Butterflies effect: teoria del caos

B H

UTTERFLIES AND URRICANES

A

PPARENTE CASUALITÀ NEL MUTAMENTO

Ginnasio Liceo Classico Paritario

“Madonna della Neve”

Anno Scolastico 2007 - 2008 Francesco Pennacchio

- 1 -

Ad E. Lorenz, recentemente scomparso,

che con la sua vita e il suo lavoro

ha dato il suo contributo all’Umanità.

Ad E. Cucchi, che mi ha dato la vita,

nell’attesa di poterla rincontrare.

- 2 -

Sommario

Prefazione 5

Introduzione 6

- Sensitive dependence on initial condition

I The Butterfly Effect. 7

Nozioni generali e sistemi dinamici 8

Attrattori, Butterfly Effect e attrattori strani 9

L’equazione logistica 12

Sistemi caotici o ordine imperscrutabile?

II - Fenomeni Atmosferici. 15

Il vento e l’uomo 16

L’ambiente: aria e atmosfera 18

kosmos

Vento e : c’è legame? 20

Sistemi caotici: uragani… 22

… e tornado 25

Previsioni atmosferiche e movimenti degli uragani 27

L’implicazione del caso nel movimento degli atomi

clinamen

III - Il epicureo: 29

Cenni di fisica epicurea 30

Il clinamen: lo spazio della casualità 32

clinamen

Il in Lucrezio 32

- Casualità o maglia rotta nella rete del destino?

IV Il varco in Montale: 34

Leggendo Crisalide 35

Condizione umana e ipotesi di un varco 39

Varco: casualità o destino 40

Echi: Crisalide - Max Gazzè 41

Il Battito d’ala della farfalla

V - Match Point. 42

Match Point e la rilevanza del caso 43

La trama del caso 44

Oltre il caso: scelta e destino 46

La risposta di Allen: il trionfo del caso 47

The Butterfly Effect in Ray Bradbury

VI - The Merest Touch of a Hand: 48

The Sound of Thunder 49

Reading the tale: The Butterfly Effect 50

A Crime Against Nature 53

Allegorical Meaning: the Choice 54 - 3 -

la possibilità e l’angoscia in Kierkegaard

VII - La Paralisi nel Volo: 56

L’importanza della scelta e filosofia del singolo 57

La scelta: Kant contro Kierkegaard 58

La paralisi del volo: l’angoscia 59

Angoscia e Paura: lettura di Kierkegaard di Jean-Paul Sartre 60

Conclusioni 63

Documenti allegati:

Crisalide – Eugenio Montale 64

Crisalide - Max Gazzè 67

The Sound of Thunder - Ray Bradbury 68

Butterflies and Hurricanes - Muse 73

Bibliografia 74

Mappa concettuale 75 - 4 -

Prefazione:

questo lavoro nasce dalla convergenza di più apporti multimediali che hanno fatto

nascere il desiderio di approfondire il tema dell’effetto farfalla.

Innanzitutto la visione di un film, “the butterfly effect” dove un ragazzo grazie ad un

processo strano della sua memoria, poteva rivivere i suoi ricordi passati e in tal modo,

modificandoli, provocava delle grandi differenze nel momento in cui tornava al suo

presente. Poi uno stage alla Bocconi effettuato nel giugno 2007, dove in una lezione di

matematica avevano mostrato come in excel dei minimi cambiamenti nei dati iniziali di

una determinata funzione generavano enormi variazioni nel grafico cui si riferivano.

Ancora, particolarmente interessante è stato osservare come dalle piccole cose si

possono generare enormi conseguenze.

Infine la dicitura stessa del butterfly effect, “è possibile che il battito d’ali di una farfalla

in Brasile sia in grado di provocare un uragano in Texas?” è risultata particolarmente

stimolante perché sembra colleghi due fenomeni che per la mente umana non hanno

nulla in comune.

