Le geometrie non euclidee

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.. 2008/09

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P REFAZIONE

«Alla base di ogni grande scoperta, di ogni rivoluzione nel campo della scienza, c'è una conquista morale:

l'abbattimento di un idolo saldamente insediato e abbarbicato fra le pieghe della nostra anima.»

Eugenio Colorni

Un pomeriggio di maggio, sorseggiando una tazzina di caffè e sfogliando le pagine del Corriere della Sera, mi sono imbattuta in un articolo di Giulio Giorello sulla figura di Eugenio Colorni, filosofo antifascista vissuto nella prima metà del ‘900.

Nel panorama italiano, Colorni è uno dei primi ad interessarsi al problema della scienza e in particolare all’idea di progresso scientifico: per il filosofo, l’avanzamento nel campo del sapere è possibile solo se si possiede la capacità di attaccare qualunque «idolo» blocchi la crescita intellettuale del singolo e il miglioramento della società. Gli idoli, per Colorni, sono rappresentati dal geocentrismo prima della rivoluzione copernicana, dal finalismo della natura prima del pensiero evoluzionistico darwiniano, dalla concezione assoluta di spazio e tempo di Newton prima della teoria della relatività di Einstein; in sostanza, idoli sono tutti quei sistemi protetti dall’autorità della tradizione, dall’«ipse dixit» di aristotelica memoria, i quali appaiono verità immodificabili e necessarie da accettare.

La storia della matematica ci offre più di un esempio di questa tendenza: si racconta che

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Pitagora, di fronte alla dimostrazione dell’irrazionalità di sottopostagli da Ippaso, pur di non mettere in discussione le proprie teorie sui numeri, preferì ricorrere alla forza e far condannare a morte il suo discepolo per annegamento.

Meno cruenta, ma ugualmente interessante, è la storia che riguarda il quinto postulato di Euclide: nonostante la sua non evidenza, esso è stato ritenuto valido e necessario per secoli e secoli dalle più brillanti menti matematiche, fino a che nel XIX secolo qualcuno ha osato mettere in dubbio questa verità, apparentemente ineludibile.

Il mio percorso parte dall’«idolo», dalla verità, da Euclide e giunge, attraverso un essenziale excursus storico, alla nascita di nuovi modelli, delle verità, delle geometrie non euclidee di Riemann e Lobačevskij, che qui vengono analizzate nei loro aspetti basilari.

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«Un giorno, il re Tolomeo stava visitando la Biblioteca e, nel passare in rassegna le opere che vi erano conservate, si fermò a lungo davanti agli scaffali che accoglievano i numerosi rotoli degli Elementi, ordinatamente riposti negli astucci. Voltandosi di colpo verso Euclide, gli domandò se non esisteva una via più breve per accostarsi ai segreti della matematica. “Non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria”, rispose Euclide, dimostrando un notevole coraggio.» da Il teorema del pappagallo, D. Guedj

La morte di Alessandro Magno (323 a.C.) aveva dato il via ad una serie di lotte intestine fra i suoi generali per decidere chi avesse più diritto ad ambire al titolo di successore. Ma, nel 306 a.C., il controllo della parte egiziana dell’impero era ormai saldamente nelle mani di Tolomeo I, detto Σωτήρ (il salvatore). Compagno d’armi di Alessandro e uomo sensibile alla cultura, Tolomeo fu uno dei primi sovrani ad invitare ed accogliere nel suo regno letterati, filosofi e scienziati provenienti da ogni parte del mondo antico. Fra questi, anche l’esule Demetrio Falereo, amico del noto commediografo Menandro. Arconte di Atene per dieci anni, ma costretto alla fuga in seguito al cambiamento di regime politico da parte di Demetrio Poliorcete, il Falereo aveva un ambizioso piano: mettere in atto il progetto aristotelico di sapere universale, riunendo nello stesso luogo tutto lo scibile umano. Tolomeo accolse subito con favore questo grandioso disegno e gli accordò il permesso di fondare due istituzioni destinate a divenire celeberrime: il Museo, in cui i più eminenti uomini del tempo si riunivano a discutere e studiare, e la Biblioteca, dove erano raccolti e catalogati papiri provenienti da ogni parte del mondo.

Mentre l’Accademia platonica e il Liceo aristotelico erano istituzioni private, finanziate tramite donazioni dei discepoli, il Museo era un’istituzione pubblica, che viveva dei sussidi elargiti dal re ed era perciò da questi sottoposta ad uno stretto controllo.

