Geometrie non euclidee tesina

Le geometrie non euclidee

Percorso interdisciplinare matematica-fisica

Barbara Palladini - V P

Liceo Scientifico Dall’Aglio

a.s. 2007/2008

Indice

1 Introduzione 1

1.1 La nascita della geometria 1

1.2 Euclide 2

1.2.1 Definizioni 2

1.2.2 Assiomi e postulati 3

1.2.3 Teoremi 5

2 Oltre Euclide 7

2.1 Il dibattito sul quinto postulato 7

2.2 Girolamo Saccheri 10

2.2.1 Il quadrilatero di Saccheri 10

2.3 Un nuovo inizio 13

2.4 Problemi di coerenza 14

3 Geometria iperbolica 15

3.1 Basi concettuali 15

3.2 Tipi di rette 15

3.3 Triangoli iperbolici 17

3.4 Modello di Klein 18

3.5 Modello di Poincaré 19

4 Geometria ellittica e sferica 20

4.1 Basi concettuali 20

4.2 Coerenza 20

4.3 La geometria sferica 21

4.3.1 Teoremi di geometria sferica 22

4.4 La geometria ellittica 24

5 Spazi curvi 25

5.1 Qual è la geometria dello spazio fisico? 25

5.2 Relatività e geometrie non euclidee 25

Bibliografia 27

Capitolo 1

Introduzione

La nascita della geometria

Già gli antichi Egizi e i Babilonesi conoscevano qualche rudimento di geometria: sapevano calcolare aree e volumi e conoscevano il teorema di Pitagora addirittura molti anni prima che Pitagora stesso lo dimostrasse.

Non si trattava ancora di uno studio sistematico e accademico, nasceva piuttosto da esigenze essenzialmente pratiche, ad esempio calcolare l’estensione dei campi o ridisegnare i confini dopo le piene del Nilo.

Si può dire che queste civiltà abbiano elaborato una sorta di geometria ante litteram: nonostante i loro metodi fossero inevitabilmente poco precisi, nacquero comunque da una primitiva forma di astrazione.

L’idea di «cerchio» avrebbe avuto poco senso per i Babilonesi, eppure essi hanno dimostrato di riuscire a separare le cose dalle loro caratteristiche, ovvero di riconoscere le forme generali che trascendono gli oggetti.

Questo passaggio venne più tardi formalizzato dai Greci, che iniziarono a fare un uso abituale degli enti geometrici astratti.

Talete è oggi considerato il precursore della geometria occidentale, ma il salto di qualità è avvenuto tre secoli dopo grazie alla teoria delle Idee di Platone e alla logica aristotelica.

Le Idee platoniche sono puri concetti, ognuna di esse è una matrice per tutti gli enti terreni che le somigliano.

Nel mondo concreto non esistono veri triangoli, ma esistono infiniti enti materiali che hanno forma di triangolo, pur essendo diversi tra loro: in comune hanno la caratteristica che definisce l’idea di triangolo, cioè l’avere tre lati.

Questa astrazione ci permette di definire tutti gli enti geometrici.

Grazie ad Aristotele, allievo di Platone, possiamo anche creare una classificazione gerarchica di concetti: avremo dunque la classe dei poligoni, che comprende tra le altre la classe dei triangoli e dei quadrilateri, la quale a sua volta comprende trapezi, parallelogrammi, quadrati...

Una volta definiti e categorizzati i concetti, Aristotele ci dice anche come utilizzarli.

Affermando o negando qualcosa circa un concetto, noi enunciamo un giudizio.

I giudizi sono la forma elementare e irriducibile del processo cognitivo, e possono essere soltanto o veri o falsi.

Tuttavia, per arrivare alla conoscenza, l’Uomo deve connettere i giudizi tra loro mediante rapporti di causa ed effetto: in poche parole, deve ragionare.

Il ragionamento corretto si presenta nella forma del sillogismo, che fa scaturire da un certo numero di premesse le loro necessarie conseguenze.

• Premessa maggiore: ogni volta che nevica, fa freddo.
• Premessa minore: oggi nevica.
• Conclusione: oggi fa freddo.

È importante sottolineare che la validità del sillogismo prescinde dalla veridicità delle premesse:

• Premessa maggiore: tutti i gatti sono grigi.
• Premessa minore: Poldo è un gatto.
• Conclusione: Poldo è grigio.

