Ordine e caos

Dalla “Grande Macchia Rossa” di Giove ad una

foglia di felce, dall’andamento della crescita delle

popolazioni animali alle celle di convezione per

giungere alla crescita dei cristalli: tutto questo è

casualità, “rumore”, disordine apparente che cela

dietro di sé strutture ordinate, imprevedibili e

sempre nuove. La matematica dei frattali, nata e

sviluppatasi con l’avvento dei computer, ha

permesso una rilettura di antichi problemi

mai del tutto risolti o accantonati poiché

troppo spinosi e apparentemente poco

interessanti. Mandelbrot, Barnsley, Julia,

Lorenz sono solo alcuni dei grandi artefici

di questa rivoluzione che dagli ultimi

trent’anni sta scuotendo il panorama

scientifico nel senso più largo del termine.

Iterazione

Consideriamo una semplice funzione di secondo grado: una parabola

nel piano cartesiano xOy con vertice sull'asse y.

2

y= x c

x= y

Consideriamo poi la funzione identica y=x,

che ci sarà utile per poter applicare

ricorsivamente la prima equazione.

Iterazione

La nostra funzione associa ad ogni numero reale x,

un numero calcolato in base alla relazione stabilita:

possiamo considerare la funzione come una

macchina che, inserito un numero x, ci dia come

risultato il valore di x elevato al quadrato più una

costante c, definita inizialmente. 2

f : x x c

Iterazione

2

f : x x c

ℝℝ

f : Abbiamo così una funzione che associa

ad ogni numero reale un altro numero

sempre appartenente ai reali.

Iterazione

2 3 n

... ...

x, f x

,f x

,f x

, , f x

,

   

Partendo da un numero iniziale x, ed applicando di volta in volta

la nostra funzione al risultato dell'iterazione precedente,

otteniamo una serie di valori, dipendenti dal punto che abbiamo

scelto come inizio; tale serie prende il nome di orbita della

funzione f di valore iniziale x.

Iterazione

Scegliamo ora una 2

f : x x c

particolare funzione,

ovvero assegnamo un

valore ben definito alla

costante c; ad 0

c=

esempio fissiamo la

condizione c=0. In questo modo,

{ l'orbita ottenuta

applicando

∞ , per x

∣

∣

1 ripetutamente la

funzione ad un punto

n

lim =

f inziale x per infinite

1, = 1

per x

∣

∣ volte, risulterà

necessariamente

n ∞ 0, per x seguire uno dei tre

∣

∣

1 comportamenti qui

accanto, in base

all'intervallo in cui

abbiamo scelto x.

Iterazione ...e sorgenti (source),

punti in cui la funzione

Possiamo distinguere due tende ad avvicinarsi

tipi principali di solo per determinati

comportamenti: bacini 2 (pochi) valori di x, ma

f : x x c

(sink), il cui valore è da cui si allontana

raggiunto a partire da anche cambiando di

molti valori di x... poco la scelta iniziale

0

c= di x.

SINK SOURCE

{

∞ , per x

∣

∣

1

n

lim =

f 1, = 1

per x

∣

∣

n ∞ 0, per x

∣

∣

1

Iterazione

1 1 3 1

c c= − c

4 4 4 4

Osserviamo cosa accade al grafico della

parabola al variare della scelta di c,

confrontandola con la funzione identica y=x:

abbiamo 0, 1 o 2 punti in comune rispettivamente

con c>1/4, c=1/4 e c<1/4.

Biforcazione Partendo da qui,

Proviamo ad muoviamoci in direzione

analizzare il dell'asse y fino a

comportamento intersecare la nostra

dell'iterazione infinita parabola.

di una funzione,

partendo dal suo

grafico: disegnamo la

parabola e la bisettrice A questo punto,

del I e III quadrante. muoviamoci in direzione

dell'asse x, questa volta

fermandoci incontrando

la bisettrice.

Scegliamo poi un punto

di partenza x a piacere, Ripetiamo poi il

ad esempio l'origine del procedimento infinite

piano cartesiano. volte sempre allo

stesso modo.

1

c= 4

Quello che osserviamo è il comportamento all'infinito della nostra

orbita: nel caso c=1/4, per qualunque scelta inziale di x, l'orbita

converge sempre nello stesso punto, che è pertanto un'attrattore

dell'orbita stessa. Biforcazione

Per c=-3/4 abbiamo

ugualmente un punto

attrattivo. 3

−

c= 4

Biforcazione Per c=-13/16 notiamo

già una differenza:

l'orbita non si assesta

su un unico punto, ma

continua ad oscillare

all'infinito tra due valori

distinti.

