Ordine e Caos

Liceo Scientifico Lorenzo Mascheroni

Marco Lanteri

Ordine e caos

Anno scolastico 1999 - 2000

Ordine e Caos M. Lantieri 2

“La curiosità è madre della scienza“

Leonardo da Vinci

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro

che continuamente ci sta aperto innanzi

a gli occhi (io dico lo universo). […] Egli è scritto

in lingua matematica, e i caratteri son

triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche“ Galileo Galilei

“Una geometria non può essere più vera di

un’altra; può solo essere più comoda“

Jules-Henri Poincaré

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Indice

Presentazione . . . . . . . . . pag. 4

Introduzione . . . . . . . . . . . 5

I frattali: caratteristiche fondamentali . . . . . . . . 8

Un primo esempio di caos: l’equazione logistica . . . . . . 8

Lo spazio delle fasi ed il concetto di attrattore . . . . . . 11

Le curve mostruose . . . . . . . . . . 12

Gli insiemi di Julia e l’insieme di Mandelbrot . . . . . . 13

Una generalizzazione di Mandelbrot con i quaternioni. . . . . . 17

Caos nel metodo di Newton . . . . . . . . . 18

Il tempo atmosferico . . . . . . . . . . 19

Instabilità nel sistema solare . . . . . . . . . 22

L’attrattore di Hénon . . . . . . . . . . 24

I sistemi di funzioni iterate . . . . . . . . . 26

La crescita dei cristalli . . . . . . . . . . 28

Chimica e caos . . . . . . . . . . . 30

La goccia che fa traboccare il vaso . . . . . . . . 32

Computer, arte e tecnologia: la “Computer Art“ . . . . . . 34

Referenze delle immagini . . . . . . . . . 37

Bibliografia . . . . . . . . . . . . 37

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Presentazione

Da sempre interessato al mondo della scienza nei suoi diversi ambiti, coniugando gli aspetti matematico-scientifici con quelli filosofico-epistemologici, ho scoperto nella teoria del caos un nuovo modo di guardare l’universo.

Dalla “Grande Macchia Rossa” di Giove ad una foglia di felce, dall’andamento della crescita delle popolazioni animali alle celle di convezione per giungere alla crescita dei cristalli: tutto questo è casualità, “rumore”, disordine apparente che cela dietro di sé strutture ordinate, imprevedibili e sempre nuove.

La matematica dei frattali, nata e sviluppatasi con l’avvento dei computer, ha permesso una rilettura di antichi problemi mai del tutto risolti o accantonati poiché troppo spinosi e apparentemente poco interessanti. Mandelbrot, Barnsley, Julia, Lorenz sono solo alcuni dei grandi artefici di questa rivoluzione che dagli ultimi trent’anni sta scuotendo il panorama scientifico nel senso più largo del termine.

Non possiamo più negare o diffidare, come è stato fatto in passato, della validità scientifica di tali teorie: i polmoni, il battito cardiaco, il sistema circolatorio ed il nostro stesso cervello devono proprio alla loro natura essenzialmente frattale le incredibili caratteristiche ed il loro quasi perfetto funzionamento.

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Introduzione

"Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi."

da Essai philosophique sur les probabilites di P. S. de Laplace

Questo passo racchiude in sé l’essenza stessa del determinismo che raggiunge l’apice della sua espressione proprio con Pierre Simon de Laplace (filosofo e matematico francese 1749 – 1827). Conoscendo tutto il mondo in un determinato istante, noi potremo prevedere quale sarà lo stato dell’universo nel futuro e come lo è stato in passato con assoluta esattezza e precisione, raggiungendo cioè una conoscenza totale ed onnicomprensiva dell’universo.

Tale visione, che ebbe notevole importanza durante tutta la durata dell’Ottocento, presuppone una cieca fiducia nei poteri della scienza, che, tramite una concatenazione di eventi collegati l’uno all’altro da rapporti di causa-effetto, porta l’uomo a conoscere il fenomeno intero. Le radici del determinismo, ricordiamolo, affondano tuttavia nel Seicento: Galilei e Newton ne furono i padri fondatori. Proprio Galileo amava dire che l’essere umano riesce ad eguagliare Dio nell’ambito della conoscenza intensiva (benché sia nettamente inferiore in quella estensiva).

Quale è la matematica che porta questi grandi della storia della scienza a tali affermazioni?

