Butterflies and Hurricanes

Mometto Nicola Butterflies and Hurricanes

Attrattori e attrattori strani

Abbiamo detto che i sistemi dinamici, anche quelli non lineari, per quanto potenzialmente caotici,

non sono casuali: il loro studio, ha infatti portato alla definizione di un elemento che ne

caratterizza l’andamento in modo più generale e meno vincolante di quello che può essere il

concetto di limite.

In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un

tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito attrattore, le traiettorie

che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se

leggermente perturbate. In parole povere, l’attrattore è l’area dello spazio del grafico del sistema

verso dove convergono le perturbazioni causate dalle condizioni. Esistono attrattori d’ogni

genere: possono essere punti, curve, varietà,

insiemi…

Qui accanto è rappresentato l’attrattore che

mostra velocità e posizioni di un pendolo

attaccato ad un sostegno elastico. Risulta

evidente come le orbite descritte dal sistema

sono del tutto imprevedibili, ma è allo stesso

modo evidente come vi sia nello spazio una

zona dove le variazioni convergono,

dimostrando così di non essere

completamente caotiche. Figura 2 Attrattore di un pendolo attaccato ad un sostegno

Quando si parla di Butterfly Effect, però, elastico

sembra difficile poter parlare di un elemento

che lasci prevedere l’andamento del sistema come l’attrattore. Tuttavia, spesso anche i sistemi

dinamici caotici possiedono particolari tipi di attrattori con caratteristiche peculiari, definiti

1

attrattori caotici, o attrattori strani . La differenza di tali attrattori sta nel fatto che, seppur

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osservabili empiricamente, sono totalmente incalcolabili. Inoltre mentre in un attrattore

tradizionale si descrive la probabilità di presenza del sistema in un punto in un determinato

istante di tempo, in un attrattore strano non si può assolutamente conoscere analiticamente dove

il sistema si sarà posizionato al dato istante di tempo, in quanto l’attrattore strano è di per sé

instabile: infatti coppie di orbite che si originano da punti arbitrariamente vicini uno all’altro

sull’attrattore, si separano esponenzialmente con il passare del tempo. Ciò significa che anche un

minuscolo errore nella determinazione delle condizioni iniziali del sistema viene ingigantito

esponenzialmente col passare del tempo; ovvero, gli attrattori strani sono soggetti ad una

dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali: Butterfly Effect.

1 Attrattore caotico e attrattore strano non coincidono come concetti: infatti con attrattore caotico si intende un

attrattore tipico di un sistema caotico, non-lineare, sottolineandone l’aspetto matematico. Invece con attrattore

strano si definisce un attrattore a dimensione non intera, ovvero, che non è né bidimensionale, né tridimensionale

etc. ma ha una dimensione frazionari, mettendo in luce una caratteristica geometrica. Quasi sempre gli attrattori

strani sono caotici, e quelli caotici sono strani, per questo i due concetti finiscono spesso per essere sovrapposti.

Tuttavia sono ipotizzabili anche attrattori strani non caotici, e viceversa.

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L’attrattore di Lorenz

Vediamo ora degli esempi concreti di come, nella matematica e nella fisica degli ultimi tempi, il

Butterfly Effect si sia rivelato un elemento fondamentale nello studio dei fenomeni legati ai

sistemi complessi.

Il primo esempio è, si può dire, il padre dell’Effetto Farfalla stesso, il fenomeno dal quale Lorenz

stesso ha preso ispirazione per la sua celebre conferenza del 1979: l’attrattore di Lorenz.

Esso è un attrattore strano, derivato dagli studi eseguiti da Lorenz stesso sul sistema idraulico di

cui abbiamo precedentemente parlato.

Tale studio, ha prodotto una serie di equazioni differenziali che, ha ammesso Lorenz stesso, non

sono sufficienti a descrivere con precisione il comportamento del fluido, ma ne rappresentano

solo un modello semplificato, ma soddisfacente.

Figura 3 L'attrattore di Lorenz, rappresentazione 3d

Studiando l’attrattore derivato dal sistema di equazioni da egli stesso formulato, Lorenz si

accorse che il comportamento di

esso presentava una dipendenza

sensibile dalle condizioni iniziali:

bastava infatti un minuscolo errore

di rilevamento degli stati di partenza

per rendere le equazioni totalmente

inaffidabili nella descrizione del

fenomeno, e provocare

nell’attrattore dei cambiamenti di

traiettoria assolutamente

imprevedibili.