In questo caso le premesse sono infondate, non è vero che tutti i gatti sono grigi, ma il ragionamento è comunque corretto.

L’affermazione, infatti, è valida in virtù della sua forma, non in virtù dei termini particolari che la compongono.

Le proposizioni logiche sono date a priori anche senza uno studio del mondo reale: nonostante questo possa sembrarci assurdo e contrario al senso comune, non va dimenticato che la logica è puramente formale.

Questa caratteristica della logica si riverbera sulla geometria. Proprio creando un sistema formale, Euclide ha reso possibile la geometria che noi conosciamo.

Euclide

«Quod gratis adfirmatur, gratis negatur»

«Ciò che viene affermato senza prova, può anche essere negato.»

Euclide d’Alessandria

Come già visto, Euclide non è il primo matematico della storia ad occuparsi di geometria.

Tuttavia è il primo a realizzare un trattato di matematica e geometria che raccoglie e organizza anche le conoscenze già acquisite, integrandole in un sistema formale molto rigoroso.

Questo trattato, gli Elementi, consta di tredici libri che passano in rassegna gli argomenti della matematica tradizionale: la geometria piana e solida, la similitudine, la teoria dei numeri.

Utilizzando come base la logica aristotelica, Euclide espone la materia attraverso il metodo assiomatico-deduttivo: partendo dalle definizioni degli enti geometrici, contenute nel primo libro, e da alcuni assiomi, egli crea una teoria deducendo i teoremi dalle necessarie conseguenze degli assiomi.

Definizioni

Le definizioni sono anche dette termini e descrivono gli enti a partire dal loro modello ideale.

Se vogliamo comunicare una teoria senza che sorgano equivoci per la sua comprensione, dobbiamo definire con esattezza gli oggetti di cui tratteremo prima che il discorso sia avviato.

Ma queste definizioni sono davvero fondamentali? Affermando che il punto è ciò che non ha parti, infatti, Euclide non ci spiega cosa significhi «avere parti».

Per spiegare il concetto di «avere parti» avremmo però bisogno di un’altra definizione, che a sua volta conterrebbe altri termini non definiti in precedenza, e così via.

Dobbiamo quindi ammettere la presenza di termini primitivi che si fondano sull’esperienza comune: tutti infatti immaginano intuitivamente cosa sia un punto.

Le definizioni euclidee, dunque, in parte si fidano della loro evidenza.

Le prime otto sono le più interessanti, perché introducono i concetti basilari della materia:

• Definizione 1. Il punto è ciò che non ha parti.
• Definizione 2. La linea è una lunghezza senza larghezza.
• Definizione 3. Gli estremi di una linea sono due punti.
• Definizione 4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
• Definizione 5. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
• Definizione 6. Estremi di una superficie sono linee.
• Definizione 7. La superficie piana giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
• Definizione 8. Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta.

Nelle definizioni 9-22 Euclide passa a definire le figure geometriche piane, triangoli, quadrilateri, cerchio, utilizzando le precedenti definizioni come base.

Particolarmente significativa è l’ultima definizione:

Definizione 23. Le linee equidistanti, ovvero parallele, sono quelle collocate su una medesima superficie, e che prolungate da entrambe le parti non si intersechino, nemmeno se siano prolungate all’infinito.

Con quest’ultima definizione Euclide sottintende che proprietà valide localmente siano vere anche all’infinito: questa supposizione è però arbitraria, come vedremo.

Assiomi e postulati

La caratteristica fondamentale degli assiomi è l’essere considerati veri.

In particolare distinguiamo due tipi di assiomi: un assioma logico è una formula valida in ogni modello, ad esempio ∀x(x = x).

Questa affermazione è valida in ogni sistema formale, a prescindere dai valori che vengono assegnati alla variabile x.

x potrebbe essere un numero naturale, un insieme, un segmento, ma sarebbe comunque uguale a x.

Di questi assiomi si può verificare la validità ma non si possono dimostrare, infatti essi stessi stabiliscono le regole per le dimostrazioni formali.

Si potrebbe obiettare che, non potendo dimostrare x = x, questo assioma si possa anche negare.