Da qui l’idea di approfondire l’argomento, senza però definirlo solamente come astratto,

ma con la volontà di capire le possibili ripercussioni sul comportamento umano e sulla

sua esistenza. Francesco Pennacchio

- 5 -

Introduzione:

come visto nella premessa questo elaborato si propone un argomento abbastanza

inusuale: il butterfly effect, o per spiegare meglio, la dipendenza sensibile dalle

condizioni iniziali. Cioè? Come un qualcosa di insignificante posto all’inizio di un

processo possa influenzarlo fino a cambiare esponenzialmente le sue conseguenze nel

corso del tempo. Da qui l’analisi dei sistemi dinamici e come questo effetto farfalla

possa influenzare alcune funzioni matematiche come l’equazione logistica. Passando poi

al mondo fisico ho affrontato il sistema dei venti e degli uragani, il più soggetto a

cambiamenti di questo tipo, e di come gli uragani stessi si muovano entro i limiti di

figure non calcolabili chiamati attrattori, frutto anche essi del butterfly effect e della

teoria del caos in generale.

Tuttavia questo rimane molto al di fuori della percezione umana, che è invece

influenzata da dipendenze sensibili dalle condizioni iniziali molto più quotidiane: il caso e

la scelta.

Per quanto riguarda il caso la decisione è stata quella di analizzarlo nella teoria degli urti

e del epicureo. Poi la ricerca si è approfondita attraverso l’idea di varco in

clinamen

montale, analizzando se tale mezzo per penetrare il segreto del mondo risulta casuale o

frutto di un disegno che lo trascende. Infine in Match point, film di Woody Allen del

2005, sono state esplorate le possibilità alienanti che il dominio del caso può provocare

nell’uomo.

Infine per l’idea di scelta prima è stato fatto un parallelo tra Ray Bradbury e Coleridge,

dove viene analizzata la possibilità della scelta e le conseguenze che una scelta può

determinare ed infine, con il concetto di angoscia in Kierkegaard, la possibile paralisi

che ne consegue. - 6 -

Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di

centimetro, a un momento dato, potrebbe significare la differenza tra

due avvenimenti molto diversi, come l'uccisione di un uomo un anno dopo, a

causa di una valanga, o la sua salvezza.

[Alan Turing]

I

The Butterfly Effect

Ovvero “Sensitive Dependence On Initial Condition” - 7 -

Nozioni generali e sistemi dinamici

Il cosiddetto Butterfly Effect deve i suoi natali al meteorologo e scienziato Edward

Lorenz (23 maggio 1917 – 08 aprile 2008), che ipotizzatolo nel 1961, portò avanti le sue

ricerche strutturandole in una relazione presentata il 29 dicembre 1979 alla Conferenza annuale

American Association for the Advancement od Science Does a Flap of a Butterfly’s

, chiamata

dell’

Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? [È possibile che il battito d’ali di una farfalla in

Brasile sia in grado di provocare un uragano in Texas?]

. Da questa relazione il Butterfly Effect

sensitive dependence on initial condition

fu riconosciuto come , ovvero dipendenza sensibile

dalle condizioni iniziali.

Tuttavia Lorenz non fu il primo a riflettere su una simile dipendenza di un qualsiasi

evento dalle sue condizioni iniziali. Già Alan Turing aveva ipotizzato tale evento in ambiti micro-

atomici, con quello che è diventato l’altro aforisma del Butterfly Effect:

Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di centimetro, a un momento dato,

potrebbe significare la differenza tra due avvenimenti molto diversi, come l'uccisione di un uomo un

1

anno dopo, a causa di una valanga, o la sua salvezza. The Sound of Thunder,

Anche Ray Bradbury pochi anni dopo, nel 1952, pubblicava il racconto

nel quale l’effetto farfalla era calato all’interno di un ambiente fantascientifico di viaggi nel

tempo, dove la morte di una piccola farfalla causa enormi ripercussioni nello svolgersi degli

eventi, ma di questo racconto ci occuperemo meglio successivamente.

Restiamo comunque all’interno di quanto formulato da Edward Lorenz. Per comprendere

meglio tutto ciò dobbiamo fare però prima un passo indietro nella conoscenza matematica di

tale fenomeno.

