentato un

punto di svolta nei loro rispettivi ambiti: La geometria non euclidea per quanto riguarda la

geometria e la teoria della relatività per la fisica.

La matematica può essere considerata una scienza, la geometria è una parte della

matematica. Come ogni scienza la geometria ha una sua logica, un suo linguaggio e un

suo contesto. Per una trattazione completa sarebbe stato opportuno utilizzare un

linguaggio molto più tecnico. Ho invece preferito limitare l’utilizzo di formule a favore di una

migliore leggibilità. Il linguaggio utilizzato vuole essere una sintesi tra il necessario rigore

imposto dagli argomenti trattati e la finalità del lavoro svolto, anche se a volte non ci sono

riuscito, in parte per limiti personali, in parte per i contenuti troppo specialistici.

Come spesso accade, la diversità si presta sempre a due approcci: il primo, più

immediato e spesso veritiero, ci porta a bollare come fantascienza tutto ciò che mette in

discussione le nostre certezze; il secondo, più sofferto e spesso ingannevole, ci

accompagna in un viaggio dalla destinazione incerta. Fortunatamente è stato quest’ultimo

a prevalere nello studio delle Geometrie Non Euclidee. Esse, con cento anni di anticipo,

1

hanno posto le basi alla crisi dei fondamenti della matematica degli inizi del’900,

distruggendo le idee di universalità e oggettività, ipocrite e false, lasciando lo spazio a

concezioni meno ampie e assolutistiche, ma più coerenti e veritiere.

1 Questa crisi ha le seguenti radici storiche: la scoperta delle geometrie non euclidee, la nascita della logica

matematica, la nascita dell'analisi moderna, la nascita della teoria degli insiemi, l'aritmetizzazione dell'analisi,

la logicizzazione dell'aritmetica e la formalizzazione della geometria. 5

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PREMESSA

Prima di trattare direttamente gli oggetti della mia tesina: le geometrie non euclidee e la

loro applicazione nella teoria della relatività, è necessaria una breve premessa sulla

matematica, che è lo sfondo e il contesto in cui sono inserite la geometria e la fisica.

Matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza",

"conoscenza" o "apprendimento"; matematico è μαθηματικός (mathematikós), che

significa "incline ad apprendere".

Non ho intenzione di addentrarmi nella storia di questa disciplina, basti considerare che,

2

in fin dei conti, la matematica non è né scienza, almeno nel senso stretto del termine , ma

neppure semplice filosofia, benché molti filosofi siano stati ottimi matematici. La

3

matematica è l’applicazione più immediata della ragione, è la parte Apollinea della nostra

natura, si mostra a noi con il linguaggio della logica e ci permette di interpretare la realtà

che ci circonda nella maniera più oggettiva possibile.

Agli inizi del ‘900 avviene la crisi dei fondamenti della matematica. I matematici si

interrogano sulla certezza delle basi logiche su cui è costruito l’intero sistema assiomatico

della matematica.

Una domanda divenne esistenziale: Che cos’è la matematica? Molte sono state le

risposte date nel corso della storia.

«La matematica è quella scienza nella quale non si sa di che cosa si parla e non si sa se

ciò che si dice è vero.»

B. RUSSELL

La matematica si basa su principi indimostrati e presi per veri, da questi si costruisce

tutto il resto del sistema. Ma la matematica non vuole raggiungere proposizioni vere in

assoluto, irraggiungibili, ma vere una volta stabilita la veridicità della logica comune presa

4

in considerazione .

«Anche se può sembrare un paradosso, tutte le scienze esatte sono dominate dall'idea

di approssimazione.»

B. RUSSELL

Oggi i matematici hanno accantonato il problema, limitandolo ad un fatto puramente

filosofico.

La definizione classica di matematica nota fin dall’antichità è quella che la considera

scienza della quantità. Più precisamente, Cartesio afferma che si riferiscono alla

matematica esclusivamente quelle speculazioni nelle quali si prende in esame solo

l’ordine e la misura, astrazione fatta dagli oggetti che vengono ordinati o sui quali tali

5

misure vengono effettuate.

2 La matematica nasce insieme al bisogno dell’uomo di classificare, contare e gestire quantità. Il metodo scientifico

nasce molto dopo la matematica. Solo successivamente a Galileo (1564-1642) si potrà parlare di metodo scientifico nel

vero senso della parola, che consiste nella raccolta di dati empirici attraverso osservazioni, la formulazione di ipotesi

che, in seguito a numerosi esperimenti potranno essere confermate e divenire vere e proprie teorie scientifiche.

3 Cfr. F. Nietzsche, La nascita della tragedia ovvero grecità e pessimismo, 1872.

4 Cfr. G. Melzi, Perché la matematica, Editrice La Scuola, 1978, da pag.31 a pag.35.

5 Cfr. C. B. Boyer, Storia della matematica, Editrice Oscar Studio, 1976, da pag.1 a pag.9 e da pag.384 a pag.397. 6

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«La matematica è la scienza delle quantità in generale, cioè del criterio per stimare… ne

segue che la matematica in generale è la scienza della ripetizione della misura, ossia del

numero».

G. LEIBNIZ

Oggi il significato si è esteso, la matematica è la disciplina (ed il relativo corpo di

conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali,

movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in

modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le

proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico - deduttivi che, a partire da definizioni

rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un

procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove

certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti

stessi (espresse dai teoremi).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di Regina

6

delle scienze : ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia

all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti

dalla matematica.

Essa quindi è un mezzo indispensabile per l’uomo in ogni campo, ma soprattutto, la

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matematica insegna la razionalità, troppo spesso accantonata nella nostra società.

« Se la matematica e la scienza prendessero il posto della religione e della superstizione

nelle scuole e nei media, il mondo diventerebbe un luogo più sensato, e la vita più degna

di essere vissuta. Che ciascuno porti dunque il suo contributo, grande o piccino, affinché

questo succeda, per la maggior gloria dello Spirito Umano. »

P. ODIFREDDI, Il matematico impenitente

I dubbi non si sono limitati all’ambito strettamente matematico-logico, ma si sono estesi

anche a tutte le scienze, per un semplice motivo, tutte le scienze dipendono direttamente

dalla matematica per poter essere considerate tali.

«La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi

a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la

lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i

caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile

a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro

labirinto.»

G. GALILEI, Il Saggiatore, 1623

Tutte le scienze vengono rivoluzionate, fra queste l’intera idea di fisica newtoniana con la

scoperta della relatività ad opera di Albert Einstein.

Ho ritenuto doveroso fare questa breve digressione sulla matematica perché essa è la

premessa necessaria degli argomenti di cui tratterò.

Geometrie non-euclidee e relatività sono tematiche attuali e strettamente correlate. In

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entrambi i casi la logica comune (prodotto dell’organo che ci rende “animali razionali” ,

cioè il cervello) è stata messa in seria difficoltà e ancora oggi la “crisi” non è stata

superata.

6 Cfr Karl Friedrich Gauss

7 Cfr. P. Odifreddi, Le menzogne di Ulisse, Editrice Longanesi, 2004.

8 Cfr Aristotele 7

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I concetti di spazio e tempo assoluti di Newton o a priori di Kant vengono ora rivalutati.

Tutta la filosofia e la cultura in generale subisce l’influsso di queste nuove forme di

pensiero. Sono queste problematiche che mi hanno attratto maggiormente e mi hanno

spinto a trattare questi temi. È grazie alla matematica che si è riusciti ad andare oltre,

abbandonando certe convenzioni anacronistiche e proponendo nuove teorie più adatte