13

−

c= 16

Biforcazione

Scegliendo c=-1.3

abbiamo ivece 4 valori

distinti per la nostra

orbita all'infinito. − 1.3

c=

Biforcazione

Per c=-1.4015 i punti

cominciano a perdere

definizione, diventando

quasi delle fasce in cui

l'orbita si asseta, e

moltiplicandosi sempre

di più. − 1.4015

c=

Biforcazione

Considerando i risultati dei

nostri esperimenti,

tracciamo un grafico dei

valori di attrazione in

funzione della scelta del

parametro c.

N.B.: scelto un parametro c,

ed eseguendo un numero

sufficiente grande di

iterazioni, abbiamo sempre lo

stesso comportamento

dell'orbita, indipendentemente

dalla scelta del punto iniziale

x! Biforcazione

Questo grafico, detta

mappa dell'orbita, possiede

proprietà interessanti: prima

di tutto notiamo una regione

ordinata, in cui i punti di

equilibrio raddoppiano

progressivamente, per poi

sfociare in una regione

completamente caotica

Proviamo ad ingrandire

una regione della nostra

mappa... Biforcazione

Notiamo che parti in

scala diversa sono

simili tra loro: questa

proprietà è detta

autosimilarità, ed è

propria delle strutture

che hanno a che fare

con il caos e la

rottura di simmetrie. Biforcazione

Proviamo ora ad

avvicinarci alla regione

che appare

completamente caotica: Biforcazione Notiamo che anche

qui ci sono delle

“isole” di ordine:

proviamo ad

avvicinarci

ulteriormente...

Biforcazione

Ingrandiamo un

ulteriore dettaglio di

questa regione...

Anche una piccolissima Biforcazione

regione, per giunta scelta nel

“mare” del disordine, se

ingrandita appare esattamente

uguale alla mappa considerata

globalmente! (si vedano i valori

di c sui grafici!) Autosimilarità

Universalità

Indichiamo ora con una

serie di valori, i punti in cui  

abbiamo le biforcazioni 4 3 

successive del nostro 2

grafico: 

1

Universalità

 

4 3 

2 

1

Definiamo un nuovo valore

calcolato come rapporto tra

la distanza di due

biforcazioni successive... −

  1

n n−

=

 −

 

1

n n

Universalità

− Quello che otteniamo è il

 

...e calcoliamone il limite per valore della Costante di

1

n n−

=

un numero infinito di  Feigenbaum, che si

biforcazioni! ritrova spesso in

−

  strutture di questo tipo,

1

n n ed è assolutamente

universale.

−

  1

n n−

lim = 4. 669201609102990671853...

−

 

n ∞ n1 n

Costante di Feigenbaum

Universalità

Possiamo ripetere

il nostro Come vediamo,

“esperimento” la mappa

iniziale scegliendo risultante è molto

altre funzioni al simile come

posto della nostra struttura a quella

parabola: ad ottenuta a partire

esempio, possiamo dalla parabola, e

scegliere una le due mappe

funzione condividono

sinusoidale, e molte proprietà!

ripetere lo stesso

procedimento visto

all'inizio. sin

f : x x

c 

Universalità

f : x sin 

x

c

Possiamo scegliere

funzioni di qualsiasi tipo... Universalità

3 1−

f : x x

cx 

Universalità 4

1− 2x− 1

f : x c   

Universalità ...il risultato è sempre una

mappa particolare per la

funzione scelta!

1−

f : x x

cx  

Universalità

Consideriamo ora una

funzione di un tipo

sostanzialmente diverso...  

1

∣ ∣

1− 2

f : x x−

c 2

Universalità Funzione non-monotòna

e non derivabile

 

1

∣ ∣

1− 2

f : x x−

c 2

Universalità  

1

∣ ∣

1− 2

f : x x−

c 2

{ 1

0, 0c

per 2

n

lim =

f 1

??? , per c1

n ∞ 2

∞ , per c1

Universalità  

1

∣ ∣

1− 2

f : x x−

c 2

{ 1

0, 0c

per 2

n

lim =

f 1

??? , per c1

n ∞ 2

∞ , per c1

Comportamento “interessante”

Universalità

Operando iterativamente e

disegnando la mappa

dell'orbita corrispondente,

otteniamo un disegno molto

particolare: Universalità

Proviamo ad

ingrandirne un

particolare! Universalità

Avviciniamoci ancora... Universalità

Quelle che appaiono come

linee uniche, sono in realtà

ogni volta coppie di linee, che ...ed ancora...

a loro volta sono formate da

coppie di linee e così via,

all'infinito... La nostra mappa

ha una struttura “fine” ed

autosimile...

