La scoperta delle geometrie non euclidee

Liceo Scientifico “Giovanni Marinelli”, Udine

La sorprendente scoperta delle geometrie non euclidee

Federico Munini

Classe 5H

A.S. 2008/2009

Indice

Introduzione 2

1 Gli Elementi di Euclide e il V postulato 3

1.1 Euclide di Alessandria 3

1.2 Il metodo assiomatico 3

1.3 Gli Elementi 5

1.4 Il problema del V postulato 6

1.5 Il postulato dell’unicità della parallela 7

2 La nascita delle geometrie non euclidee 8

2.1 L’importanza dell’opera di Saccheri 8

2.2 Gauss, Lobačevskij e Bólyai 10

3 La geometria iperbolica 12

3.1 Rette secanti, parallele e iperparallele 12

3.2 Triangoli iperbolici 14

3.3 La coerenza della geometria iperbolica 15

3.4 Il modello di Poincaré 16

4 La geometria sferica 20

4.1 L’assioma di Riemann 20

4.2 La geometria intrinseca della sfera 20

4.3 Rette e triangoli sferici 21

5 Arte e geometria iperbolica 23

5.1 Escher, l’artista ispirato dalla matematica 23

5.2 H.S.M. Coxeter, il matematico che ispirava gli artisti 25

5.3 La serie di Escher 26

Limite del cerchio

6 Discussioni filosofiche 28

6.1 La nuova concezione di teoria assiomatica 28

6.2 Geometria e spazio fisico 29

A Una dimostrazione 31

A.1 Considerazioni sulla dimostrazione 33

Conclusioni 34

Bibliografia 35

1

Introduzione

Nella prima metà dell’Ottocento un importante evento ha avuto un’enorme influenza sul pensiero matematico: la nascita delle geometrie non euclidee, cioè di quelle geometrie diverse da quella tradizionale che si studia nelle scuole.

Tecnicamente l’argomento risulta essere abbastanza complesso, soprattutto perché richiede una notevole capacità di astrazione. Questa trattazione si propone di introdurre il tema delle geometrie non euclidee in maniera semplice, senza (o quasi) formule e dimostrazioni; non si presuppongono poi, da parte del lettore, particolari conoscenze matematiche oltre a quelle “di base”. Oltre all’aspetto più strettamente scientifico si parlerà anche di quello storico. Obiettivo di questo lavoro è anche quello di mostrare come l’evento della nascita delle geometrie non euclidee abbia avuto implicazioni non solo nella matematica, ma anche nella filosofia (in particolare nella fisica e addirittura nella metamatematica), nell’arte.

Personalmente ho scoperto dell’esistenza di questa affascinante disciplina della matematica qualche anno fa, grazie al libro Il linguaggio della matematica: rendere visibile l’invisibile di Keith Devlin. L’argomento mi ha subito affascinato, e di recente l’ho riscoperto leggendo Gödel, Escher e Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante di Douglas Hofstadter. Ho così deciso, in occasione dell’esame di maturità, di approfondire l’argomento e presentare questo lavoro.

Per creare questo documento ho usato il programma di composizione tipografica L TEX. Le figure geometriche sono state disegnate usando il pacchetto pstricks. Le immagini delle opere di Escher sono tratte dal sito internet http://www.mcescher.com o da http://images.google.it. Di tutte le altre immagini è specificato il sito internet da cui provengono.

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Capitolo 1. Gli Elementi di Euclide e il V postulato

1.1 Euclide di Alessandria

La geometria euclidea deve il suo nome al grande matematico dell’antichità greca Euclide, autore di una delle più celebri opere di matematica della storia, gli Elementi. Conosciamo molto poco intorno alla vita del famoso matematico: per certo si sa che visse tra il IV e il III secolo a.C. Una delle poche testimonianze note su Euclide è quella del filosofo bizantino Proclo (412-485 d.C.), che nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide scrive:

Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide [. . . ] Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede [. . . ]

Proclo pone quindi Euclide dopo Platone (che morì nel 347 a.C.) e prima di Archimede (che nacque nel 289 a.C.); ci dice inoltre che Euclide visse durante il regno di Tolomeo I. Quest’ultimo istituì, ad Alessandria, un’accademia nota come il Museo, nella quale chiamò ad insegnare, insieme ad altri eminenti studiosi, Euclide. Per questo l’autore degli Elementi è noto come Euclide di Alessandria, e non come Euclide di Megara con il quale spesso è stato confuso.

