Esoterismo, matematica e arte

Sezione Aurea

Dalla

alle Piramidi di Giza,

dalle stelle al Sistema Solare:

tra arte, matematica e esoterismo.

Fabiana Lanzetta

Liceo classico “Pitagora”

Maturità 2007/08



E per orientarsi…

Ambito artistico-scientifico:

Introduzione ai temi trattati

 La “magica” Sezione Aurea…tra Pitagora e l’Egitto dei

 Faraoni SEZIONE: Qualcosa sul seno

Cosa c’entrano le Piramidi?

 Ma il legame fra le piramidi e le stelle?!

 L’ipotesi più o meno

fantasiosa di Bauval

Gli egizi, quindi non erano dotati di conoscenze

 astronomiche?

Dalle stelle imperiture, al moto apparente dei corpi

 celesti fino al modello della nascita delle stelle…

Ma come nascono appunto le stelle?

 Il modello dell’evoluzione stellare

 Infine qualche cenno sul calore..

 Bibliografia

 

Introduzione ai temi trattati

C

ome appassionata di antichi misteri, Piramidi e stelle non potevo

sottrarmi dal trattare di simili argomenti: dalla Sezione Aurea, al suo

legame con l’arte, dalla Grande Piramide di Cheope fino alle stelle,

dalla loro nascita alla loro evoluzione. Spero di essere stata quanto

più rigorosa possibile ed al contempo di aver dimostrato in parte

come la scienza dovrebbe continuamente interrogarsi su quelli che

restano ancora indubbiamente dei piccoli misteri, dimostrando,

magari, una maggiore apertura e affermando ancora una volta il

suo perenne mettersi in gioco e mettere in dubbio le conoscenze

finora raggiunte. Cos’è d’altronde una verità scientifica? “La finalità

della scienza è dubitare dei suoi risultati” diceva Morandotti non

uno scienziato, ma un famoso storico italiano….Sarà forse per

questo? 

La “magica” Sezione Aurea…tra Pitagora e l’Egitto

dei Faraoni

Sezione Aurea

La consiste in un rapporto fra due grandezze

disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale rispetto la

minore e la loro somma (a+b : a = a : b), oppure il numero

corrispondente, approssimativamente pari a 1.618 (0.618).

Algebricamente il numero esatto può essere presentato soltanto

con la formula:

trattandosi di un numero irrazionale, infatti, non può essere ridotto

ad una frazione generatrice, ma può comunque essere

approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due numeri

successivi della serie di Fibonacci, a cui è intrinsecamente legato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente

riproposizione della proporzione in svariati contesti naturali,

apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la

mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di

bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a

ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza;

testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più

recenti, in particolare nell’Ottocento ha assunto gli appellativi di

"aureo" ( sezione aurea ) o "divino" ( divina proporzione ), proprio a

dimostrazione del fascino esercitato, attirandosi l’attenzione di

numerosi artisti e progettisti.

Non a caso un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione

di questo metodo di aurea suddivisione armonica è stato dato dal

matematico Luca Pacioli con la pubblicazione del libro De divina

Proportione, testo illustrato con disegni di Leonardo Da Vinci,

pubblicato a Venezia nel 1509.

In questo trattato inoltre, Pacioli ricercò nella proporzione dei

numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola

praxis italica.

aurea introdotta fu in seguito chiamata L’aggettivo

divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che

appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché



abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è

invariabile.

Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì

che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine.

In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi

capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.

Nella Gioconda il rapporto

aureo è stato individuato:

nella disposizione del

 quadro

nelle dimensioni del viso

 nell’area che va dal collo

 a sopra le mani

in quella che va dalla

 scollatura dell’abito fino

a sotto le mani.

 Ne L’Ultima cena,

Gesù, il solo

personaggio

veramente divino,

è dipinto con le

proporzioni divine,

ed è racchiuso in

un rettangolo

aureo.

Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea

De architectura

secondo i dettami del di Vitruvio che obbediscono ai

rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le proporzioni

umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo

aureo.

De

Vitruvio nel

Architectura scrive: "Il

centro del corpo umano

è inoltre per natura

l’ombelico; infatti, se si

sdraia un uomo sul

dorso, mani e piedi

allargati, e si punta un

compasso sul suo

ombelico, si toccherà

tangenzialmente,

descrivendo un cerchio,

l’estremità delle dita

delle sue mani e dei suoi

piedi".  La sezione aurea

affascinò altri

pittori, come

Botticelli (1445-

1510) e la

rappresentò ne

La Venere.

Infatti misurando

l’altezza da terra

dell’ombelico e

l’altezza

complessiva il

loro rapporto

risulterà 0.618,

così anche il

rapporto tra la

distanza tra il

collo del femore e

il ginocchio e la

lunghezza

dell’intera gamba

o anche il

rapporto tra il

gomito e la punta

del dito medio e

la lunghezza del

braccio.

Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre

Mondrian,autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di

figure geometriche.

In questo quadro è ben

visibile l'impostazione

artistica di Mondrian che basa

l'intero dipinto

sull'accostamento di quadrati

e rettangoli aurei.



La

Nell'opera dal titolo

parade du cirque il

pittore divisionista

francese Georges

Seurat impiega varie

sezioni auree alcune

delle quali evidenziate

in figura.

Insomma questa riconosciuta come un rapporto

esteticamente piacevole è stata usata come base per la

composizione di quadri o di elementi architettonici, anche

se In realtà è stato dimostrato come la percezione umana

mostri una naturale preferenza e predisposizione verso le

proporzioni in accordo con la stessa; gli artisti tenderebbero

dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di

una composizione in base a tali rapporti.

