Teoria dei Giochi:individualismo e cooperazione

A partire dalla Rivoluzione Scientifica di Galileo, l’umanità ha sempre cercato di razionalizzare

ed applicare un metodo scientifico ad ogni aspetto del mondo e dell’esistenza. A partire dalla fisica

degli aspetti più comuni, fino ai fenomeni macroscopici dell’universo e microscopici delle

particelle, dalla sociologia alla psicanalisi sono state espresse leggi matematiche e relazioni

scientifiche che legano le varie esperienze. Coerentemente con questa incessante ricerca, verso la

metà del XX secolo si è sentita la necessità di inserire in una schematizzazione scientifica anche i

fenomeni di conflitto, dove per conflitto si può intendere qualsiasi situazione in cui un numero

imprecisato di individui razionali si trovano in condizioni di perdere o guadagnare qualcosa in

relazione alle proprie scelte operative e a quelle degli altri individui. Esempi di competizioni

spaziano dai semplici giochi di società (scacchi, dama, …) alle complesse strategie economiche e

militari. La teoria che cerca di fornire dei metodi per la schematizzazione, la comprensione e la

risoluzione di questi conflitti è la “teoria dei giochi”.

La “teoria dei giochi” non ha una data di nascita ufficiale, in quanto

fino a tempi molto recenti è stata considerata una branca relativamente

poco importante della matematica applicata. Il primo approccio

assiomatico ad una situazione di conflitto risale al 1913, anno in cui il

Teorema di Ernst Zermelo (in seguito assunto come postulato) elenca

secondo un procedimento prettamente logico-matematico i possibili

esiti di una partita a scacchi: vittoria, sconfitta o stallo. L’ovvietà della

conclusione non pregiudica l’importanza di questo passo, in quanto è la

dimostrazione della possibilità di trattare scientificamente situazioni di

questo genere. Un passo avanti si ha col Teorema del MiniMax di John

von Neumann nel 1928, successivamente ripreso nella prima opera che J.von Neumann

presenta una trattazione completa di giochi, loro soluzioni ed

applicazioni: “The Theory of Games and Economic Behavior” di J. von

Neumann e Oskar Morgenstern scritta nel 1944. Nel 1951 John Nash,

membro della RAND Corporation, pubblica i propri risultati circa un

equilibrio nei giochi non cooperativi, poi ribattezzato Equilibrio di

Nash, che nel 1994 gli frutterà il Nobel per l’economia insieme a John

Harsanyi e Reinhard Selten che negli anni successivi perfezionarono il

suo lavoro.

Questi punti fondamentali segnano le origini della teoria che ancora

oggi è in fase di studio e di sviluppo, per quanto si siano fatti grandi

passi avanti e si sia giunti alla definizione di un gran numero di schemi

J. Nash risolutivi di giochi più o meno complessi.

Sorge spontaneo porsi delle domande circa l’utilità di una disciplina di questo genere. In fondo i

conflitti e i fenomeni sociali ad essi legati sono sempre stati studiati da un punto di vista empirico

tramite la filosofia, l’economia, la politica, la storiografia, …; che vantaggio se ne trae aggiungendo

una trattazione matematica? Indubbiamente il metodo matematico consente il raggiungimento di

risultati con un notevole grado di certezza, prima impensabile nelle trattazioni di filosofi ed

economisti, mentre la semplificazione dei fenomeni sociali consente la creazione di modelli

applicabili anche in condizioni apparentemente molto diverse; questa stessa semplificazione è però

anche il punto debole della teoria che non è ancora in grado di assimilare completamente la

complessità delle situazioni reali, lasciando ancora un forte margine all’intervento umano nella

soluzione di un gioco.

Nella trattazione successiva si terranno in considerazione per motivi di praticità e maggior

facilità di comprensione le versioni semplificate dei giochi.