1.2 Il metodo assiomatico

Gli Elementi di Euclide sono il primo testo in cui viene fatto uso del metodo assiomatico: vediamo in breve di che cosa si tratta.

Una conoscenza matematica (o geometrica) si esprime attraverso una proposizione, come ad esempio la seguente: “In un triangolo non vi possono essere due angoli retti”. Data una certa proposizione, il problema è quello di stabilire se essa sia vera o falsa. Non si può, in matematica, stabilire la verità di una certa proposizione in assoluto, ma sempre in relazione ad altre proposizioni. Per provare quindi che una certa proposizione è vera, bisogna dimostrare che essa segue logicamente da una serie di altre proposizioni. Ma queste ultime sono vere o false? Per provarlo si dovrebbe fare riferimento ad altre proposizioni ancora. Questo porta però ad un regresso infinito: si finirebbe cioè per doversi riferire continuamente ad altre proposizioni.

Proprio per evitare questo problema, i matematici hanno elaborato il metodo assiomatico. Esso si basa sull’assunzione iniziale di alcune proposizioni, dette assiomi: esse vengono accettate come vere senza bisogno di una dimostrazione. Secondo questo metodo, una data proposizione è vera se, e solo se:

• È un assioma;
• È un teorema dimostrato correttamente a partire dagli assiomi o da posizioni già dimostrate in precedenza.

La verifica della correttezza di una dimostrazione è oggetto di studio della disciplina chiamata logica.

In un assioma, o in una generica proposizione, vi possono essere dei termini che hanno bisogno di una definizione. Ad esempio la proposizione “Si dice isoscele un triangolo avente due lati uguali” è una definizione del termine “isoscele”. Il termine che va definito (in questo caso la parola “isoscele”) si chiama definiendum, mentre la proposizione che definisce, cioè la definizione in sé, è detta definiens. Nel definiens saranno presenti altri concetti che bisogna definire (nell’esempio, i termini “triangolo” e “lato”). Come nel caso della dimostrazione delle proposizioni, anche in questo caso si andrebbe incontro ad un regresso infinito.

Per evitare questo, vengono perciò elencati, inizialmente, alcuni concetti primitivi, cioè termini che non vengono definiti. Risulta interessante notare che, sebbene i concetti primitivi non vengano definiti esplicitamente, essi vengono definiti implicitamente dagli assiomi che ne fanno uso.

In una teoria assiomatica, quindi, si elencano innanzitutto una lista di concetti primitivi e una lista di assiomi. Tutti gli altri concetti saranno poi definiti a partire dai concetti primitivi, e tutte le altre proposizioni verranno dedotte, mediante dimostrazioni, a partire dagli assiomi.

1.3 Gli Elementi

Euclide raccolse negli Elementi gran parte delle conoscenze matematiche del tempo, e fu il primo ad organizzarle secondo il metodo assiomatico. L’opera è suddivisa in tredici libri, che trattano la geometria piana elementare, la teoria dei numeri, gli incommensurabili e la geometria solida.

Il libro I inizia con un elenco di ventitré definizioni, tra cui:

• Un punto è ciò che non ha parti;
• Una linea è una lunghezza senza larghezza;
• Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

Si può obiettare dicendo che in realtà queste non sono vere definizioni: manca infatti, nell’opera di Euclide, l’elenco dei concetti primitivi. Nelle moderne assiomatizzazioni, proprio i concetti di punto, retta e piano sono assunti come primitivi.

Dopo le definizioni, Euclide elenca cinque postulati e cinque nozioni comuni (o assiomi). Nella matematica moderna non vi è una distinzione tra assiomi o postulati. Secondo la concezione classica di teoria assiomatica (che si può ricondurre ad Aristotele), invece, gli assiomi sono quegli enunciati convincenti di per sé, in quanto verità comuni a tutte le scienze, mentre i postulati sono proposizioni meno evidenti, che riguardano soltanto la disciplina in questione (la geometria nel nostro caso). Le nozioni comuni sono le seguenti:

• 1) Cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra loro;
• 2) Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali;
• 3) Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali;
• 4) Cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una all’altra;
• 5) L’intero è maggiore della parte.

Questi assiomi enunciano proprietà molto generali della relazione d’identità o delle relazioni d’ordine. I postulati affermano che:

• I) Si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi;
• II) Si possa prolungare indefinitamente una linea retta;
• III) Si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi;
• IV) Tutti gli angoli retti siano uguali;
• V) Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitivamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.

