Geometrie non euclidee tesina

Gli estremi di una linea sono due punti.

Definizione 3. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

Definizione 4. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

Definizione 5. Estremi di una superficie sono linee.

Definizione 6. La superficie piana giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.

Definizione 7. Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si

Definizione 8.

incontrino fra loro e non siano in linea retta.

Nelle definizioni 9-22 Euclide passa a definire le figure geometriche piane (triangoli, quadri-

lateri, cerchio), utilizzando le precedenti definizioni come base. Particolarmente significativa

è l’ultima definizione:

Le linee equidistanti, ovvero parallele, sono quelle collocate su una medesi-

Definizione 23.

ma superficie, e che prolungate da entrambe le parti non si intersechino, nemmeno se siano

prolungate all’infinito.

Con quest’ultima definizione Euclide sottintende che proprietà valide localmente siano

vere anche all’infinito: questa supposizione è però arbitraria, come vedremo.

1.2.2 Assiomi e postulati

La caratteristica fondamentale degli assiomi è l’essere In particolare distin-

considerati veri.

guiamo due tipi di assiomi: un è una formula valida in ogni modello, ad

assioma logico

esempio = x)

∀x(x

Questa affermazione è in ogni sistema formale, a prescindere dai valori che vengono

valida

assegnati alla variabile x. x potrebbe essere un numero naturale, un insieme, un segmento,

ma sarebbe comunque uguale a x. Di questi assiomi si può verificare la validità ma non si

possono dimostrare, infatti essi stessi stabiliscono le regole per le dimostrazioni formali.

Si potrebbe obiettare che, non potendo dimostrare x = x, questo assioma si possa anche

negare. In realtà non dobbiamo farci condizionare dal nostro linguaggio comune: questo

assioma si limita a dirci che l’oggetto x può essere messo in relazione con se stesso mediante

l’operatore =.

Euclide, pur mancando degli strumenti della logica matematica moderna, enuncia otto

proposizioni che svolgono all’incirca la funzione degli assiomi logici, da lui dette nozioni

comuni: Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro.

Nozione comune 1. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, i resti sono uguali.

Nozione comune 2. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali.

Nozione comune 3. Se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le somme sono

Nozione comune 4.

disuguali. 3

I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.

Nozione comune 5. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.

Nozione comune 6. Cose che coincidono tra loro sono uguali.

Nozione comune 7. Il tutto è maggiore della parte.

Nozione comune 8.

La 1 è l’enunciazione della proprietà transitiva, la quale stabilisce che se a = c e b = c,

allora necessariamente a = b. Le nozioni 2, 3, 4, 5, 6 equivalgono ai principi di equivalenza

delle equazioni. La nozione 7 può essere semplicemente interpretata come l’assioma logico

x = x, ma se trasposto in campo geometrico significa che figure sovrapponibili sono uguali,

in poche parole si tratta della definizione di Per sovrapporre le figure occorre

congruenza.

spostarle: questo assioma ci garantisce che spostare le figure nello spazio non altera le loro

caratteristiche.

Invece gli hanno validità limitata a singoli campi, come la teoria

assiomi non-logici

degli insiemi o l’algebra. Ad esempio, l’affermazione è un assioma

esiste un insieme vuoto

della teoria degli insiemi e afferma che esiste un insieme che non contiene elementi. Dato

che un insieme è un’entità astratta, non possiamo andare a cercare un insieme vuoto per

dimostrare che esiste: dobbiamo stabilirlo arbitrariamente. Gli assiomi non-logici quindi

contengono verità primitive che sono indispensabili per non cadere in fastidiose contraddizioni

nello sviluppo di una teoria formale. Non è importante che queste affermazioni siano vere,

perchè sono indimostrabili: è però necessario che le costruzioni successive (teoremi) siano

coerenti e dimostrabili con le premesse degli assiomi non-logici e con le regole imposte dagli

assiomi logici.