L’algebra lineare, cioè quella che si basa su equazioni che non superano il primo grado: www.matematicamente.it

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f (t+1) = k · f (t) (1)

La (1) ne è un esempio: analizzandola scopriamo che il ragionamento filosofico di Laplace le si adatta perfettamente. Infatti, se nella funzione f posta ad un istante t racchiudiamo tutta la conoscenza dell’universo, potremo, risolvendola, conoscere l’universo al nuovo istante t+1, come pure, compiendo il ragionamento inverso, all’istante precedente t–1. Sono equazioni di questo tipo che ci permettono di prevedere la prossima eclissi piuttosto che il passaggio della cometa di Halley o altri fenomeni che mostrano regolarità e prevedibilità.

Purtroppo però questo modello che annuncia possibilità sconfinate all’uomo, entra inevitabilmente in crisi con i primi anni del Novecento. La fisica quantistica e la relatività di Einstein segnano la fine della visione deterministica del mondo, per dare spazio invece ad un punto di vista probabilistico della realtà (almeno nel mondo dell’«infinitamente piccolo»). Celeberrimo a tale proposito è il principio di indeterminazione di Heisenberg che afferma l’impossibilità di conoscere contemporaneamente con accuratezza la velocità e la posizione delle particelle nel mondo atomico e subatomico (principio osteggiato al tempo da Lorentz e dallo stesso Einstein).

Le teorie del caos, alla luce di questo discorso, infliggono il colpo definitivo al determinismo laplaciano. Le leggi deterministiche (le medesime utilizzate da Laplace), in certe condizioni, mettono in luce il loro carattere assolutamente imprevedibile. Grazie ad esse è infatti possibile descrivere la complessità insita nella natura: montagne, nuvole, piante o le volute che il fumo di una sigaretta produce, volteggiando nell’aria.

La storia di tali teorie è estremamente recente (gli ultimi trent’anni) e solo in alcuni rari casi vi sono stati lavori precedenti (i primi risalgono alla fine Ottocento grazie agli studi di Poincaré ed altri). www.matematicamente.it

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La personalità più di spicco è sicuramente Benoit Mandelbrot, l’inventore del termine frattale (i frattali sono gli oggetti che descrivono il caos) e lo scopritore dell’oggetto più bello e complesso della matematica che da lui prende nome. Negli anni settanta egli riprese i lavori compiuti da due matematici francesi pressoché sconosciuti (Pierre Fatou e Gaston Julia), li ampliò e rese noti i suoi risultati nel suo libro The fractal geometry of nature, pietra miliare per gli studi successivi.

Pochi anni prima, Edward Lorenz, un meteorologo con una spiccata passione per la matematica, riuscì a descrivere in modo semplificato ma molto efficace i moti convettivi presenti nell’atmosfera.

Michel Hénon, astronomo presso l’osservatorio di Nizza, rilevò per primo dinamiche caotiche nei moti di alcuni oggetti celesti.

Figura 1. Benoit Mandelbrot

Negli anni seguenti moltissimi altri studiosi e ricercatori trovarono una strada per la soluzione dei loro problemi (fossero essi biologi, fisici, chimici o economisti) nelle dinamiche caotiche: libri, conferenze ed immagini hanno cominciato a diffondersi un po’ ovunque, «colonizzando» ogni angolo di Internet.

Il nostro discorso non ha certamente la pretesa di indagare il caos nei suoi aspetti matematici più raffinati quanto piuttosto di enuclearne le idee fondamentali che ne stanno alla base e, soprattutto, le sue possibili applicazioni nelle più differenti discipline, mostrando gli esempi più significativi che hanno fatto del caos una nuova rivoluzione scientifica. Non ultimo è lo scopo di far apprezzare le meravigliose immagini dei protagonisti del caos di cui parleremo ampiamente nel corso della trattazione, che hanno dato linfa vitale non solo alla matematica ma anche all’arte (dove il computer si sta configurando come nuovo mezzo per creare).

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I frattali: caratteristiche fondamentali

I frattali, gli oggetti che descrivono il caos, sono equazioni o sistemi di equazioni non lineari (di grado superiore al primo) che, iterate migliaia di volte, danno origine a forme particolarmente complesse, frastagliate ed irregolari.

Il loro nome è stato coniato da Benoit Mandelbrot negli anni settanta, facendolo derivare dal termine latino fractus cioè frammentato, frastagliato, irregolare.

Una delle loro più importanti caratteristiche è l’auto-somiglianza, in altre parole l’immagine iniziale si ripete infinite volte a scale sempre più piccole: tale peculiarità è presente molto spesso in natura, ecco perciò il motivo della loro vasta applicazione nella descrizione di montagne piuttosto che di piante o di nuvole. Altro elemento degno di nota è la loro dimensione frazionaria, essi stanno infatti «a metà» tra una certa dimensione e la sua successiva. Ciò a prima vista potrebbe sembrare strano, in realtà anche questo comportamento è tipico di alcuni oggetti che appartengono al nostro mondo quotidiano. Pensiamo, per esempio, ad un gomitolo di lana: esso non è altro che un filo che si avvolge in una certa regione di spazio ma che non occupa interamente: esso possiede una dimensione compresa tra 2 e 3.

