Coniche: in Matematica, Fisica, Arte, Natura e nella quotidianità

PREMESSA

Le coniche sono un argomento che mi ha accompagnato nell’arco dei cinque

anni del liceo. Per citare qualche esempio: nella matematica come luoghi

geometrici ed equazioni cartesiane; nella fisica come traiettoria di un

proiettile lanciato ad una certa velocità, nella Legge di Boyle-Mariotte, nel

moto di una carica lanciata fra le due armature di un condensatore o in un

campo magnetico; nelle orbite dei corpi celesti studiate in geografia

astronomica; nelle piante di alcune opere architettoniche.

Argomenti trattati:

BREVE STORIA DELLE CONICHE

CONICHE – Definizione ed equazione generica

CIRCONFERENZA – Definizione matematica - Esempi Fisici, in natura, nella quotidianità e nell’arte –

Reticolato geografico

ELLISSE – Definizione matematica – Esempi in natura e arte – Metodo “del giardiniere” per la costruzione

di un’ellisse

PARABOLA – Definizione matematica – Esempi Fisici, nella quotidianità e in architettura

IPERBOLE – Definizione matematica – Esempi fisici e nella quotidianità

CONICHE E LUCE

CONICHE E ORBITE

CONICHE E GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Storia delle coniche

Vissuto fra il 380 a.C. ca. - 320 a.C. ca., scopre le coniche

nel tentativo di risolvere il problema di Delo del quale fornì ben

due soluzioni: una utilizzando due parabole e l’altra utilizzando

una parabola ed un’iperbole.

(262 a.C. ca. - 190 a.C. ca.) Diede alle coniche i nomi usati

ancora oggi e le studiò per primo in maniera approfondita in

un’opera di ben otto libri.

In matematica, per conica o sezione conica si intende una curva

ottenuta dalla rappresentazione piana della superficie di un cono

tagliato da un piano intersecante. Le coniche sono quattro:

circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.

Nella figura seguente si possono distinguere i vari tipi di coniche, in

relazione alla inclinazione del piano intersecante.

Si possono avere dei casi degeneri quando il piano intersecante passa per il vertice del

cono. In questi casi è possibile ottenere un punto, una retta (generatrice del cono) o una

coppia di rette generatrici del cono e simmetriche rispetto l’asse di quest’ultimo.

L’equazione generica di una conica nel piano cartesiano ha forma:

ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0

A seconda di particolari condizioni si possono ottenere circonferenza,

ellisse, parabola e iperbole:

Condizioni Curva ottenuta

h2 - ab = 0 parabola

h2 < ab e a ≠ b e/o h ≠ 0 ellisse

h2 > ab iperbole

h2 < ab e a = b e h = 0 circonferenza

Definizione matematica:

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano distanti r

(distanza fissa detta raggio) da un punto fisso C detto centro.

Sia C(xc;yc) il centro della circonferenza, P(x;y) un punto generico appartenente ad essa e “r” la misura del

suo raggio; è possibile ricavare l’equazione cartesiana della circonferenza in pochi passaggi matematici

applicando la definizione di circonferenza come luogo geometrico:

PC = r

Si applica la formula della distanza fra due punti:

√(x - xc)² + (y - yc)² = r

Elevando ambedue i termini al quadrato si ottiene:

(x - xc)² + (y - yc)² = r²

Sviluppando i quadrati di binomio:

x²- 2 xcx + xc² + y²- 2 ycy + yc² = r²

Cambiando l’ordine dei termini:

x² + y² - 2 xcx - 2 ycy + xc² + yc² - r² = 0

Per rendere più ordinata la scrittura di questa equazione, verranno operate le seguenti tre sostituzioni:

a = - 2 xc

b = - 2 yc

c = xc² + yc² - r²

Ottenendo:

x² + y² + ax + by + c = 0

Quest’ultima è l’equazione generica della circonferenza.

Moto circolare uniforme:

In cinematica, è il moto di un punto materiale lungo una traiettoria circolare che si muove a

velocità costante. La velocità del punto materiale si trova sulla direzione della tangente alla

circonferenza, perciò la velocità è detta tangenziale. Pur essendo costante la velocità in

modulo, non lo è in direzione, questo è dovuto all’acelerazione centripeta.

Il periodo del moto corrisponde al tempo impiegato dal punto materiale per percorrere

l’intera circonferenza una sola volta, la frequenza invece corrisponde al numero di giri

compiuti in un unità di tempo, quindi periodo e frequenza sono reciproci.