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In primo luogo ritengo opportuno definire chiaramente alcuni punti chiave della terminologia e

dei metodi della Teoria dei Giochi. che analizza alcune situazioni di conflitto e

La Teoria dei Giochi è la scienza matematica

ne ricerca soluzioni (cooperative o non cooperative) attraverso modelli in cui le decisioni di un

soggetto influiscono sui risultati conseguibili dal soggetto stesso e dagli altri soggetti.

gioco

Per si intende l’insieme costituito da tutti i giocatori, dalle loro strategie e dai possibili

payoff (cioè guadagni nell’applicare una determinata strategia in relazione alle scelte degli altri) e il

numero delle volte in cui si gioca; matematicamente:

{ }

= Π

G N , S , , n Π

in cui N è l’insieme dei giocatori, S l’insieme delle strategie, è l’insieme dei payoff, n il numero

delle volte in cui il gioco viene ripetuto. Ciò definisce in modo univoco un gioco, differenziandolo

da ogni altro e creando una situazione ben precisa. E’ facile comprendere la complessità di un gioco

che comprenda numerosi giocatori, ciascuno in grado di scegliere all’interno di un esteso insieme di

strategie che possono dare un gran numero di diverse combinazioni di payoff, ripetuto inoltre più

volte, come può essere il gioco costituito da un intervento militare in un paese straniero ad esempio.

payoff,

I si è già detto sono gli utili ricavati da ciascun giocatore in relazione alle scelte della

partita. La realizzazione pratica più immediata che viene alla mente di questo concetto è nel denaro:

in un gioco di tipo economico si ha un guadagno in denaro o una perdita a seconda dell’evolversi

della situazione. Ma la teoria dei giochi preferisce lasciare gli utili in una forma indefinita. Infatti

anche in un gioco prettamente economico, un giocatore pur perdendo denaro può guadagnare in

immagine, oppure nonostante un guadagno apparente momentaneo, si può avere una perdita di

capacità produttive o altro. Per non parlare di altri giochi: con che metro si quantifica il guadagno di

una mossa a scacchi o della conquista di una posizione strategica in guerra? Non certo col denaro

che dunque risulta essere un’unità insufficiente. La misura dell’utilità resta dunque astratta e solo a

gioco risolto può essere riconvertita in termini materiali.

Dunque per ogni gioco viene definita una funzione:

→

u : S V

che lega ogni gruppo di strategie ai relativi valori, in funzione del tempo. Uno stesso gruppo di

strategie può infatti dare esiti diversi a seconda delle condizioni in cui si gioca, nonché a seconda

della ripetizione del gioco a cui si è giunti. Qui si nota l’importanza nella definizione di gioco del

numero di volte per cui esso viene ripetuto. L’utile può anche assumere valori negativi.

Ad esempio in un gioco a due giocatori che possono ciascuno scegliere fra due diverse strategie,

la funzione u può essere rappresentata in questo modo: Giocatore 2

Strategia 1 Strategia 2

Strategia A -100, 100 30, 50

Giocatore 1 Strategia B 80, 10 100, -100

dove ciascuna coppia di valori indica nell’ordine il guadagno per il giocatore 1 e per il giocatore 2.

strategie

Le sono le possibili scelte che ogni giocatore può compiere, individuando il risultato

di quella determinata scelta in base alle attese sulle probabilità di scelta degli avversari e al valore

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dei payoff. Una strategia è dunque un piano completo e contingente che specifica come il giocatore

debba comportarsi in ogni possibile circostanza in cui potrebbe essere chiamato a decidere. Il valore

di una strategia viene calcolato secondo la seguente relazione:

sn

= Π

S P

i j j

=

j s 1

in cui S rappresenta il valore della strategia i (nell’esempio precedente, della strategia A o B), j la

i Π

strategia dell’avversario, il payoff nel caso che l’avversario scelga la strategia j e P la probabilità

j j

che ciò avvenga. Ciò mette in evidenza come la probabilità che l’avversario faccia una determinata

scelta influenza consistentemente il valore di una strategia.

