Tra gioco e realtà: teoria dei giochi tesina

Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

INDICE

1. Introduzione

2. Cenni storici

3. Elementi di teoria dei giochi

3.1 Il gioco

3.2 Rappresentazione dei giochi

3.3 Classificazione giochi

3.4 Teoremi

3.5 Applicazione

3.6 Esempi di gioco

4. Storia

5. Filosofia

6. Arte - 3 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

1. INTRODUZIONE

L'idea di trattare la Teoria dei Giochi è nata in seguito ad una lezione, a cui ho assistito

presso l'Università di Bergamo, tenuta dal professor Gambarelli all'interno del progetto

ponte tra l'Università e le scuole superiori della provincia.

Prima di quella lezione non avevo mai sentito parlare di questa materia, ma spinto dal

mio interesse per la statistica, per i giochi e dalla curiosità ho deciso di approfondire

questo argomento; inizialmente, ancor prima di presiedere alla lezione, per capire di

cosa trattasse e successivamente mi sono documentato in maniera approfondita per

portare la teoria dei giochi come argomento centrale della tesina.

Le maggiori difficoltà incontrate sono state quelle di trovare collegamenti consoni per

le diverse materie.

Questo problema non si è verificato per storia, dove la difficoltà è stata di scegliere

quale argomento, tra i diversi possibili, poteva essere il più idoneo.

Data l'applicazione della teoria dei giochi alle strategie militari,si poteva facilmente

legare sia alla Prima che alla Seconda Guerra Mondiale; ma alla fine la scelta è

ricaduta sulla Guerra Fredda, non solo per il medesimo periodo in cui Guerra Fredda e

Teoria dei Giochi si sono sviluppate ma, più in generale, perché molti concetti della

teoria dei giochi facilmente collegabili alla Guerra Fredda.

Meno facile è stato il percorso per Filosofia ed Arte: dove le scelte sono ricadute

Il Carnevale di Arlecchino.

rispettivamente su Wittgenstein e sull' opera di Joan Mirò

La scelta di Wittgenstein è stata fatta basandomi sulle considerazioni fatte dal filosofo

austriaco sul linguaggio, tra cui quello scientifico, e sulla logica: logica e linguaggio

scientifico che sono i fondamenti anche della materia di cui mi occuperò.

Il Carnevale di Arlecchino Ceci n'est pas une pipe

In Arte, oltre al ho analizzato anche

di Renè Magritte, per ricollegarmi al pensiero di Wittgenstein sulla rappresentazione

del mondo.

Il Carnevale di Arlecchino è stato scelto sulla base di due affermazioni fatte da due tra

i più grandi teorici della teoria dei giochi: Robert Aumann e John Nash.

- 4 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

IL CARNEVALE

DI ARLECCHINO RAPPRESENTAZIONE

DEL MONDO

STORIA WITTGENSTEIN

DELL'ARTE

TEORIA DEI GIOCHI

CENNI STORIA

STORICI

ELEMENTI

DI UN GIOCO EQUILIBRIO

DI NASH

TIPI DI

GIOCO GUERRA

TEOREMI DILEMMA DEL FREDDA

PRIGIONIERO

ESEMPI

DI GIOCO GIOCO

DEL POLLO

- 5 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

Tutti noi ogni giorno siamo di fronte a dover compiere continue scelte: materie come la

filosofia, l'economia, la sociologia, da sempre si sono occupate di studiare queste

situazioni ma solo da un punto di vista empirico e mai da un punto di vista

matematico.

Questo desiderio ha spinto matematici, fisici, economisti a creare modelli applicabili in

più situazioni.

Vede così la luce la Teoria dei Giochi; che ha come scopo la modellizzazione

matematica di questo processo decisionale.

2. CENNI STORICI

- 6 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

Il termine "teoria dei giochi" deriva dal fatto che le prime osservazioni e i primi studi

furono fatti in relazione a veri giochi, come gli scacchi, dama, go; data la profonda

somiglianza dei problemi decisionali con i giochi di società.

Il primo approccio ad una situazione di conflitto risale al 1913 e fu enunciato da

Zermelo in un articolo; partendo da osservazioni, proprio, sul gioco degli scacchi, si ha,

così, il primo teorema formale della Teoria dei giochi

Questo teorema afferma che nel gioco il scacchi è strettamente determinato secondo

un procedimento logico, ossia vale una di queste tre alternative:

- Vince il bianco;

- Vince il nero;

- Patta.