In realtà non dobbiamo farci condizionare dal nostro linguaggio comune: questo assioma si limita a dirci che l’oggetto x può essere messo in relazione con se stesso mediante l’operatore =.

Euclide, pur mancando degli strumenti della logica matematica moderna, enuncia otto proposizioni che svolgono all’incirca la funzione degli assiomi logici, da lui dette nozioni comuni:

• Nozione comune 1. Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro.
• Nozione comune 2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, i resti sono uguali.
• Nozione comune 3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali.
• Nozione comune 4. Se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le somme sono disuguali.
• Nozione comune 5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
• Nozione comune 6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.
• Nozione comune 7. Cose che coincidono tra loro sono uguali.
• Nozione comune 8. Il tutto è maggiore della parte.

La 1 è l’enunciazione della proprietà transitiva, la quale stabilisce che se a = c e b = c, allora necessariamente a = b.

Le nozioni 2, 3, 4, 5, 6 equivalgono ai principi di equivalenza delle equazioni.

La nozione 7 può essere semplicemente interpretata come l’assioma logico x = x, ma se trasposto in campo geometrico significa che figure sovrapponibili sono uguali, in poche parole si tratta della definizione di congruenza.

Per sovrapporre le figure occorre spostarle: questo assioma ci garantisce che spostare le figure nello spazio non altera le loro caratteristiche.

Invece gli assiomi non-logici hanno validità limitata a singoli campi, come la teoria degli insiemi o l’algebra.

Ad esempio, l’affermazione «esiste un insieme vuoto» è un assioma della teoria degli insiemi e afferma che esiste un insieme che non contiene elementi.

Dato che un insieme è un’entità astratta, non possiamo andare a cercare un insieme vuoto per dimostrare che esiste: dobbiamo stabilirlo arbitrariamente.

Gli assiomi non-logici quindi contengono verità primitive che sono indispensabili per non cadere in fastidiose contraddizioni nello sviluppo di una teoria formale.

Non è importante che queste affermazioni siano vere, perché sono indimostrabili: è però necessario che le costruzioni successive, teoremi, siano coerenti e dimostrabili con le premesse degli assiomi non-logici e con le regole imposte dagli assiomi logici.

Euclide enuncia cinque di questi assiomi e li chiama postulati.

Il termine postulare significa richiedere, esigere. Non è un caso che Niccolò Tartaglia, nella sua traduzione degli Elementi, enunci i postulati introducendoli con «Adimandiamo che ce sia concesso, che...».

I postulati sono effettivamente qualcosa di concesso: non sono universalmente necessari, bensì necessari allo sviluppo di una teoria.

Quelli di Euclide, nello specifico, sono indispensabili per costruire la geometria euclidea.

Essa, pur essendo coerente, è solo un caso particolare, in quanto dedotta a partire da alcuni assiomi e non da altri.

Ora sappiamo che i cinque postulati sono indipendenti, cioè è impossibile dimostrarne uno utilizzando solo gli altri.

Per giungere a questo risultato, come vedremo in seguito, sono stati necessari svariati secoli di dispute matematiche.

• Postulato 1. Da ogni punto a ogni altro punto è possibile condurre una e una sola linea retta.
• Postulato 2. Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta.
• Postulato 3. Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio scelto a piacere.
• Postulato 4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
• Postulato 5. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Teoremi

Dopo aver finalmente posto le basi, Euclide introduce i teoremi, che lui chiama proposizioni.

Possiamo paragonare la geometria euclidea, così come tutte le teorie matematiche, a una casa: le definizioni costituiscono i materiali da costruzione e gli assiomi rappresentano le fondamenta sulle quali si possono edificare infiniti teoremi.

L’edificio, naturalmente, è solido solo se poggia correttamente sulle proprie fondamenta: infatti una dimostrazione rigorosa si basa esclusivamente su deduzioni logiche che non contraddicano gli assiomi.

Una volta che un teorema è stato dimostrato in modo corretto, può essere usato per dimostrare altri teoremi, così come i mattoni di un edificio poggiano l’uno sull’altro.

Le proposizioni di Euclide sulla geometria piana sono 48: qui di seguito ne vengono elencate alcune per dare un’idea del metodo dimostrativo.

Proposizione 1. Possiamo sopra una data retta costruire un triangolo equilatero.

C

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A B

D

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