Dunque vediamo geometricamente in cosa consista tale tanto

famoso rapporto attraverso gli studi condotti dai pitagorici. Essi, in

particolare descrissero le proprietà di molte figure geometriche

mediante l’aritmetica, ma una figura che attirò maggiormente la

loro attenzione fu il pentagono stellato (pentagramma o pentacolo),

ottenuto tracciando le cinque diagonali di un pentagono regolare.

Le diagonali del pentagono permettono di definire diversi

triangoli isosceli, che risultano simili tra di loro, in particolare se si

considerano i triangoli simili AA1B e BDE si ha:



BE : BA = DE : AA = BA = A E

1 1 1 1

B

x A C

(1)

A

1 E

D Fi

gura 1

La diagonale AD del pentagono divide la diagonale BE in due

segmenti BA1 e A1E tali che il rapporto tra la diagonale e il

segmento maggiore BA1 è uguale al rapporto tra il segmento

maggiore e il minore A1E. La precedente costruzione permette di

media ed estrema ragione

dividere una linea in e il segmento

sezione aurea

maggiore BA1 viene indicato come “ ” della linea BE.

Se indichiamo con d0 la lunghezza della diagonale e con x la sua

sezione aurea, il valore di x è dato dalla soluzione algebrica

dell’equazione di secondo grado: 2 0 02

d / x = x / d – x x + x d = d

0 0

 da cui:

(2) x = d / 2 ( - 1 ) = d

√

± 5

0 1

Per BE =d0=1 si ha che una soluzione della (2) è uguale a

BA1=d1=0.618034…, mentre l’altra soluzione in valore assoluto è

1/BA1=1.618034…. Spesso in letteratura il numero irrazionale

rappresentato da 1/BA1 è indicato con F in onore dello scultore

Fidia, che fu tra i primi a utilizzare tale numero nelle proporzioni

delle sculture decorative del Partenone.

Mentre i progettisti (Ictino e Callicrate), pur conoscendo le

sezione aurea

proprietà della perché il Partenone fu costruito verso

gli anni 440 a.C., non la utilizzarono come criterio di progetto.

Alcune volte si indica come sezione aurea il valore di =BA1 =

1/.

Per la (1) i valori della sezione aurea soddisfano le equazioni

 2

1 + =  = 

 (3) sezione

da cui sarà possibile ottenere delle formule ricorsive sulla

aurea.

Euclide, nelle Proposizioni 11 (Libro II) e 30 ( Libro VI) degli

Elementi , propose un metodo grafico per la soluzione della (2) e

rettangoli aurei,

iterando la costruzione grafica ottenne dei i cui

rapporti tra il lato maggiore e quello minore era uguale a  . Oltre

Elementi, Ottica,

agli Euclide scrisse altri libri come l’ che contiene i

primi studi di prospettiva, ripresi più di 1700 anni dopo dal pittore e

matematico Piero della Francesca.

Se si considerano gli angoli della Figura 1 è possibile trovare

sezione aurea

una relazione tra la e un altro importante numero

irrazionale che è adoperando il seno. Infatti, si ha che l’angolo

EBD=36°=/5, per cui se si pone BE=1 si ha

ED=ϕ=2 sin(/10)



Pertanto, in un triangolo isoscele, i cui angoli sono (72°,36°,72°), il

rapporto tra il lato e la sua base è uguale alla sezione aurea, tale

aureo.

triangolo è detto Mentre se si considera il triangolo isoscele

ABE, i cui angoli sono (36°,108°,36°) si ha che il rapporto tra la base

gnomone

e il lato è uguale a F , tale triangolo è indicato come

aureo.

………………………………………………………………………………

………………………………

Qualcosa sul seno

Dato un triangolo rettangolo, il seno di uno dei due angoli interni

adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le

lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è

una quantità che dipende solo da α, costruita usando la

circonferenza unitaria.

sen(x) x,

Definendo come il valore del seno nell'angolo si ottiene la

funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale

importanza nell'analisi matematica.

Nel triangolo rosso in figura, il seno di x è dato da

 x

Più in generale, si definisce il seno di un angolo (espresso in

gradi o radianti) a partire dalla circonferenza goniometrica,

ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano

cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un

x

angolo con l'asse delle ascisse come in figura, il seno y

dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata del

punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in

figura, è la lunghezza del segmento CD).

Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali,

mentre il codominio è l'intervallo reale [ − 1; + 1], ossia

applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene

sempre un numero reale compreso tra −1 e +1, estremi inclusi.

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione seno:

x in radianti 0

x in gradi 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

0

0 1 0 − 1

In alcuni libri il seno di x è indicato con la notazione anglofona sinx.

Inoltre:

La funzione seno è definita associando ad x il seno dell'angolo x (rappresentato

in radianti), ed è indicata con Poiché x e x + 2π definiscono lo stesso

sen(x).

angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo

giro). 

Rappresentazione grafica della funzione seno

Prima relazione fondamentale: seno e coseno

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

x x

2 2

sen + cos = 1

che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel

x

triangolo OCD nella figura in alto il coseno di è definito

come

D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo

OCD fornisce la relazione

e quindi 

………………………………………………………………………………

………………………………

Se si considera un decagono regolare inscritto in una circonferenza

di raggio R, la lunghezza del suo lato è uguale a

l = R 2 sin( /10) = R (4)

10