Ecco di seguito una tabella riassuntiva con le formule principali del moto circolare:

Periodo e T=1/f

T=2πr/v

Frequenza f=1/T

Velocità media tangenziale v= 2πr/T e v= ωr

Accelerazione centripeta a= v²/r e a= ω²r

Velocità angolare = 2

ω π

Moto circolare di una particella carica in un campo magnetico:

Quando una particella carica entra in un campo magnetico con una velocità che ha direzione

perpendicolare a quella del campo magnetico stesso, essa si muoverà di moto circolare. Se una

particella di massa m e carica q si muove con velocità v all’interno di un campo magnetico B,

l’intensità della forza magnetica è:

F= qvb

Condizione necessaria perchè si verifichi un moto circolare è l’accelerazione centripeta; questa

è fornita dalla forza magnetica che viene esercitata sulla particella verso un centro. Vediamo

ora di calcolare il raggio dell’orbita circolare:

Essendo l’accelerazione centripeta:

a= v²/r

moltiplicando per m entrambi i termini:

ma= mv²/r

Per il secondo principio della dinamica F=ma, perciò sostituiamo a ma la forza magnetica:

qvb= mv²/r

Infine ricaviamo il raggio dell’orbita circolare:

r= mv/qB

Circonferenza e reticolato geografico:

Come ausilio per l’orientamento sulla Terra, è stato introdotto il reticolato

geografico; esso è formato da una serie di circonferenze (paralleli) e

semicirconferenze (meridiani) che intersecandosi formano un reticolo le cui

maglie sono dei trapezi sferici. Non è altro che un sistema di riferimento,

come quello cartesiano, questo ci consente di stabilire la posizione assoluta di

un punto sulla superficie terrestre.

Ricordiamo, inoltre, che i paralleli sono delle circonferenze parallele

all’equatore e quindi hanno dimensioni variabili, invece i meridiani sono delle

semicirconferenze tutte uguali fra loro per dimensione e passano per entrambi

i poi i poli, nell’orientamento viene preso come meridiano di riferimento quello

passante per l’osservatorio astronomico di Greenwich. Un sistema di

riferimento analogo viene usato nella sfera celeste.

Esempi in arte:

La circonferenza è ampiamente usata dagli artisti, specie dagli architetti per la

costruzione di cupole, volte, archi. Ad esempio nella pianta di San Giorgio

Maggiore, opera di Andrea Palladio, o nella pianta della Villa Almerico-Capra (detta

anche la Rotonda), opera dello stesso autore:

San Giorgio Maggiore, Venezia, 1556-1610 (pianta), Villa Almerico-Capra, Venezia, 1570 (pianta e prospetto)

Andrea Palladio Andrea Palladio

Definizione matematica:

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la

somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Supponendo che i fuochi siano sull’asse delle ascisse e siano equidistanti dall’origine degli assi, si avranno

come fuochi i punti F1(c;0) e F2(-c;0). Sia P(x;y) un punto generico e 2a la distanza dai due fuochi, tale che:

PF1 + PF2 = 2a (definizione matematica d’ellisse)

Per la formula della distanza fra due punti, si ottiene:

√(x - c)² + y² + √(x + c)² + y² = 2a

√(x - c)² + y² = 2a - √(x + c)² + y²

Elevando al quadrato due i termini:

(x - c)² + y² = 4a² + (x + c)² + y² - 4a √(x + c)² + y²

x² -2cx +c² + y² = 4a² + x² + 2cx +c² + y² - 4a √x² + 2cx +c² + y²

4a √x² + 2cx +c² + y² = 4(a² + cx)

Eleviamo nuovamente al quadrato i due termini:

a²x² + 2 a²cx + a² c² + a² y² = a4 + c²x² + 2 a²cx

a²x² - c²x² + a²y² = a4 - a²c²

(a² - c²)x² + a²y² = a2(a²- c²)

Dividiamo per a2(a²- c²):

x²/ a² + y²/(a²- c²) = 1

Poniamo a²- c² = b², ottenendo così l’equazione dell’ellisse nella sua forma più nota:

x²/ a² + y²/b² = 1 Orbita terrestre:

L’orbita terrestre è ellittica e il Sole occupa uno dei due fuochi. La Terra si muove in senso

antiorario (immaginando di osservare il moto di rivoluzione dal Polo nord celeste). L’afelio e il

perielio sono rispettivamente la distanza massima e minima della Terra dal Sole e corrispondono

ai vertici dell’orbita ellittica. Il periodo di rivoluzione attorno al Sole è di 365d6h9m10s se si

considera la rivoluzione relativa ad una stella (anno sidereo) mentre è di 365d5h48m46s se si

considera la rivoluzione relativa a due passaggi del Sole allo Zenit dello stesso tropico (anno

tropico o solare).