Un primo esempio di caos: l’equazione logistica

Per dare un primo esempio di quanto detto analizziamo quella che viene chiamata equazione logistica, utilizzata per spiegare la crescita di popolazioni animali che hanno un elevatissimo tasso di natalità e, al tempo stesso, una vita molto breve come accade per molte specie di insetti. Essa è la seguente:

P (t+1) = R · P(t) · ( 1 – P(t) ) (2)

dove con P si è indicato la numerosià della popolazione all’istante t ed R il fattore di crescita. www.matematicamente.it

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Figura 2. L’equazione logistica

Il fattore 1 – P(t) riassume in sé ciò che può frenare (o meglio regolare) la crescita della popolazione di insetti (mancanza di cibo, condizioni climatiche meno favorevoli,…) ed è pertanto chiamato fattore di retroazione.

Questa equazione, come potete ben notare, non è nient’altro che una parabola con la concavità rivolta verso il basso, un’equazione di secondo grado, non lineare dunque.

Armandoci anche di una semplice calcolatrice tascabile (come aveva precedentemente fatto Feigenbaum che per primo osservò tale fenomeno), possiamo verificare un fenomeno alquanto interessante, che mette in luce l’estrema dipendenza dei risultati ottenuti dai valori iniziali.

Prendiamo come valore iniziale P (0) = 0.4 e osserviamo che cosa accade iterando la (2) per valori diversi di R. www.matematicamente.it

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√5

t (tempo) R = 2 R = 4

R = 1 +

0.4000000000 0.4000000000 0.4000000000

0 0.4800000000 0.7766562960 0.9600000000

1 0.4992000000 0.5613325250 0.1536000000

2 0.4999987200 0.7968439275 0.5200281600

3 0.5000000000 0.5238665890 0.9983954912

4 0.5000000000 0.8089732544 0.0064077373

5 0.5000000000 0.5000874618 0.0254667128

6 0.5000000000 0.8090169502 0.0992726372

7 0.5000000000 0.5000000268 0.3576703229

8 0.5000000000 0.8090169750 0.9189690520

9 0.5000000000 0.5000000268 0.2978597337

10 0.5000000000 0.8090169750 0.8365572510

11 0.5000000000 0.5000000268 0.5469168673

12 0.5000000000 0.8090169750 0.9911952303

13 0.5000000000 0.5000000268 0.0349089831

14 0.50000000000 0.8090169750 0.1347613840

15

Tabella 1.

Analizzando la tabella 1, notiamo che mentre nel primo caso le soluzioni si stabilizzano già alla quarta iterazione su un valore fisso (0.5) e nel secondo alla settima (oscillando perennemente tra due valori limite), nel terzo (R = 4) vi è un comportamento caotico: l’equazione infatti non si stabilizza.

Che cosa succede se variamo di poco il valore iniziale di P?

Ebbene, mentre nel primo e nel secondo caso ciò non ha praticamente alcun effetto,

-5

nel terzo basta una differenza di un solo centomillesimo (10 ) per originare, dopo pochissime iterazioni, nuovi valori totalmente diversi dai precedenti. Già alla ventesima iterazione infatti variano tutte quante le cifre decimali, con una differenza pari a 0.4728649776.

È interessante a questo punto eseguire un grafico di tale equazione, facendo variare il fattore R tra un valore iniziale pari a 2.9 ed uno finale di 3.9, impostando il valore di P(0) a 0.7 e iterando la (2) alcune migliaia di volte per trovare i punti di convergenza.

Se osservate la figura 2 elaborata al computer, noterete l’incredibile grado di varietà che questa semplice equazione nasconde: una serie di biforcazioni dovute al tasso di crescita sempre più elevato esplodono una volta raggiunto il valore limite dando

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luogo la caos. Guardando più attentamente l’immagine è poi possibile rilevare in mezzo al caos alcune aree più ordinate, sia a grande sia a piccola scala. Tale fenomeno lo si osserva molto frequentemente: «isole» di ordine in un «mare» di caos è una costante degli oggetti caotici.

Lo spazio delle fasi ed il concetto di attrattore

Un’utile premessa per capire al meglio la geometria del caos, è una breve digressione sul concetto di spazio delle fasi e di attrattore.

Lo spazio delle fasi è un mezzo per visualizzare con dei semplici assi cartesiani l’evoluzione (il moto) di un sistema nel tempo: le ascisse rappresentano la posizione, mentre le ordinate la velocità.