Euclide enuncia cinque di questi assiomi e li chiama Il termine postulare

postulati.

significa ma soprattutto Non è un caso che Niccolò Tartaglia, nella sua

richiedere, esigere.

traduzione degli Elementi, enunci i postulati introducendoli con Adimandiamo che ce sia

I postulati sono effettivamente qualcosa di concesso: non sono

concesso, che.... universalmente

necessari, bensı̀ necessari allo sviluppo di teoria. Quelli di Euclide, nello

localmente una

specifico, sono indispensabili per costruire la geometria euclidea. Essa, pur essendo coerente,

è solo un caso particolare, in quanto dedotta a partire da alcuni assiomi e non da altri.

Ora sappiamo che i cinque postulati sono indipendenti, cioè è impossibile dimostrarne uno

utilizzando solo gli altri. Per giungere a questo risultato, come vedremo in seguito, sono stati

necessari svariati secoli di dispute matematiche.

Da ogni punto a ogni altro punto è possibile condurre una e una sola linea

Postulato 1.

retta. Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta.

Postulato 2. Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza

Postulato 3.

con raggio scelto a piacere.

Tutti gli angoli retti sono uguali.

Postulato 4. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni

Postulato 5.

minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i

due angoli sono minori di due retti. 4

1.2.3 Teoremi

Dopo aver finalmente posto le basi, Euclide introduce i teoremi, che lui chiama proposizioni.

Possiamo paragonare la geometria euclidea (cosı̀ come tutte le teorie matematiche) a una

casa: le definizioni costituiscono i materiali da costruzione e gli assiomi rappresentano le

fondamenta sulle quali si possono edificare infiniti teoremi. L’edificio, naturalmente, è solido

solo se poggia correttamente sulle propria fondamenta: infatti una dimostrazione rigorosa si

basa esclusivamente su deduzioni logiche che non contraddicano gli assiomi. Una volta che un

teorema è stato dimostrato in modo corretto, può essere usato per dimostrare altri teoremi,

cosı̀ come i mattoni di un edificio poggiano l’uno sull’altro.

Le proposizioni di Euclide sulla geometria piana sono 48: qui di seguito ne vengono elencate

alcune per dare un’idea del metodo dimostrativo.

Possiamo sopra una data retta costruire un triangolo equilatero.

Proposizione 1. C

!

A B

D

!

Avendo due punti A e B, per il postulato 1 possiamo tracciare una retta che

Dimostrazione.

contenga il segmento AB. Per il postulato 3 sappiamo che esiste una circonferenza con centro

in A e di raggio AB. Sempre per il postulato 3, possiamo disegnare un’altra circonferenza

con centro B e raggio AB.

Le due circonferenze si intersecano in due punti C e D: tra i due prendiamo il punto C

(ma la scelta è arbitraria) e congiungiamolo con A e B. Secondo il postulato 1 esistono quindi

due segmenti AC e BC, e anche il segmento AB.

Il punto A appartiene a entrambe le circonferenze, quindi AC e BC sono raggi. Le

circonferenze costruite hanno lo stesso raggio, pari ad AB. Tenendo presente la definizione

15 non citata precedentemente (Il cerchio è una figura piana contenuta da una sola linea,

detta circonferenza, in mezzo a essa vi è un centro, tutte le rette condotte dal centro alla

∼ ∼

AB BC AC.

), possiamo concludere che

circonferenza sono congruenti = =

Citando la definizione 20: delle figure di tre lati una è detta triangolo equilatero, quello

Dunque il triangolo ABC è equilatero.

contenuto sotto di tre lati congruenti.

Quindi, data una retta (quella passante per AB), è sempre possibile costruire un triangolo

equilatero sopra di essa.

Da un dato punto possiamo condurre segmento congruente a qualsiasi

Proposizione 2.

segmento dato. Dati due segmenti non congruenti, si può togliere al maggiore un segmento

Proposizione 3.

congruente al minore. 5

A differenza dei postulati, i teoremi non sono indipendenti. Solo le prime proposizioni

si possono ricondurre direttamente a definizioni e assiomi: i teoremi più complessi possono

basarsi anche sui teoremi precedenti, purchè questi siano stati dimostrati correttamente.

