Ordine e Caos

Ordine e Caos M.Lantieri 2

“ La curiosità è madre della scienza “

Leonardo da Vinci

“ La filosofia è scritta in questo grandissimo libro

che continuamente ci sta aperto innanzi

a gli occhi (io dico lo universo). […] Egli è scritto

in lingua matematica, e i caratteri son

triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche “ Galileo Galilei

“ Una geometria non può essere più vera di

un’altra; può solo essere più comoda “

Jules - Henri Poincaré

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Indice

Presentazione . . . . . . . . . pag. 4

Introduzione . . . . . . . . . . . 5

I frattali: caratteristiche fondamentali . . . . . . . . 8

Un primo esempio di caos: l’equazione logistica . . . . . . 8

Lo spazio delle fasi ed il concetto di attrattore . . . . . . 11

Le curve mostruose . . . . . . . . . . 12

Gli insiemi di Julia e l’insieme di Mandelbrot . . . . . . 13

Una generalizzazione di Mandelbrot con i quaternioni. . . . . . 17

Caos nel metodo di Newton . . . . . . . . . 18

Il tempo atmosferico . . . . . . . . . . 19

Instabilità nel sistema solare . . . . . . . . . 22

L’attrattore di Hénon . . . . . . . . . . 24

I sistemi di funzioni iterate . . . . . . . . . 26

La crescita dei cristalli . . . . . . . . . . 28

Chimica e caos . . . . . . . . . . . 30

La goccia che fa traboccare il vaso . . . . . . . . 32

Computer, arte e tecnologia: la “ Computer Art “ . . . . . . 34

Referenze delle immagini . . . . . . . . . 37

Bibliografia . . . . . . . . . . . . 37

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Presentazione

Da sempre interessato al mondo della scienza nei suoi diversi ambiti, coniugando gli

aspetti matematico–scientifici con quelli filosofico–epistemologici, ho scoperto nella

teoria del caos un nuovo modo di guardare l’universo.

Dalla “Grande Macchia Rossa” di Giove ad una foglia di felce, dall’andamento della

crescita delle popolazioni animali alle celle di convezione per giungere alla crescita

dei cristalli: tutto questo è casualità, “rumore”, disordine apparente che cela dietro di

sé strutture ordinate, imprevedibili e sempre nuove.

La matematica dei frattali, nata e sviluppatasi con l’avvento dei computer, ha

permesso una rilettura di antichi problemi mai del tutto risolti o accantonati poiché

troppo spinosi e apparentemente poco interessanti. Mandelbrot, Barnsley, Julia,

Lorenz sono solo alcuni dei grandi artefici di questa rivoluzione che dagli ultimi

trent’anni sta scuotendo il panorama scientifico nel senso più largo del termine.

Non possiamo più negare o diffidare, come è stato fatto in passato, della validità

scientifica di tali teorie: i polmoni, il battito cardiaco, il sistema circolatorio ed il

nostro stesso cervello devono proprio alla loro natura essenzialmente frattale le

incredibili caratteristiche ed il loro quasi perfetto funzionamento.

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Introduzione

"Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come l'effetto del suo stato

precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una

mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla

rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse

sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe

nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli

atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato,

sarebbe presente ai suoi occhi."

da Essai philosophique sur les probabilites di P. S. de Laplace

Questo passo racchiude in sé l’essenza stessa del determinismo che raggiunge l’apice

della sua espressione proprio con Pierre Simon de Laplace (filosofo e matematico

francese 1749 – 1827). Conoscendo tutto il mondo in un determinato istante, noi

potremo prevedere quale sarà lo stato dell’universo nel futuro e come lo è stato in

passato con assoluta esattezza e precisione, raggiungendo cioè una conoscenza totale

ed onnicomprensiva dell’universo.

Tale visione, che ebbe notevole importanza durante tutta la durata dell’Ottocento,

presuppone una cieca fiducia nei poteri della scienza, che, tramite una concatenazione

di eventi collegati l’uno all’altro da rapporti di causa – effetto, porta l’uomo a

conoscere il fenomeno intero. Le radici del determinismo, ricordiamolo, affondano

tuttavia nel Seicento: Galilei e Newton ne furono i padri fondatori. Proprio Galileo

amava dire che l’essere umano riesce ad eguagliare Dio nell’ambito della conoscenza

intensiva (benché sia nettamente inferiore in quella estensiva).