Vediamo qui accanto, due traiettorie

tridimensionali dell’attrattore di

Lorenz, il cui stato iniziale differisce

-5

per un errore di ordine 10 , in un

intervallo di tempo di 30 secondi.

Figura 4 Le due diverse traiettorie dell'attrattore, con 0< t< 30s Dalla rappresentazione grafica,

risulta particolarmente evidente come le due traiettorie inizino il loro percorso in modo analogo,

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convergendo nelle figure circolari concentriche in basso, ma che poi, con il passare del tempo, la

differenza nelle condizioni iniziali le porti a prendere percorsi radicalmente diversi, come si può

notare osservando la parte superiore dell’attrattore

Quest’altro grafico mostra il valore medio

dell’attrattore sull’asse z confrontato con la

differenza delle due traiettorie precedenti : per

buona parte dell’intervallo, la differenza è

pressoché nulla; dall’istante 23s, si può notare come

la differenza tra la traiettoria gialla e la traiettoria

blu cominci ad aumentare e raggiunga

improvvisamente valori molto alti, anche di gran

lunga superiori al valore medio riportato nel grafico

superiore. Inoltre, l’andamento del grafico

rappresentante z(t) – z(t) presenta caratteristiche

caotiche: il valore della differenza dei due valori

infatti oscilla senza un’ampiezza e un periodo

costanti, rendendo impossibile ogni previsione a

riguardo.

Figura 5 Grafico rappresentante l'andamento della

differenza dei due attrattori

L’equazione logistica

Vediamo ora un altro esempio concreto di Caos Deterministico ed effetto farfalla negli studi

moderni, che si presta ancora meglio allo studio del Butterfly Effect, in quanto più semplice da

determinare numericamente: l’equazione logistica, o mappa logistica.

Partendo dalle osservazioni di Malthus (1766 – 1834) riguardanti la crescita della popolazione di

una specie, il belga Verhulst nel 1838 determino la legge di accrescimento di una qualsiasi

popolazione animale. Le ipotesi assunte furono che la popolazione tende ad aumentare secondo

una progressione geometrica, e che l’ambiente esterno eserciti un freno, detto fattore di

retroazione, proporzionale alla popolazione stessa. Tale legge fu verificata da Pearl e Reed, due

scienziati americani, che constatarono sperimentalmente che la popolazione statunitense era

cresciuta dal 1790 al 1910 secondo la legge di crescita logistica. Mentre però è risultata efficace

per la descrizione delle specie a bassa natalità e a vita considerevolmente lunga come quella

umana, nelle specie ad elevatissima natalità e vita breve, come quelle di molti insetti, la curva

logistica presenta un comportamento caotico di dipendenza dalle condizioni iniziali. La legge per

questo tipo di specie e la seguente:

P (t+1) = R . P(t) . ( 1 – P(t) )

Con 0<P(0)<1

dove con P si è indicato la numerosità della popolazione all’istante t e con R il fattore di crescita

logistica. Il fattore (1 – P(t) )rappresenta il fattore di retroazione e indica ciò che può frenare, o

meglio regolare, la crescita della popolazione degli insetti, come ad esempio la mancanza di cibo,

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condizioni climatiche poco favorevoli, l’azione di animali predatori. Il fattore, per popolazioni

ancora prossime allo 0 è vicino all’uno, ed è quindi ininfluente. Per popolazioni più grandi, esso

frena realisticamente la crescita della popolazione globale, in quanto una popolazione già grande

è in maggiore competizione per sopravvivere.

La funzione dimostra fin subito di avere una caratteristica: possiede attrattori.

Infatti, per R=2, essa presenta un comportamento che converge in fretta al valore 0.5, per

qualsiasi valore dato alla popolazione iniziale, come vediamo dal grafico.

t P(t) P(t) P(t)

t=0 0,2 0,3 0,9

t=1 0,32 0,42 0,18

t=2 0,4352 0,4872 0,2952

t=3 0,491602 0,499672 0,416114

t=4 0,499859 0,5 0,485926

t=5 0,5 0,5 0,499604

t=6 0,5 0,5 0,5

t=7 0,5 0,5 0,5

t=8 0,5 0,5 0,5

t=9 0,5 0,5 0,5

Se cambiamo il valore di R, la curva mantiene il medesimo comportamento: cambia solo il valore

dell’attrattore. Infatti, per R= 2.5 si ottiene come attrattore x=3/5

Molto più interessante è però l’andamento della curva se si prova con valori di R superiori al 3.2.