Per “incommensurabile” si intende un numero irrazionale, cioè non esprimibile come rapporto di due interi. 5

In riferimento alla figura 1.2, il V postulato afferma che, se due rette r e s tagliate da una terza retta t formano due angoli α e β tali che α + β è minore di due angoli retti, allora r ed s si incontrano in un punto P dalla parte di t in cui vi sono α e β. Il V postulato, per ragioni che vedremo più avanti, è detto anche postulato delle parallele.

Anche a una prima lettura, si nota immediatamente quanto il V postulato sia più complesso e meno intuitivo degli altri. Proprio questo postulato ha un’importanza fondamentale nella nascita delle geometrie non euclidee, come vedremo nei prossimi capitoli.

1.4 Il problema del V postulato

Secondo la concezione classica di teoria assiomatica, gli assiomi (o postulati) devono essere proposizioni la cui verità risulti particolarmente “evidente”. Fin dall’antichità i matematici hanno ritenuto che il V postulato non avesse il grado di evidenza proprio di un assioma, e probabilmente anche lo stesso Euclide. Infatti nelle 32 proposizioni che, negli Elementi, seguono agli assiomi e ai postulati, Euclide fa uso del V postulato solo dopo le prime 28 proposizioni. Questo fatto è un’anomalia, dal momento che Euclide, fin dalle prime proposizioni, sfrutta tutti gli altri quattro postulati.

Questo avvalora la tesi che Euclide abbia esitato molto prima di includere tra gli assiomi il V postulato, tentandone probabilmente una dimostrazione a partire dai primi quattro postulati. Come si può risolvere allora il problema dell’evidenza del V postulato? Ci sono sostanzialmente tre vie.

Un primo modo è quello di cercare di dimostrarlo a partire dai primi quattro. La geometria che si basa sui primi quattro postulati di Euclide viene chiamata geometria assoluta. Quindi il problema si risolve se si riesce a dimostrare il V postulato nella geometria assoluta. Per più di duemila anni innumerevoli matematici si sono cimentati in quest’impresa, fallendo.

Un secondo modo è quello di trovare una proposizione P dalla quale sia deducibile il V postulato e includere P tra gli assiomi. Naturalmente questa proposizione dovrà avere un grado di evidenza maggiore del V postulato. Neanche questa via ha condotto ad una soluzione.

La terza via, che si è poi rivelata quella corretta, è far vedere che il V postulato non è dimostrabile nella geometria assoluta. Prima di arrivare a questa importantissima conclusione si è dovuti passare attraverso moltissime “dimostrazioni” (tutte errate) del V postulato.

1.5 Il postulato dell’unicità della parallela

Durante la lunga storia dei tentativi di dimostrazione del V postulato sono state individuate molte proposizioni equivalenti al V postulato. La più famosa è quella dell’unicità della parallela, la quale afferma che:

Dati un punto e una retta non passante per quel punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data.

Questa proposizione, essendo equivalente al V postulato, può essere sostituita ad esso, ed è proprio ciò che si fa nelle moderne assiomatizzazioni della geometria euclidea. Si noti che questo assioma afferma che esiste al più una parallela; il fatto che ne esista effettivamente una può essere dimostrato in geometria assoluta, e quindi non c’è bisogno di assumerlo come assioma.

Due proposizioni P e Q si dicono equivalenti se vale P ⇔ Q. Il simbolo ⇔ sta per “se e solo se”. Per dimostrare che P e Q sono equivalenti, quindi, non solo bisogna mostrare che se P vale allora vale Q, ma anche che se Q vale allora vale P.

Secondo la definizione di Euclide, due rette che appartengono a uno stesso piano si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune.

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Capitolo 2. La nascita delle geometrie non euclidee

Come accennato in precedenza, il V postulato ha un’importanza fondamentale nello sviluppo delle geometrie non euclidee. Per secoli moltissimi matematici hanno prodotto delle dimostrazioni del V postulato, tutte sbagliate. L’errore stava, nella maggior parte dei casi, nell’assunzione, spesso inconsapevole e implicita, di un postulato equivalente a quello da dimostrare: si entra in un circolo vizioso, e ciò falsa la dimostrazione.

Solo nell’Ottocento alcuni matematici hanno cominciato a convincersi che il V postulato fosse indimostrabile nella geometria assoluta, cioè nel sistema formato dai primi quattro postulati di Euclide. Si capì dunque che il V postulato poteva anche essere negato, senza giungere ad alcuna contraddizione. Se alla geometria assoluta viene aggiunta la negazione del V postulato come assioma, si ottiene una nuova geometria, detta iperbolica.