Quale è la matematica che porta questi grandi della storia della scienza a tali

affermazioni?

L’algebra lineare, cioè quella che si basa su equazioni che non superano il primo

grado: www.matematicamente.it

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f (t+1) = k · f (t) (1)

La (1) ne è un esempio: analizzandola scopriamo che il ragionamento filosofico di

Laplace le si adatta perfettamente. Infatti, se nella funzione f posta ad un istante t

racchiudiamo tutta la conoscenza dell’universo, potremo, risolvendola, conoscere

l’universo al nuovo istante t+1, come pure, compiendo il ragionamento inverso,

all’istante precedente t–1. Sono equazioni di questo tipo che ci permettono di

prevedere la prossima eclissi piuttosto che il passaggio della cometa di Halley o altri

fenomeni che mostrano regolarità e prevedibilità.

Purtroppo però questo modello che annuncia possibilità sconfinate all’uomo, entra

inevitabilmente in crisi con i primi anni del Novecento. La fisica quantistica e la

relatività di Einstein segnano la fine della visione deterministica del mondo, per dare

spazio invece ad un punto di vista probabilistico della realtà (almeno nel mondo

dell’«infinitamente piccolo»). Celeberrimo a tale proposito è il principio di

indeterminazione di Heisenberg che afferma l’impossibilità di conoscere

contemporaneamente con accuratezza la velocità e la posizione delle particelle nel

mondo atomico e subatomico (principio osteggiato al tempo da Lorentz e dallo stesso

Einstein).

Le teorie del caos, alla luce di questo discorso, infliggono il colpo definitivo al

determinismo laplaciano. Le leggi deterministiche (le medesime utilizzate da

Laplace), in certe condizioni, mettono in luce il loro carattere assolutamente

imprevedibile. Grazie ad esse è infatti possibile descrivere la complessità insita nella

natura: montagne, nuvole, piante o le volute che il fumo di una sigaretta produce,

volteggiando nell’aria.

La storia di tali teorie è estremamente recente (gli ultimi trent’anni) e solo in alcuni

rari casi vi sono stati lavori precedenti (i primi risalgono alla fine Ottocento grazie

agli studi di Poincaré ed altri). www.matematicamente.it

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La personalità più di spicco è sicuramente Benoit Mandelbrot, l’inventore del termine

frattale (i frattali sono gli oggetti che descrivono il caos) e lo scopritore dell’oggetto

più bello e complesso della matematica che da lui prende nome. Negli anni settanta

egli riprese i lavori compiuti da due matematici francesi pressoché sconosciuti (Pierre

Fatou e Gaston Julia), li ampliò e rese noti i suoi risultati nel suo libro The fractal

geometry of nature, pietra miliare per gli studi successivi.

Pochi anni prima, Edward Lorenz, un meteorologo con

una spiccata passione per la matematica, riuscì a

descrivere in modo semplificato ma molto efficace i moti

convettivi presenti nell’atmosfera.

Michel Hénon, astronomo presso l’osservatorio di Nizza,

rilevò per primo dinamiche caotiche nei moti di alcuni

oggetti celesti.

Figura 1. Benoit Mandelbrot

Negli anni seguenti moltissimi altri studiosi e ricercatori trovarono una strada per la

soluzione dei loro problemi (fossero essi biologi, fisici, chimici o economisti) nelle

dinamiche caotiche: libri, conferenze ed immagini hanno cominciato a diffondersi un

po’ ovunque, «colonizzando» ogni angolo di Internet.

Il nostro discorso non ha certamente la pretesa di indagare il caos nei suoi aspetti

matematici più raffinati quanto piuttosto di enuclearne le idee fondamentali che ne

stanno alla base e, soprattutto, le sue possibili applicazioni nelle più differenti

discipline, mostrando gli esempi più significativi che hanno fatto del caos una unova

rivoluzione scientifica. Non ultimo è lo scopo di far apprezzare le meravigliose

immagini dei protagonisti del caos di cui parleremo ampiamente nel corso della

trattazione, che hanno dato linfa vitale non solo alla matematica ma anche all’arte

(dove il computer si sta configurando come nuovo mezzo per creare).