Talvolta l’esito delle azioni è soggetto a qualche forma di incertezza che si risolve solo in seguito

alla nostra scelta, senza lasciarci modo di modificare il nostro comportamento. Questa situazione

lotteria

viene chiamata e viene risolta associando alla relativa strategia una funzione di utilità che

tenga conto dell’incertezza, dando un valore perfino alla fortuna,

= ⋅ + − ⋅

u p u ( C ) (

1 p ) u ( C )

1 2

dove C e C rappresentano i due possibili esiti della lotteria con probabilità p e 1-p. Tali strategie

1 2

sono dette strategie miste, mentre le strategie che hanno un esito ben determinato sono dette pure.

Nel corso dello studio dei differenti giochi in base alla struttura del gioco stesso, o al modello

necessario a rappresentare il conflitto, oppure alla soluzione che esso presenta, si è arrivati a

classificare i giochi attraverso diversi criteri. Tali criteri non si escludono a vicenda, ma esprimono

caratteristiche presenti nel gioco. I giochi possono dunque essere:

• Cooperativi o non cooperativi

• A somma zero o a somma variabile

• Simultanei o sequenziali

• Non ripetuti o ripetuti

• Con giocatori razionali o meno

• A informazione completa o incompleta

• Finito o infinito

Un gioco è cooperativo quando è possibile una soluzione in cui i giocatori possano accordarsi

per la scelta di determinate strategie in modo tale da ottenere ciascuno più di quanto guadagnerebbe

non accordandosi con l’avversario. Tipici giochi cooperativi sono quelli legati alle interazioni

umane (società, economia, strategie militari,…), mentre un esempio di gioco non cooperativo sono

gli scacchi o la dama.

Un gioco è a somma zero quando ciò che è guadagnato da un giocatore è automaticamente perso

dall’avversario e viceversa; cioè quando la somma degli utili in campo è costante per ogni

combinazione di strategie. Una tipica situazione di questo tipo si ha nel momento in cui è in palio

un premio che si può dividere o meno, ma di consistenza fissa.

La simultaneità o sequenzialità riguarda lo svolgersi del gioco, simultaneo se ogni giocatore è

chiamato a fare le proprie scelte in contemporanea all’avversario, sequenziale se invece la propria

mossa segue quella dell’altro giocatore.

Un gioco è ripetuto se giocato più di una volta con le stesse regole, per quanto i payoff possano

però variare a seconda delle condizioni che di volta in volta si vengono a creare.

Riguardo ai giocatori razionali si rimanda al paragrafo 3.1 (Postulato di razionalità); è meglio

però specificare che in presenza di giocatori irrazionali non è possibile giungere a soluzioni

affidabili, dunque questi giochi non fanno parte della Teoria.

L’informazione è completa quando ogni giocatore in ogni momento del gioco è a conoscenza

della situazione e delle strategie giocate fino a quel punto da sé e dall’avversario, potendo così

studiare le possibili azioni proprie e reazioni avversarie a partire da un punto certo. L’informazione

incompleta è invece propria di quei giochi in cui non si conosce la situazione di gioco, oppure non

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si può risalire alle strategie giocate dall’avversario. Le interazioni militari sono normalmente a

informazione incompleta, più difficili da trattare, ma allo scopo di renderle giochi a informazione

completa ogni stato si è sempre munito di servizi d’informazione e spionaggio il più efficienti

possibile. Interessante applicazione teorica dei giochi a informazione incompleta sono gli scacchi

invisibili, in cui ogni giocatore muove senza conoscere la posizione dei pezzi avversari sulla

scacchiera, con la mediazione di un arbitro.

Un gioco si può ritenere finito quando giocato da un numero finito di giocatori per un tempo

determinato. Giochi infiniti sono quelli che studiano l’evolversi della società o delle scelte sul

mercato di un’azienda, senza dunque avere un limite temporale, e considerando talvolta

l’evoluzione dell’insieme dei giocatori, cioè l’abbandono o l’ingresso di qualche giocatore.

Per lo studio dei modelli e della risoluzione di un gioco è necessario rappresentare le possibili

azioni dei giocatori con i relativi payoff, in modo da rendere visibile l’evoluzione della partita.

Le rappresentazioni proposte dalla Teoria sono due: