La teoria dei giochi

Liceo Scientifico “Filippo Lussana”, Bergamo

Esame di Stato A.S. 2006/2007, classe 5^ sez. H

La teoria dei giochi

Alternativa razionale alle tendenze irrazionaliste del secondo dopoguerra

Fabio Zoboli

Indice

Introduzione.................................................................................... 3

La teoria dei giochi................................................................. 5

La guerra fredda.................................................................................13

Speech pronounced by Kennedy on 22nd October 1962.......................... 23

Italo Calvino..................................................................................28

Arte informale................................................................................. 33

Paul Feyerabend..............................................................................39

Bibliografia.....................................................................................45

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Introduzione

Non è stato facile scegliere gli argomenti della mia breve trattazione, dato che era necessario collegare in modo funzionale interessi, discretamente vasti, e discipline di studio diverse, ciascuna con la propria specificità.

L’empasse è stata superata grazie alle letture di quest’ultimo anno, in cui ho avuto modo di conoscere la teoria dei giochi. Il modello matematico in questione ben si collegava ad applicazioni pratiche e a situazioni storiche, tra cui, in particolare, la guerra fredda.

L’abbozzo del percorso interdisciplinare ha così iniziato a prendere corpo e subito si è rivelato promettente. Essendo i miei interessi legati da sempre sia alla matematica che alla storia, l’approfondimento di tali discipline non è stato per me particolarmente gravoso; inoltre gli argomenti in questione sembravano offrire ampio spazio per ulteriori collegamenti.

Per quanto riguardava la lingua inglese, l’ipotesi più suggestiva mi sembrò quella di rielaborare ed inserire il discorso che il presidente John Fitzgerald Kennedy aveva pronunciato alla nazione americana il 22 ottobre 1962, in seguito alla crisi dei missili di Cuba. Ritenni, infatti, che non ci fosse modo migliore per mostrare un esempio della teoria dei giochi applicata ad un caso diplomatico internazionale, per di più attraverso le parole originali di uno dei due protagonisti.

Per l’inserimento delle altre discipline scartai l’ipotesi di una connessione che fosse legata solo ad affinità contenutistiche o alla possibilità di applicazione della teoria dei giochi, inopportuna in contesti storici in cui non era ancora stata formulata. Pertanto adottai il criterio di analizzare il panorama culturale che si era aperto dopo le prime pubblicazioni di tali teorie e dunque quello che aveva avuto inizio a partire dal secondo dopoguerra, il periodo in cui ebbe origine la stessa guerra fredda.

A questo punto altri argomenti mi parvero chiaramente correlati.

Per quanto concerneva la letteratura italiana, decisi di approfondire gli anni della transizione di Italo Calvino dal periodo fantastico a quello combinatorio, attraverso l’analisi di opere che mostravano un atteggiamento calcolistico nei confronti di situazioni pratiche, come Ti con zero, o rivelavano come la ragione potesse dare origine ai criteri per la costruzione di un romanzo, attraverso la “disposizione” dei tarocchi ne Il castello dei destini incrociati.

Anche l’arte non si esentò dal fornire una risposta agli orrori della Seconda guerra mondiale: il movimento che ne scaturì era tanto variegato quanto propenso a rappresentare il clima di profonda sfiducia nella ragione e il tentativo di recuperare la componente istintiva ed inconscia. Tale elogio all’irrazionalismo, proprio dell’Informale, sembrava essere in contrapposizione alla teoria dei giochi e proprio per questo degno di essere indagato, perché i collegamenti non scaturiscono solo da affinità ma anche da opposizioni.

Il dibattito tra la razionalità e la sua negazione mi parve meritevole di un maggiore approfondimento e fu l’epistemologo austriaco Paul Feyerabend ad offrirmi spunti di riflessione. Il filosofo che contestava l’applicazione di attività scientifiche alle situazioni storiche (e dunque concrete), in realtà aveva solo l’intento di demistificare la scienza del suo tempo, ormai idolatrata al pari di un dogma. Tacciato da più parti di irrazionalismo poiché fautore di un anarchismo metodologico, la sua lotta contro il metodo volle in realtà essere una lotta per la libertà del metodo.