Bisogna tenere presente che i teoremi, posti i necessari assunti, sono conseguenze logiche

praticamente Una volta provato che discendono da definizioni e postulati, essi non

inevitabili.

possono più essere messi in dubbio. I postulati, al contrario, possono tranquillamente essere

negati, poiché sono dati a priori, senza alcuna dimostrazione. Togliendo o modificando un

postulato, però, è probabile che molti teoremi crollino: in questo modo si può creare una

nuova teoria fatta di nuovi teoremi, purchè siano coerenti con le nuove premesse.

6

Capitolo 2

Oltre Euclide

“Una geometria non può essere più vera di un’altra; può essere soltanto più comoda.”

Jules-Henri Poincaré

2.1 Il dibattito sul quinto postulato

Sin dalla prima stesura degli si è dubitato che il V postulato fosse effettivamente

Elementi

un assioma, forse per la sua forma più complessa e meno immediata degli altri quattro.

Euclide stesso deve aver nutrito qualche dubbio sulla legittimità del quinto postulato: infatti

lo enuncia per ultimo e dimostra le prime 28 proposizioni degli senza ricorrere

Elementi

ad esso. Queste proposizioni fanno parte della cosiddetta e quindi sono

geometria assoluta

valide anche nelle geometrie non-euclidee. Posidonio e Tolomeo, altrettanto scettici, cercano

di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro; in realtà le loro dimostrazioni

non sono valide, perchè si basano su costruzioni geometriche che implicitamente accettano

il postulato. Un altro coraggioso tentativo viene intrapreso dal filosofo neoplatonico Proclo,

che nel 450 scrive: ‘Deve essere assolutamente cancellato dai postulati, perchè è un teorema’.

Nel suo commento agli Proclo evidenzia gli errori delle precedenti dimostrazioni,

Elementi

credendo di averne prodotta una corretta. Anche se la sua dimostrazione si è successivamente

rivelata errata, a Proclo va il merito di aver formulato l’enunciato di unicità della parallela,

logicamente equivalente al quinto postulato ma intuitivamente più comprensibile, tanto da

avere rimpiazzato il postulato originale in quasi tutti i trattati di matematica.

P

Data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola

Unicità della parallela.

parallela alla retta data passante per quel punto.

L’equivalenza dell’unicità della parallela con il quinto postulato può sembrare strana, trat-

tandosi di due enunciati che apparentemente non hanno nulla in comune, tuttavia è possibile

verificarla dimostrando la doppia implicazione tra i due enunciati:

7

Il V postulato implica l’unicità della parallela.

Teorema 1.

Ipotesi.

t interseca la retta r nel punto P formando con essa l’angolo α.

• t interseca la retta s nel punto Q formando con essa l’angolo β.

• α + β è minore di un angolo piatto.

• r s = R

• ∩

R sta dalla stessa parte di α e β rispetto alla retta t.

• ′

Esiste ed è unica la retta s parallela a r.

Tesi. s’

Q

! !

β

t t’ s

α R

! !

! !

r

P

Per il V postulato, anche se variamo l’inclinazione delle rette r e s, si inter-

Dimostrazione. ◦1 ◦

secheranno comunque finchè α + β < 180 . Consideriamo il caso limite in cui α + β = 180 :

poichè α e β stanno dalla stessa parte rispetto a t, sono angoli coniugati interni. Nella propo-

sizione 27 si dimostra che, se due rette tagliate da una trasversale formano coniugati interni

supplementari, esse sono parallele: quindi esiste almeno una parallela a r passante per Q.

Supponiamo per assurdo che esista un’altra retta, detta u, passante per Q e parallela ad r:

dato che rette parallele a una stessa retta sono parallele tra loro (come dimostrato nella pro-

posizione 30), u dovrebbe essere parallela anche a s. Ma, dato che entrambe passano per Q,