C’è da dire che l’eccentricità dell’orbita varia, in un periodo di circa 92000 anni, da un minimo di

0,003 ad un massimo di 0,054 (correntemente l’eccentricità è circa 0,017)

Anche l’ellisse è usata spesso dagli artisti:

Cupola di San Carlo alle quattro fontane, Borromini, Roma Colonnato di Piazza San Pietro, Bernini, Città del Vaticano

Chiesa di S.Andrea al Quirinale, pianta, Bernini

Metodo “del giardiniere” per la costruzione di un’ellisse:

Questo metodo di costruzione, detto anche “ellisse del giardiniere”,

consiste nel costruire un ellisse utilizzando dei paletti fissati nel terreno,

una fune ed un punteruolo. Viene detto “del giardiniere” perchè viene

usato proprio da quest’ultimo per tracciare aiuole di forma ellittica.

Per tracciarla è necessario chiudere la fune con un nodo, farla passare

all’esterno dei due paletti e tenerla tesa, avanzando, con un punteruolo.

paletti fissati cordicella

punteruolo

Definizione matematica:

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un

punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Supponiamo di avere il fuoco della parabola sull’asse delle y, che la direttrice sia una retta

parallela all’asse delle x e che l’origine O sia equidistante dal fuoco e dalla direttrice di p

unità. In tal modo, l’asse delle ordinate sarà asse di simmetria della parabola e l’origine sarà il

vertice.

Prendendo un punto generico sul piano P(x;y), tale che la sua distanza dal fuoco sia uguale alla

distanza dalla direttrice, chiamiamo K il punto in cui cade la perpendicolare alla direttrice

passante per P.

Per definizione di parabola si ha che:

PF = PK

√ x² + (y – p)² = |y + p|

Si elevano i due termini al quadrato:

x² + (y – p)² = (y + p)²

x² + y² - 2py + p² = y² + 2py + p²

x² = 4py

y = x²/4p

Ponendo 1/4p = a :

y= ax²

Questa, però, è l’equazione di una parabola con vertice nell’origine e asse di simmetria

coincidente con l’asse delle y. Moto parabolico:

Quando un oggetto viene lanciato in orizzontale con una certa velocità in presenza di un

campo gravitazionale, questo seguirà una traiettoria parabolica. Ad esempio una biglia su un

tavolo che viene spinta per farla cadere, oppure il moto di un proiettile.

La traiettoria parabolica risulta dalla combinazione del moto orizzontale e dalla caduta

verticale dovuta all’attrazione gravitazionale.

Analizziamo i due moti. Per il moto orizzontale avremo la seguente equazione:

x – x0 = (v0 cosΘ) t

Dove x è la posizione orizzontale, x0 è la posizione orizzontale iniziale, v0 è la velocità di

movimento dell’oggetto, Θ l’angolo formato dalla direzione della velocità e l’orizzontale e t il

tempo.

Per il moto verticale si ha:

y - y0 = (v0sinΘ)t – ½gt²

In questo caso y è la posizione verticale, y0 è la posizione verticale iniziale, v0 è la velocità di

movimento dell’oggetto, Θ l’angolo formato dalla direzione della velocità e l’orizzontale, t il

tempo e g l’accelerazione gravitazionale.

Dalla combinazione di queste due equazioni è possibile arrivare all’equazione della traiettoria.

Ricavando t dalla prima e sostituendolo nella seconda si ha:

t = (x – x0)/(v0 cosΘ)

y - y0 = (v0sinΘ) [(x – x0)/(v0 cosΘ)] – ½g[(x – x0)/(v0 cosΘ)] ²

y = tanΘ (x – x0) - ½g[(x2 –2xx0 + x02)/(v0 cosΘ) ²]

Moto di una carica lanciata orizzontalmente fra le armature di un

condensatore:

Se un elettrone entra con una certa velocità orizzontale fra le armature cariche di

un condensatore, trascurando l’attrazione gravitazionale, subirà una forza elettrica

che lo spingerà verso l’armatura caricata positivamente. Dalla combinazione del