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I frattali: caratteristiche fondamentali

I frattali, gli oggetti che descrivono il caos, sono equazioni o sistemi di equazioni non

lineari (di grado superiore al primo) che, iterate migliaia di volte, di dare origine a

forme particolarmente complesse, frastagliate ed irregolari.

Il loro nome è stato coniato da Benoit Mandelbrot negli anni settanta, facendolo

derivare dal termine latino fractus cioè frammentato, frastagliato, irregolare.

Una delle loro più importanti caratteristiche è l’auto - somiglianza, in altre parole

l’immagine iniziale si ripete infinite volte a scale sempre più piccole: tale peculiarità

è presente molto spesso in natura, ecco perciò il motivo della loro vasta applicazione

nella descrizione di montagne piuttosto che di piante o di nuvole. Altro elemento

degno di nota è la loro dimensione frazionaria, essi stanno infatti «a metà» tra una

certa dimensione e la sua successiva. Ciò a prima vista potrebbe sembrare strano, in

realtà anche questo comportamento è tipico di alcuni oggetti che appartengono al

nostro mondo quotidiano. Pensiamo, per esempio, ad un gomitolo di lana: esso non è

altro che un filo che si avvolge in una certa regione di spazio ma che non occupa

interamente: esso possiede una dimensione compresa tra 2 e 3.

Un primo esempio di caos: l’equazione logistica

Per dare un primo esempio di quanto detto analizziamo quella che viene chiamata

equazione logistica, utilizzata per spiegare la crescita di popolazioni animali che

hanno un elevatissimo tasso di natalità e, al tempo stesso, una vita molto breve come

accade per molte specie di insetti. Essa è la seguente:

P (t+1) = R · P(t) · ( 1 – P(t) ) (2)

dove con P si è indicato la numerosità della popolazione all’istante t ed R il fattore di

crescita. www.matematicamente.it

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Figura 2. L’equazione logistica

Il fattore 1 – P(t) riassume in sé ciò che può frenare (o meglio regolare) la crescita

della popolazione di insetti (mancanza di cibo, condizioni climatiche meno

favorevoli,…) ed è pertanto chiamato fattore di retroazione.

Questa equazione, come potete ben notare, non è nient’altro che una parabola con la

concavità rivolta verso il basso, un’equazione di secondo grado, non lineare dunque.

Armandoci anche di una semplice calcolatrice tascabile (come aveva

precedentemente fatto Feigenbaum che per primo osservò tale fenomeno), possiamo

verificare un fenomeno alquanto interessante, che mette in luce l’estrema dipendenza

dei risultati ottenuti dai valori iniziali.

Prendiamo come valore iniziale P (0) = 0.4 e osserviamo che cosa accade iterando la

(2) per valori diversi di R. www.matematicamente.it

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√5

t (tempo) R = 2 R = 4

R = 1 +

0.4000000000 0.4000000000 0.4000000000

0 0.4800000000 0.7766562960 0.9600000000

1 0.4992000000 0.5613325250 0.1536000000

2 0.4999987200 0.7968439275 0.5200281600

3 0.5000000000 0.5238665890 0.9983954912

4 0.5000000000 0.8089732544 0.0064077373

5 0.5000000000 0.5000874618 0.0254667128

6 0.5000000000 0.8090169502 0.0992726372

7 0.5000000000 0.5000000268 0.3576703229

8 0.5000000000 0.8090169750 0.9189690520

9 0.5000000000 0.5000000268 0.2978597337

10 0.5000000000 0.8090169750 0.8365572510

11 0.5000000000 0.5000000268 0.5469168673

12 0.5000000000 0.8090169750 0.9911952303

13 0.5000000000 0.5000000268 0.0349089831

14 0.50000000000 0.8090169750 0.1347613840

15

Tabella 1.