L’ovvietà della conclusione non pregiudica l’importanza di questo passo, in quanto è la

dimostrazione della possibilità di trattare scientificamente situazioni di questo genere.

Si può, però, parlare di teoria dei giochi solamente a partire dal 1921 quando Emile

Borel utilizzò per la prima volta questa espressione. Borel pose il problema di

determinare in quali casi esista una strategia che si possa considerare ottimale.

Sulla base delle considerazioni di Borel e di Zermelo venne enunciato il teorema del

MiniMax, che mostra come tutti i giochi hanno una soluzione, di John von Neumann nel

1928. Il teorema fu rivisto a più riprese dallo stesso matematico statunitense ed il

Theory of Games and

risultato finale del 1944 culminò con la pubblicazione del testo

Economic Behavior (Teoria dei giochi e comportamento economico ), scritto da Von

Neumann con l’economista Oskar Morgenstern.

Con la pubblicazione di questo libro, la teoria dei giochi inizia ad essere una disciplina

scientifica a sé stante. Oltre ad esporre il definitivo teorema minimax quest'opera ha

rappresentato il primo tentativo di applicare la teoria dei giochi ad altri ambiti, in

questo particolare caso all'economia.

Altro evento cruciale nella storia della teoria dei giochi è la pubblicazione del 1951 di

John Nash dei i propri risultati a proposito di un equilibrio nei giochi non

cooperativi,;dimostrò,infatti, che ogni gioco non cooperativo a due o più giocatori, anche non a somma

poi ribattezzato "equilibrio di Nash" .

zero,ammette un equilibrio

Questo lavoro nel 1994 gli frutterà il Nobel per l’economia insieme a John Harsanyi e

Reinhard Selten che negli anni successivi perfezionarono il suo lavoro.

Il Nobel per l' economia, dato a Nash nel 1994 per gli sviluppi apportati alla teoria dei

giochi, non resta l'unico dato ad un teorico dei giochi

3. ELEMENTI DI TEORIA DEI GIOCHI

3.1 Elementi dei giochi

La teoria dei giochi è una branca della matematica applicata,che tenta di

analizzare da un punto di vista matematico il comportamento in situazioni

strategiche, nelle quali il successo di un individuo nel fare delle scelte

dipende dalle scelte degli altri.

La teoria dei giochi potrebbe essere descritta in maniera più appropriata come "teoria

delle decisioni" poiché si occupa principalmente del comportamento di chi prende le

decisioni e di come queste si influenzano a vicenda è quindi la scienza dell'interazione

- 7 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

strategica dove identità( i giocatori) interagiscono le une con le alte mentre

perseguono obiettivi diversi.

Il gioco

Un gioco, per poter essere analizzato secondo gli schemi della teoria dei giochi deve

essere caratterizzato da tre elementi principali:

-Giocatori:

sono le identità, sopra citate che interagiscono le une con le altre.

principio di razionalità,

Ogni giocatore del gioco è caratterizzato dal cioè che il

soggetto coinvolto si comporti in modo tale da scegliere la strategia utile per

massimizzare il proprio guadagno ed inoltre conosca la razionalità degli altri giocatori

aspettandosi da questi un comportamento altrettanto razionale.

In presenza di giocatori irrazionali non sarebbe possibile giungere a soluzioni

inquadrabili in un modello matematico.

- Strategia:

consiste nel piano completo che un giocatore ha per gestire la partita. Esso specifica

un'azione ammissibile del giocatore per ciascuna circostanza in cui il giocatore può

essere chiamato ad agire. La strategia può essere pura o mista,si parla di strategia

mista quando il gioco razionale non è descrivibile attraverso una singola strategia pura

e quindi non deterministico.

Una strategia può poi essere dominante o dominata: si parla di strategia dominante

quando quella giocata garantisce il miglior guadagno indipendentemente dalla giocata

degli altri giocatori; una strategia sarà dominata invece se garantisce minori guadagni

indipendentemente dalle giocate degli altri giocatori.

- Pay-off:

è la fase conclusiva dei giochi, ovvero il guadagno finale ottenuto da ogni giocatore in

relazione alle proprie giocate.