La varietà dei temi trattati potrebbe risultare arbitraria, ma ritengo che il percorso risulti sempre coerente, qualora si abbracci l’idea che una teoria matematica si possa applicare a numerosi campi dello scibile umano e che possa avere ripercussioni sulla realtà. Constatato ciò, tutto ne è solo una conseguenza. 4

La teoria dei giochi

La vita costringe a fare continue scelte a ogni livello (personale, familiare, sociale) e in ogni campo (morale, economico, politico), in condizioni di conoscenza imperfetta della situazione, del comportamento altrui, e degli effetti delle varie scelte. La teoria dei giochi ha come scopo la modellizzazione matematica di questo processo decisionale, nella maniera tipica della scienza: astraendo, cioè, dalle situazioni reali alcuni elementi che si prestino a un trattamento formalizzato.

Cenni storici

Il primo lavoro matematico sulla teoria dei giochi fu l’articolo presentato al Congresso internazionale dei matematici del 1912 da Ernst Bermelo. In esso egli provò che il gioco degli scacchi (e, più in generale, ogni gioco che non può proseguire all’infinito) è determinato, secondo la seguente modalità: o esiste una strategia che permette al bianco di vincere sempre, o esiste una strategia che permette al nero di vincere sempre, o esiste una strategia che permette ad entrambi i giocatori di pareggiare sempre. Il risultato è però non costruttivo, nel senso che non dice quale dei tre casi succeda effettivamente: per questo motivo, non ha applicazioni pratiche. I fondamenti della teoria dei giochi vennero posti nel 1921 da Emile Borel, che fu anche ministro della Marina francese. Egli usò il poker come esempio, e affrontò, tra l’altro, il difficile problema di un trattamento del bluff. Inoltre, Borel pose il problema di determinare in quali casi esista una strategia che si possa considerare ottimale, e come trovarla.

John von Neumann dimostrò, nel 1928, il primo teorema della nuova teoria. Esso stabilisce che in certi giochi a somma zero, in cui cioè la vincita di un giocatore è uguale e contraria alla perdita dell’altro giocatore, e a informazione perfetta, in cui cioè ogni giocatore conosce esattamente sia le possibili mosse dell’altro giocatore che le loro conseguenze, esiste una strategia che permette ad entrambi i giocatori di minimizzare le loro massime perdite: da qui il nome di teorema minimax.

Il minimax venne migliorato ed esteso a più riprese da von Neumann, per esempio a giochi ad informazione imperfetta, o con più di due giocatori: quest’ultimo caso è reso complicato dalla possibilità di cooperazione fra alcuni giocatori, nella forma di alleanze o coalizioni. Il lavoro di von Neumann culminò, nel 1944, nel classico testo “Theory of Games and 5

Economic Behavior” (Teoria dei giochi e comportamento economico), scritto con l’economista Oscar Morgenstern.

Il più famoso studioso ad essersi occupato successivamente della teoria dei giochi, in particolare per quel che concerne i “giochi non cooperativi”, fu il matematico John Forbes Nash jr., al quale è dedicato il film di Ron Howard “A Beautiful Mind”. Nash, nel 1950, dimostrò che ogni gioco non cooperativo a due o più giocatori, anche non a somma zero, ammette un equilibrio (chiamato equilibrio di Nash), e per questo lavoro ottenne il premio Nobel per l’economia nel 1994.

Nella seconda metà del XX secolo la teoria dei giochi assunse un ruolo centrale nell’analisi di situazioni di conflitto, e viene ancora oggi regolarmente applicata dai consiglieri militari, economici e politici dei governanti di vari paesi industrializzati, primi fra tutti gli Stati Uniti.