Attrattori “strani”

ℝ

Consideriamo ora una n n

f : ℝ

nuova funzione in uno

spazio n-dimensionale

Attrattori “strani”

ℝ

n n

f : ℝ

In questo spazio, ogni

punto su cui opera la ...

p= x , x , x , , x

 

funzione, è formato da n 2 3

1 n

cordinate, ovvero n

valori reali: Attrattori “strani”

ℝ

n n

f : ℝ

...

p= x , x , x , , x

 

2 3

1 n

2 3 n

... ...

p

p, f ,f p

,f p

, , f p

,



  

Il concetto di iterazione rimane del tutto invariato,

cambiano solo gli elementi su cui opera la funzione

Attrattori “strani”

{

x La nostra funzione

by

f: seguirà una legge

polinomiale di secondo

2

y ay grado in due variabili: ci

1x− troviamo pertanto in uno

spazio bidimensionale

Attrattori “strani”

{

x by

f: 2

y ay

1x− 2

1x−

f :

x , y by , ay



 

Immaginiamo anche qui di partire da un punto

scelto a caso e ripetere all'infinito

l'applicazione della nostra funzione: quello

che otteniamo è una figura con interessanti

proprietà:

Attrattori “strani”

{

x by

f: 2

y ay

1x− 2

1x−

f :

x , y by , ay



 

Attrattore di Hénon

Attrattori “strani”

{

x by

f: 2

y ay

1x− 2

1x−

f :

x , y by , ay



 

Attrattore di Hénon

{ 1.4

a=

Scegliamo due valori definiti

per i parametri contenuti nella

funzione e proviamo a farne 0.3

b=

una rappresentazione grafica:

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Nel caso in cui operiamo in uno spazio bidimensionale, possiamo

contare sulle operazioni definite nel campo dei numeri complessi,

pertanto possiamo considerare un numero complesso come una

coppia ordinata di numeri reali:

z= x

xiy= , y



Attrattori “strani”

z= x

xiy= , y



f z





z

Attrattori “strani”

z= x

xiy= , y



f z





z

f x , y x , y

 

Attrattori “strani”

−

k p

Consideriamo ora una i

funzione sul campo dei 2

∣

1 z

f : z e

numeri complessi: una abz

funzione di tipo

esponenziale: Attrattori “strani”

−

k p

i 2

∣

1 z

f : z e

abz

Attrattore di Ikeda

Attrattori “strani”

−

k p

i 2

∣

1 z

f : z e

abz

Attrattore di Ikeda

{ 0.85

a=

Anche in questo caso,

assegnamo dei valori 0.9

b=

numerici ai suoi

parametri e = 0.4

k

grafichiamola: 7.7

p=

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Attrattori “strani”

Chua

(circuito elettronico)

Attrattori “strani”

Duffing

(oscillatore nonlineare)

Attrattori “strani”

Lorenz

(convezione atmosferica)

Attrattori “strani”

Rossler

(cinetica chimica)

Attrattori “strani”

Insiemi di Julia

2

f : z z c

Consideriamo una nuova funzione con una espressione

particolarmente semplice: essa ad ogni numero (complesso)

associa il proprio quadrato e somma a questo un termine

costante (anch'esso complesso)

Insiemi di Julia

2

f : z z c

{

z= xiy= x , y

 

a

ib= a , b

c= 

Insiemi di Julia

2

f : z z c

{

z= xiy= x , y

 

a

ib= a , b

c= 

2 =

f :

xiy xiy aib



 

2 2 2

= x i y ib=

2ixy a

2 2

= − 2xyb

x y i

a



 Svolgendo i calcoli

perveniamo al risultato

della formula analitica

della nostra funzione

Insiemi di Julia

2

f : z z c

{

z= xiy= x , y

 

a

ib= a , b

c= 

2 =

f :

xiy xiy aib



 

2 2 2

= x i y ib=

2ixy a

2 2

= − 2xyb

x y i

a



 2 2

− 2xyb

f :

x , y x y ,



 a

Insiemi di Julia

Immaginiamo ora di effettuare una “mappatura” a partire dai numeri complessi su una

sfera: ad ogni numero complesso corrisponde uno e un solo punto sulla sfera

complessa, e viceversa, con la differenza che anzichè muoverci su uno spazio illimitato,

qui siamo limitati dalla superficie della sfera, ed inoltre abbiamo una notazione

conveniente per indicare un eventuale valore infinito, cosa che era assente nella

rappresentazione su piano cartesiano

Insiemi di Julia

Insiemi di Julia

Insiemi di Julia

Le varie operazioni ora possono pertanto essere espresse sotto forma di

rotazioni, “stiramenti” e traslazioni della sfera e dei suoi punti.

Insiemi di Julia

1 3

0.275 0

c=

c= −

c= c=

4 4

Osserviamo ora come varia l'orbita della nostra funzione al

variare della scelta del parametro c

− 1.312 − 1.375 − 2

c= c= c= c= i

Insiemi di Julia

Totalmente disconnesso

1 3

0.275 0

c=