3.2 RAPPRESENTAZIONE DEI GIOCHI

Per lo studio dei modelli di un gioco è necessario rappresentare tutte le possibili azioni

dei giocatori con i relativi pay-off, in modo da rendere visibile l’evoluzione della partita.

Le rappresentazioni proposte dalla Teoria sono due: la rappresentazione in forma

normale e quella in forma estesa.

-Forma normale: La rappresentazione dei giochi in forma normale è

caratterizzata,come viene mostrato nell'esempio sottostante, dall'utilizzo di una

matrice a doppia entrata dove le righe e le colonne rappresentano le mosse che i

rispettivi giocatori di riga e colonna possono compiere.

- 8 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

In ogni cella sono rappresentate le vincite, pay-off che i due giocatori (di riga e di

colonna) ottengono attuando le mosse raffigurate nelle corrispondenti righe e colonne;

B B

I \ II 1 2

A 0 , 0 0 , 1

1

A 1 , 0 -1 , -1

2

-Forma estesa: Rappresentazione dei giochi a forma estesa consiste in una

descrizione formale completa: il gioco viene rappresentato come un albero, nel

quale ogni nodo rappresenta ogni possibile stato di avanzamento del gioco, ci

sono poi i rami che rappresentano quella che è stata la decisione presa dal

giocatore in ogni nodo

La rappresentazione in forma estesa rispetto alla forma normale permette di

studiare quei giochi in cui il giocatore fa più di una mossa e quindi giochi a

strategia mista; I

S D

II II

S D S D

I I I

I

S D S D S D S D

II II II

II II II II II

S D S D S D S D S D S D S D S D

(3,-1) (2,2) (3,4) (1,3) (0,-1) (-2,0) (5,-2) (3,8) (4,2) (1,2) (0,4) (1,-2) (0,1) (5,5) (2,-8) (7,-3)

3.3 Classificazione giochi

Una prima distinzione importante tra i vari giochi deve essere fatta a seconda del tipo

di interazione che possono avere i giocatori, abbiamo così una prima suddivisione tra

giochi cooperativi e non cooperativi.

-Giochi Cooperativi: quando i giocatori, che perseguono una strategia comune,

possono accordarsi preventivamente circa la strategia da adottare al fine di ottenere

entrambi il massimo guadagno, secondo accordi vincolanti. La teoria cooperativa

ignora le procedure del gioco per concentrarsi invece sulle possibilità di accordo.

- 9 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

Esempi si possono trovare nei campi che prevedono l'interazione umana(società,

economia, strategie militari).

- Giochi non cooperativi: i partecipanti in questo caso devono scegliere

autonomamente la propria strategia. In questo caso l'enfasi è, differentemente da ciò

che avviene nei giochi cooperativi, sull'individuo e sulle strategie che può usare. Un

esempio di giochi non cooperativi sono la dama o gli scacchi.

Altra distinzione importante è quella derivante dalla quantità e dal tipo di informazioni

che ogni giocatore possiede al momento della giocata si hanno così giochi ad

informazione completa ed ad informazione incompleta

- Giochi ad informazione completa: se in ogni momento si conosce con certezza la

storia delle giocate precedenti, potendo così studiare le possibili azioni proprie e

reazioni avversarie a partire da un punto certo.

- Giochi ad informazione incompleta: se contrariamente le giocate dell'avversario

sono tenute segrete, come a briscola o a scopa ma in generale a qualsiasi gioco di

carte, si parla di giochi ad informazione imperfetta o incompleta, sviluppata nel 1967

dal premio Nobel per l'economia John Harsanyi.

Queste prime distinzioni di gioco sono dovute ad alcune limitazioni imposte ai

giocatori, ora andiamo ad analizzare quei tipi di giochi che si differenziano per delle

proprie regole.

- Giochi a somma zero: sono quei giochi strettamente competitivi di cui si occupò

esclusivamente la teoria dei giochi nei primi decenni della sua nascita.

I giochi a somma zero sono caratterizzati da due giocatori e ciò che è guadagnato da

un giocatore è perso dall'altro, la somma delle vincite è quindi sempre uguale a zero.

In questi tipi di gioco non ha senso la collaborazione: se un giocatore vuole un

determinato risultato, allora la preferenza per l'altro giocatore sarà l'opposta; é questo

il caso di un gioco di società a due, come gli scacchi o il poker, ma inappropriato per