Descrizione

La teoria dei giochi nasce come caso particolare della teoria della formazione delle decisioni (decision making) che si sviluppò negli anni Cinquanta con lo scopo di capire come si compiano le scelte e si prendano le decisioni; si parte dal presupposto che ogni soggetto (un attore unitario e razionale) tende a massimizzare i profitti, minimizzando le perdite (cost-benefits analysis).

La teoria dei giochi si è focalizzata sullo studio dei giochi strategici, cioè quando esiste un contrasto fra due o più volontà: l’elemento fondamentale diventa così la dialettica delle volontà, la quale impone a ciascuno dei partecipanti di chiedersi quali siano le intenzioni degli altri. Il ricorso a tali modelli presuppone un carenza di comunicazione, vale a dire la situazione in cui non si ha alcun modo per conoscere, con sufficiente certezza, le reali intenzioni dell’avversario.

È utile dunque per la mia ricostruzione entrare nel dettaglio dei giochi strategici.

Innanzitutto è necessario individuare gli attori (2 o più giocatori) e indicare le opzioni (anche in questo caso 2 o più); per ogni conseguenza (outcome) posso prevedere una probabilità di accadimento e posso dunque associare un valore. Il valore ponderato moltiplicato per la probabilità di accadimento di ognuna delle conseguenze collegate ad una determinata opzione mi dà la speranza matematica di quella conseguenza. Dire che l’attore è razionale significa supporre che il giocatore calcoli per ogni outcome la speranza matematica e scelga l’opzione con il valore più elevato (l’ottimo parietano). I più semplici giochi strategici sono quelli 2x2 (2 giocatori con sole 2 opzioni). Si possono dividere poi in

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giochi a somma zero (in cui la posta in palio non è divisibile e c’è un vincitore e uno sconfitto) e con somma diversa da zero (solitamente più utili per rappresentare conflitti internazionali). La distinzione dei giochi strategici è infine in base a:

• Lunghezza (numero di mosse);
• Soluzione (stato più probabile alla fine del gioco);
• Sequenza (decisione di operare mosse contemporanee o successive);
• Durata (scelta di imporre un numero di mosse prestabilite oppure variabile).

Non bisogna dimenticarsi che anche il fattore tempo è importante: i giochi hanno un inizio, una durata e una fine.

Si può descrivere, almeno in linea di principio, ogni gioco in forma estesa (strategia in forma estesa); in questo caso la rappresentazione viene affidata ad un grafo ad albero, schematizzando ogni possibile combinazione di giocate dei contendenti sino agli stati finali, dove vengono ripartite le vincite. Un'altra possibile rappresentazione è quella matriciale (a matrice).

Applicazioni dei giochi a somma zero

Il gioco 2x2 si presta molto bene ad un particolare caso dei conflitti internazionali, ossia la Guerra Fredda. Durante la corsa agli armamenti quello che interessava agli americani era sapere se il nemico avrebbe attaccato o meno. Quindi si presentavano soltanto due opzioni: cooperare, cioè rinunciare ad armarsi, o defezionare, ossia agire in modo contrario.

Inoltre, nel gioco, ha importanza l’ordine dei valori attribuiti ai vari stadi: la scelta dell’ordine dipende dalla funzione di utilità (cioè dalle preferenze) del giocatore, la quale è determinata dalla sua natura (ideologie, cultura, passato storico, ecc.); a sua volta, tale scelta indicherà lo stato preferito da quel tipo di giocatore (i giocatori si differenziano cioè in base alla loro funzione di utilità).

Gli archetipi di Rapoport

Sono i quattro tipi di gioco 2x2 che, tra quelli possibili, rappresentano meglio la situazione della politica internazionale. Anatol Rapoport pubblicò a partire dal 1966 i risultati dei suoi studi (di quell’anno è “Two-person Game Theory” e del 1970 “N-Person Game Theory”), raggruppando così modelli già precedentemente affermatisi.

