Ordine e caos

Revisionato il 08/10/2026

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Tesina - Premio maturità 2008 Titolo: Ordine e caos Autore: Gianmaria Saracino Descrizione: un viaggio tra frattali, attrattori, mappe logistiche, per iniziare a vedere fenomeni e strutture con occhi diversi. n.b.: la tesina era inizial

…continua

102 pagine

Tesine maturita

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Ordine caos

di Gianmaria Saracino

“Una geometria non può essere più vera di un'altra; può solo essere più comoda”

H. Poincaré

"Il matematico gioca un gioco in cui egli stesso inventa le regole. Il fisico gioca un gioco in cui le regole sono fornite dalla natura. Ma, con il passare del tempo, diventa sempre più evidente che le regole che il matematico trova interessanti sono quelle che la natura ha scelto".

P. Dirac

Dalla “Grande Macchia Rossa” di Giove ad una foglia di felce, dall'andamento della crescita delle popolazioni animali alle celle di convezione per giungere alla crescita dei cristalli: tutto questo è casualità, “rumore”, disordine apparente che cela dietro di sé strutture ordinate, imprevedibili e sempre nuove. La matematica dei frattali, nata e sviluppatasi con l'avvento dei computer, ha permesso una rilettura di antichi problemi mai del tutto risolti o accantonati poiché troppo spinosi e apparentemente poco interessanti. Mandelbrot, Barnsley, Julia, Lorenz sono solo alcuni dei grandi artefici di questa rivoluzione che dagli ultimi trent'anni sta scuotendo il panorama scientifico nel senso più largo del termine.

Iterazione

Consideriamo una semplice funzione di secondo grado: una parabola nel piano cartesiano xOy con vertice sull'asse y.

y = x² + c

x = y

Consideriamo poi la funzione identica y = x, che ci sarà utile per poter applicare ricorsivamente la prima equazione.

Iterazione

La nostra funzione associa ad ogni numero reale x, un numero calcolato in base alla relazione stabilita: possiamo considerare la funzione come una macchina che, inserito un numero x, ci dia come risultato il valore di x elevato al quadrato più una costante c, definita inizialmente.

f: x → x² + c

Iterazione

f: x → x² + c

ℝ → ℝ

f: Abbiamo così una funzione che associa ad ogni numero reale un altro numero sempre appartenente ai reali.

Iterazione

x, f(x), f²(x), f³(x), ..., fⁿ(x), ...

Partendo da un numero iniziale x, ed applicando di volta in volta la nostra funzione al risultato dell'iterazione precedente, otteniamo una serie di valori, dipendenti dal punto che abbiamo scelto come inizio; tale serie prende il nome di orbita della funzione f di valore iniziale x.

Iterazione

Scegliamo ora una particolare funzione, ovvero assegniamo un valore ben definito alla costante c; ad esempio fissiamo la condizione c = 0. In questo modo, l'orbita ottenuta applicando ripetutamente la funzione ad un punto iniziale x per infinite volte, risulterà necessariamente seguire uno dei tre comportamenti qui accanto, in base all'intervallo in cui abbiamo scelto x.

f: x → x² + c

c = 0

lim_{n → ∞} fⁿ =

∞, per |x| > 1

1, per |x| = 1

0, per |x| < 1

Iterazione

Possiamo distinguere due tipi principali di comportamenti: bacini (sink), il cui valore è raggiunto a partire da molti valori di x...

...e sorgenti (source), punti in cui la funzione tende ad avvicinarsi solo per determinati (pochi) valori di x, ma da cui si allontana anche cambiando di poco la scelta iniziale di x.

f: x → x² + c

c = 0

Sink source

∞, per |x| > 1

lim_{n → ∞} fⁿ = 1, per |x| = 1

0, per |x| < 1

Iterazione

Osserviamo cosa accade al grafico della parabola al variare della scelta di c, confrontandola con la funzione identica y = x: abbiamo 0, 1 o 2 punti in comune rispettivamente con c > 1/4, c = 1/4 e c < 1/4.

1/4 < c, c = 1/4, 1/4 > c

Biforcazione

Proviamo ad analizzare il comportamento dell'iterazione infinita di una funzione, partendo dal suo grafico: disegniamo la parabola e la bisettrice del I e III quadrante.

Partendo da qui, muoviamoci in direzione dell'asse y fino a intersecare la nostra parabola.

A questo punto, muoviamoci in direzione dell'asse x, questa volta fermandoci incontrando la bisettrice.

Scegliamo poi un punto di partenza x a piacere, ad esempio l'origine del piano cartesiano.

Ripetiamo poi il procedimento infinite volte sempre allo stesso modo.

c = 1/4

Quello che osserviamo è il comportamento all'infinito della nostra orbita: nel caso c = 1/4, per qualunque scelta iniziale di x, l'orbita converge sempre nello stesso punto, che è pertanto un attrattore dell'orbita stessa.

Biforcazione

Per c = −3/4 abbiamo ugualmente un punto attrattivo.

c = −3/4

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