Per R=3.2, gli attrattori, diventano due!

t P(t) P(t) P(t)

t=0 0,2 0,2 0,6

t=1 0,512 0,512 0,768

t=2 0,799539 0,799539 0,570163

t=3 0,512884 0,512884 0,784247

t=4 0,799469 0,799469 0,541452

t=5 0,513019 0,513019 0,794502

t=6 0,799458 0,799458 0,52246

t=7 0,51304 0,51304 0,798386

t=8 0,799456 0,799456 0,515091

t=9 0,513044 0,513044 0,799271

t=10 0,799456 0,799456 0,513398

t=11 0,513044 0,513044 0,799426

t=12 0,799455 0,799455 0,513102

t=13 0,513044 0,513044 0,799451 13

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I risultati ottenuti aumentando ulteriormente i valori di R sono sorprendenti: gli attrattori si

sdoppiano continuamente e sempre più rapidamente, finchè, giunti al R=4, gli attrattori

sfuggono al controllo, diventando imprevedibili.

t P(t) P(t) P(t)

t=0 0,2 0,4 0,7

t=1 0,64 0,96 0,84

t=2 0,9216 0,1536 0,5376

t=3 0,289014 0,520028 0,994345

t=4 0,821939 0,998395 0,022492

t=5 0,585421 0,006408 0,087945

t=6 0,970813 0,025467 0,320844

t=7 0,113339 0,099273 0,871612

t=8 0,401974 0,35767 0,447617

t=9 0,961563 0,918969 0,989024

t=10 0,147837 0,29786 0,043422

t=11 0,503924 0,836557 0,166146

t=12 0,999938 0,546917 0,554165

t=13 0,000246 0,991195 0,988265

Figura 6 La curva logistica: valori degli attrattori dell'equazione logistica al variare del parametro R

Queste tabelle evidenziano una cosa importantissima: per R=4, la funzione è soggetta ad una

sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. Cambiando, anche di pochissimo, il valore iniziale,

si ottiene una differenza tra i valori ottenuti che cresce esponenzialmente.

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t P(t) P(t)

t=0 0,2 0,2001

t=1 0,64 0,64024

t=2 0,9216 0,921331

t=3 0,289014 0,289921

t=4 0,821939 0,823467

t=5 0,585421 0,581477

t=6 0,970813 0,973446

t=7 0,113339 0,103396

t=8 0,401974 0,37082

t=9 0,961563 0,93325

t=10 0,147837 0,249178

t=11 0,503924 0,748353

t=12 0,999938 0,753283

t=13 0,000246 0,743391 Figura 7: Differenze tra i valori degli attrattori per Po = 0.2 e Po= 0.2001

Ecco quindi un altro esempio di Effetto Farfalla, e di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

Riassumendo, abbiamo notato come spesso, anche nei modelli matematici più semplici si annidi

il caos: in particolare, ci siamo accorti di come, nelle equazioni soggette all’Effetto Farfalla, non è

possibile avere risultati credibili a lungo termine, in quanto lo scorrere del tempo farà pesare in

modo esponenziale l’inevitabile errore iniziale. 15

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II

L’Effetto Farfalla nella società

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Economia ed effetto farfalla: la crisi del ‘29

Lo studio della teoria del caos (da cui deriva il nostro Butterfly Effect) e dei modelli di sistemi

dinamici non lineari e caotici ha trovato numerosi sbocchi e applicazioni di vario genere: la

meteorologia, per esempio, per quanto riguarda lo studio e il tentativo di previsione dei fenomeni

meteorologici; oppure la biochimica, nello studio degli ecosistemi e i meccanismi dell’evoluzione;

la sociologia, nello studio delle dinamiche di crescita-decrescita di popolazioni. Anche l’economia

ha visto applicate le concezioni e i metodi emersi dalla formulazione e teorizzazione della teoria

del caos: infatti, gli studi statistici basati su di essa sono stati fondamentali per comprendere