Coniche: in Matematica, Fisica, Arte, Natura e nella quotidianità

Premessa

Le coniche sono un argomento che mi ha accompagnato nell’arco dei cinque anni del liceo. Per citare qualche esempio: nella matematica come luoghi geometrici ed equazioni cartesiane; nella fisica come traiettoria di un proiettile lanciato ad una certa velocità, nella Legge di Boyle-Mariotte, nel moto di una carica lanciata fra le due armature di un condensatore o in un campo magnetico; nelle orbite dei corpi celesti studiate in geografia astronomica; nelle piante di alcune opere architettoniche.

Argomenti trattati:

• Breve storia delle coniche
• Coniche – Definizione ed equazione generica
• Circonferenza – Definizione matematica - Esempi fisici, in natura, nella quotidianità e nell’arte – Reticolato geografico
• Ellisse – Definizione matematica – Esempi in natura e arte – Metodo “del giardiniere” per la costruzione di un’ellisse
• Parabola – Definizione matematica – Esempi fisici, nella quotidianità e in architettura
• Iperbole – Definizione matematica – Esempi fisici e nella quotidianità

Coniche e luce

Coniche e orbite

Coniche e geometrie non euclidee

Breve storia delle coniche

Storia delle coniche

Vissuto fra il 380 a.C. ca. - 320 a.C. ca., scopre le coniche nel tentativo di risolvere il problema di Delo del quale fornì ben due soluzioni: una utilizzando due parabole e l’altra utilizzando una parabola ed un’iperbole.

(262 a.C. ca. - 190 a.C. ca.) Diede alle coniche i nomi usati ancora oggi e le studiò per primo in maniera approfondita in un’opera di ben otto libri.

Coniche: definizione ed equazione generica

In matematica, per conica o sezione conica si intende una curva ottenuta dalla rappresentazione piana della superficie di un cono tagliato da un piano intersecante. Le coniche sono quattro: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.

Nella figura seguente si possono distinguere i vari tipi di coniche, in relazione alla inclinazione del piano intersecante.

Si possono avere dei casi degeneri quando il piano intersecante passa per il vertice del cono. In questi casi è possibile ottenere un punto, una retta (generatrice del cono) o una coppia di rette generatrici del cono e simmetriche rispetto l’asse di quest’ultimo.

L’equazione generica di una conica nel piano cartesiano ha forma:

ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0

A seconda di particolari condizioni si possono ottenere circonferenza, ellisse, parabola e iperbole:

Circonferenza

Definizione matematica

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano distanti r (distanza fissa detta raggio) da un punto fisso C detto centro.

Sia C(xc;yc) il centro della circonferenza, P(x;y) un punto generico appartenente ad essa e “r” la misura del suo raggio; è possibile ricavare l’equazione cartesiana della circonferenza in pochi passaggi matematici applicando la definizione di circonferenza come luogo geometrico:

PC = r

Si applica la formula della distanza fra due punti:

√(x - xc)² + (y - yc)² = r

Elevando ambedue i termini al quadrato si ottiene:

(x - xc)² + (y - yc)² = r²

Sviluppando i quadrati di binomio:

x²- 2 xcx + xc² + y²- 2 ycy + yc² = r²

Cambiando l’ordine dei termini:

x² + y² - 2 xcx - 2 ycy + xc² + yc² - r² = 0

Per rendere più ordinata la scrittura di questa equazione, verranno operate le seguenti tre sostituzioni:

a = - 2 xc

b = - 2 yc

c = xc² + yc² - r²

Ottenendo:

x² + y² + ax + by + c = 0

Quest’ultima è l’equazione generica della circonferenza.

Moto circolare uniforme

In cinematica, è il moto di un punto materiale lungo una traiettoria circolare che si muove a velocità costante. La velocità del punto materiale si trova sulla direzione della tangente alla circonferenza, perciò la velocità è detta tangenziale. Pur essendo costante la velocità in modulo, non lo è in direzione, questo è dovuto all’accelerazione centripeta.

Il periodo del moto corrisponde al tempo impiegato dal punto materiale per percorrere l’intera circonferenza una sola volta, la frequenza invece corrisponde al numero di giri compiuti in un’unità di tempo, quindi periodo e frequenza sono reciproci.

Ecco di seguito una tabella riassuntiva con le formule principali del moto circolare:

• Periodo e T=1/f
• T=2πr/v
• Frequenza f=1/T
• Velocità media tangenziale v= 2πr/T e v= ωr
• Accelerazione centripeta a= v²/r e a= ω²r
• Velocità angolare = 2
• ω π

Moto circolare di una particella carica in un campo magnetico

Quando una particella carica entra in un campo magnetico con una velocità che ha direzione perpendicolare a quella del campo magnetico stesso, essa si muoverà di moto circolare.