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1) Il dilemma del prigioniero (prisoner’s dilemma)

Il dilemma del prigioniero è sicuramente uno dei giochi

... confessa non confessa strategici più studiati, più facilmente applicabili alle relazioni internazionali e più semplice da comprendere.

confessa (6,6) (0,7)

non confessa (7,0) (1,1)

Si tratta di un gioco a informazione completa proposto negli anni Cinquanta da Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre a essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il “dilemma” è anche piuttosto noto al pubblico non tecnico come esempio di paradosso. Il dilemma, anche se usa l'esempio dei due prigionieri per spiegare il fenomeno, in realtà descrive la corsa agli armamenti negli anni '50 da parte di USA e URSS (i due prigionieri) durante la Guerra Fredda.

Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li chiudono in due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Viene inoltre spiegato che:

• Se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere.
• Se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 6 anni.
• Se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno.

Un’utile premessa: si deve dare per scontato che tutti i personaggi abbiano una capacità logica pressoché perfetta; questo non vuol dire che debbano essere buoni o altruisti, ma solo che tutti capiscano il gioco allo stesso modo, e non facciano alcun errore; dunque ne consegue che tutti prenderanno la stessa decisione. La scelta adottata da entrambi sarà dunque di confessare: il motivo è che per ognuno dei due lo scopo è minimizzare la propria condanna; e ogni prigioniero, confessando, rischia da 0 a 6 anni, mentre non confessando rischia da 1 a 7 anni.

Il paradosso che consegue da questa conclusione sta nel fatto che anche l'altro prigioniero, trovandosi nella stessa situazione, farà il medesimo ragionamento; con un risultato complessivo che non è ottimale per nessuno dei due (6 anni di carcere a testa).

Se pensiamo agli Stati Uniti e all'URSS come ai due prigionieri e alla confessione come l'armamento con l'atomica (ovviamente per contro la non confessione come il non armamento), il dilemma descrive come per le due nazioni fosse inevitabile al tempo della

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Guerra Fredda la corsa agli armamenti, benché questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per l'intero mondo).

Descrivendo la situazione da un

... Coopera Defeziona punto di vista teorico (dove cooperare significa non danneggiare l’altro), lo stato che permette di ottenere il punteggio maggiore (l’ottimo parietano) è quello in cui entrambi gli attori cooperano; il caso peggiore si ha quando uno coopera e l’altro defeziona (ciò è accaduto prima della II guerra mondiale, quando Hitler riarmava la Germania, mentre gli Alleati scelsero una politica di appeasement). Seguendo il principio di analisi razionale, conviene scegliere comunque di defezionare: prendo 2 se l’altro defeziona e 4 se l’altro coopera (se scelgo di cooperare avrò 3 nella migliore delle ipotesi e 1 nella peggiore): si ritorna così alla spiegazione della scelta “obbligata” della corsa agli armamenti durante la guerra fredda.

Coopera (3,3) (1,4)

Defeziona (4,1) (2,2)

È bene precisare che il punto cruciale di questo gioco è la mancanza di comunicazione.

2) Il gioco del pollo (chicken game)

Il gioco del pollo è una configurazione della teoria dei giochi a somma non nulla. L'informazione è completa e vi partecipano due giocatori che agiscono contemporaneamente.

... Sterza Continua Diritto

Sterza (pareggio, pareggio) (pollo, vince)

Continua Diritto (vince, pollo) (muore, muore)

L'esemplificazione classica è basata sulla sfida del film “Gioventù Bruciata” in cui due ragazzi fanno una corsa automobilistica lanciandosi simultaneamente verso un dirupo. Se entrambi sterzano prima di arrivarvi, faranno una magra figura con i pari; se uno sterza e l'altro continua per un tratto di strada maggiore, il primo farà la figura del pollo, mentre il secondo guadagnerà il rispetto dei pari. Se entrambi continuano sulla strada, moriranno.