L’edificio sorgeva nel Bruchion, nel cuore del centro cittadino, non lontano dal porto privato di Tolomeo, e comprendeva alcune costruzioni circondate da giardini e dotate di vari cortili interni. Strabone (secolo I a.C.), nella sua Geografia, ci fornisce questa descrizione:

«Della reggia fa parte il Museo. Esso comprende un peripato, un’esedra e una grande sala dove i dotti che appartengono al Museo consumano i pasti comuni; e in comune viene messo anche il denaro. Hanno un sacerdote che dirige il Museo e che un tempo era designato dai re e ora da Augusto».

Oltre alla gloria di farne parte, il Museo offriva dunque enormi vantaggi materiali: gli stipendiati, scelti dal re in persona, ricevevano vitto, alloggio e salario; inoltre, avevano la possibilità di consultare giorno e notte le migliaia di volumina presenti nella Biblioteca e di confrontare le proprie teorie con quelle degli studiosi più accreditati del tempo.

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Fra i matematici che operarono ad Alessandria, degni di essere ricordati sono sicuramente Eratostene, Apollonio di Perge, Archimede; ma uno fra i primi stipendiati (e probabilmente il più celebre) fu Euclide.

Euclide rappresenta una delle personalità più interessanti dell’epoca ellenistica. La sua figura è avvolta nel mistero: non sappiamo da dove venisse, quando nacque, quando morì. Le uniche notizie a noi pervenute sono quelle di Proclo: egli ci informa che Euclide operò sotto il regno di Tolomeo I e visse qualche anno prima di Eratostene ed Archimede.

Le opere esistenti di Euclide sono fra i più antichi trattati matematici greci che ci siano rimasti. Tuttavia, più della metà di ciò che scrisse è andato perduto, comprese alcune delle sue opere più importanti. Cinque sono gli scritti pervenuti sino a noi: gli Elementi, i Dati, la Divisione delle figure, i Fenomeni e l’Ottica; fra questi, per la fortuna che ebbero (Στοιχεῖα), tra contemporanei e successori, sicuramente i più importanti sono gli Elementi in 13 volumi: dopo la Bibbia, sono, infatti, l’opera che ha avuto il maggior numero di edizioni.

Gli Elementi non erano, come si è talvolta pensato, un compendio di tutte le conoscenze geometriche del tempo; essi costituivano, invece, un manuale introduttivo che abbracciava tutta la matematica elementare, ossia l’aritmetica, la geometria Frammento degli Elementi di Euclide

sintetica e l’algebra.

Proclo descriveva gli Elementi come qualcosa che, rispetto al resto della matematica, aveva lo stesso tipo di rapporto che le lettere dell’alfabeto hanno rispetto al linguaggio.

L’opera doveva presentarsi come un’imponente sintesi che metteva ordine, soprattutto dal punto di vista metodologico, in una serie di conoscenze accumulatesi nel corso dei secoli senza un criterio sistematico. In effetti, Euclide stesso non aveva pretese di originalità: il suo ruolo fu principalmente quello di ordinatore e sistematizzatore del sapere matematico conquistato sino a quel momento.

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Gli Elementi sono suddivisi in 13 libri o capitoli: i primi sei riguardano la geometria piana, i tre successivi la teoria dei numeri, il libro X gli incommensurabili e gli ultimi tre la geometria solida, per un totale di 120 definizioni, 372 teoremi e 92 problemi.

All’inizio del libro I, troviamo enunciati tre gruppi di proposizioni: le definizioni (ὅροι), i postulati (αἰτήματα) e le nozioni comuni (κοιναὶ ἔννοιαι). Concentriamo, in particolare, la nostra attenzione sui 5 postulati, che riportiamo qui di seguito in lingua originale e in traduzione italiana:

α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν

1. Si postuli che da ogni punto si possa

σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

condurre una retta ad ogni altro punto.

β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ

2. E che ogni retta terminata si possa

συνεχὲς ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν.

prolungare continuamente per diritto.

γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι

3. E che con ogni centro e distanza si

κύκλον γράφεσθαι.

possa disegnare una circonferenza.

δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας

4. E che tutti gli angoli retti siano uguali

ἀλλήλαις εἶναι.

fra loro.