Innanzitutto tale effetto è verificabile solo in un sistema dinamico, dove viene definito

tale il sistema matematico in cui vi è una legge che descrive la dipendenza dal trascorrere del

tempo della posizione di un punto nello spazio. Ciò che significa esattamente? Che ogni punto

dell’eventuale grafico del sistema è definito da variabili dipendenti dal trascorrere del tempo.

stato

Per essere più specifici un sistema dinamico ha uno determinato da una serie di numeri

stato dello spazio

reali, o più propriamente da una serie di punti che descrivono lo in quel

lineari

determinato istante di tempo. Ne consegue nei sistemi che un piccolo cambiamento nello

stato del sistema corrisponde a piccole variazioni nelle serie di numeri. Inoltre sempre nei

sistemi lineari è ricavabile la legge evolutiva, quella legge che, valida per lo stato corrente,

descrive con precisione l’evolversi del sistema nel tempo. La legge è determinista: per un

intervallo di tempo dato solo e uno solo stato futuro deriva dallo stato di partenza. Una volta

1 A T , Macchine calcolatrici e intelligenza, 1950

LAN URING - 8 -

risolta la legge evolutiva, iterando i risultati nel tempo per un numero sufficiente di volte si

ricava quella che viene definita la traiettoria o orbita del sistema.

non lineari,

Vi sono tuttavia dei sistemi dinamici detti che in quanto dinamici dipendono

dal trascorrere del tempo, ma che in quanto non lineari, non presentano alcuna legge evolutiva.

Non vi è alcuna regola che, iterata, possa descrivere il comportamento del sistema nel suo

immediato futuro, che risulta alquanto incerto. Esempi chiarificatrici di questi sistemi sono alla

portata di tutti: il gocciolio di un rubinetto, la crescita della popolazione delle specie animali, la

dinamica oscillatoria di un pendolo attaccato ad un sostegno elastico, l’evoluzione del campo

magnetico terrestre con le sue inversioni di polarità, sono tutti sistemi di cui la previsione degli

istanti futuri è praticamente impossibile. teoria del

Dallo studio di tali sistemi nasce così nella seconda metà del Novecento la

Caos, dove caos non è inteso però nell’accezione colloquiale del termine di completo disordine,

bensì caos deterministico, con le sue le leggi ben definite anche se ancora abbastanza oscure.

Tale teoria definisce dunque i limiti alla prevedibilità dell’azione di tali sistemi. Il sistema più

celebre con prevedibilità ridotta rimane quello che governa le condizioni meteorologiche, ma

anche di queste parleremo in seguito.

Attrattori, Butterfly Effect e attrattori strani

Tra le cose che però sono risultate chiare subito di questi sistemi non lineari è la forte

dipendenza dalle condizioni iniziali. Mentre infatti in un sistema lineare una piccola variazione

nello stato iniziale del sistema provoca una piccola variazione nello stato finale, in un sistema

non lineare piccole differenze nelle condizioni iniziali possono causare differenze non prevedibili

nel comportamento successivo. Sistemi di tale tipo possono presentare comportamento caotico

solo in alcuni tratti, o non presentarlo affatto, o da una situazione apparentemente lineare

avere una progressione esponenzialmente divergente. A partire da tali comportamenti è stato

inserito il concetto di attrattore, dove attrattore

è l’area dello spazio dove le perturbazioni

causate dalle condizioni convergono. Viene

anche definito come lo spazio tra due lobi tra

cui l’iterazione del sistema viene attratta. La

ricaduta del sistema fuori da questo sistema è

considerabile come la neve nel deserto. Qui

accanto è rappresentato l’attrattore che mostra

velocità e posizioni di un pendolo attaccato ad Fig 1.1: Attrattore relativo ad un pendolo con

sostegno elastico - 9 -

un sostegno elastico. Risulta evidente come le orbite descritte dal sistema sono del tutto

imprevedibili, ma è allo stesso modo evidente come vi sia nello spazio una zona dove le

variazioni convergono, dimostrando così di non essere completamente caotiche.

Tralasciando però i primi casi ci soffermiamo meglio sull’ultimo: i sistemi in cui da una

situazione apparentemente lineare si ha una progressione esponenzialmente divergente. È

proprio nell’analisi di questi ultimi che si parla di Butterfly Effect. Con questo nome si intende

infatti la crescita esponenziale delle perturbazioni a causa di una variazione nelle condizioni

iniziali, a causa della sensibilità del sistema agli agenti che ne influenzano il comportamento.

Nella fig. 1.2, lo stesso sistema dinamico non lineare, di cui una delle condizioni iniziali venne

-5

variata per meno di 10 , presenta un comportamento tipico da Butterfly Effect.

Come nell’esperienza di Lorenz

che affronteremo nel cap. II, un

piccolo errore nella misura delle

condizioni iniziali o una piccola

variazione delle stesse, cresce