Logico o Illogico tesina

dell’arte surrealista, che si sono concentrati più sulla descrizione dell’inconscio e

dei suoi elementi paradossali, e Quest’ultimo autore in

Maurtis Cornelis Escher.

particolare ha concentrato tutta la sua attività nella creazione di illusioni visive,

anche servendosi dell’aiuto della matematica, di cui era un fervido appassionato.

Maurits Cornelis Escher - Autoritratto

5 Coesistenza di opposti:

Il paradosso in Filosofia

IL PRIMO ESEMPIO DI PARADOSSO: “IL MENTITORE”

Usualmente si riconduce la nascita del paradosso logico a Epimenide di Creta

il quale, Cretese egli stesso, si ritrovò ad affermare “I Cretesi sono bugiardi”.

Ora, se si considera la frase non a livello di rigida proposizione logica, ma co-

me semplice constatazione informale, non esiste alcuna contraddizione in quanto

descrive uno stato di cose che per forza non deve essere vero o falso. I

del tutto

problemi cominciano ad sorgere se maggiormente l’affermazione

formalizziamo

di Epimenide, magari tramite un (tutti, infatti

quantificatore universale nessuno):

se consideriamo l’affermazione

Epimenide di Creta

(fig.sopra): è stato uno “Tutti i cretesi sono bugiardi”

scrittore e un filosofo

greco vissuto tra il VIII e la assumiamo come verità assoluta ci rendiamo immediatamente conto di

e il VII secolo a.C una profonda incoerenza fra l’essere Cretese di Epimenide e la sua affermazione.

Se infatti è vero che tutti i cretesi sono mentitori allora anche Epimenide do-

vrebbe dire solo bugie ed in particolare sarebbe una bugia la frase: “Tutti i

cretesi sono bugiardi". Ma se fosse così allora non sarebbe più vero che tutti i

cretesi sono bugiardi e quindi neppure Epimenide lo sarebbe perciò direbbe la ve-

rità quando afferma che tutti i cretesi sono bugiardi e così via all'infinito.

Di conseguenza non è possibile decidere se Epimenide dica o no la verità, o

meglio, contemporaneamente le possibilità di verità e falsità

coesistono

dell’affermazione.

Esistono innumerevoli versioni di questo elementare paradosso:

(1) “Questa frase è falsa”

Qui il problema è lo stesso, ma è spostato su un piano di in

autoreferenzialità

quanto l’affermazione si riferisce direttamente a se stessa affermandone la falsità,

la quale viene a sua volta smentita dal suo stesso significato, in un circolo vizioso

che molto ha in comune con la versione di Epimenide. Sono proprio enunciati di

questo tipo che alle porte del Novecento produssero la cosiddetta Crisi della

Grande Logica ed avviarono il pensiero logico verso una nuova concezione di

formalismo, di cui parleremo in seguito.

(2)

Portando la questione “nella vita reale” (anche se il paradosso a livello intellet-

tuale e logico è il medesimo), Philip Jourdain, per spiegare praticamente il para-

dosso adotta questo esempio: scrivere su un lato di un biglietto la frase “La propo-

mentre sull’altro “La

sizione scritta sull'altro lato di questo biglietto è vera”, proposizione

Ogni frase si riferisce all’altra all’infinito in

sull'altro lato di questo biglietto è falsa”.

quello che Douglas Richard Hofstadter definisce Osserveremo in se-

strano anello.

guito come questi strani anelli sono utilizzati nell’ambito dell’arte figurativa.

6

PROPOSTE DI SOLUZIONE

Esiste una semplice ed evidente via d’uscita, sviluppata di recente e a

cui è stato dato il nome di “dialettismo”, la quale è in grado di com-

prendere tutti i paradossi che finiscono con una contraddizione. Questi

paradossi vengono dissolti permettendo che le contraddizioni siano en-

e e sostenendo che è del tutto razionale accettarle.

trambe vere false

Questo atteggiamento sembra più paradossale degli stessi casi che in-

tende trattare, e sembra che faccia violenza alle nostre nozioni di verità

e falsità. Il dialettismo è stato difeso con grande ingegnosità, anche se

non sorprende che debba ancora convincere molti logici.

Una soluzione più interessante, anche se anch'essa non risolutiva, fu

data nel 1969 da Alfred Tarski, il quale sottolineò l’importanza dello

stabilire una gerarchia di livelli del linguaggio. Oltre al linguaggio co-

mune, il quale si riferisce essenzialmente alla realtà o comunque a cose

esterne ad esso, vi sono quindi anche dei i quali si rife-

meta-linguaggi,

(Var-

Alfred Tarski riscono alle proposizioni dei linguaggi di livello a loro inferiori. L’idea

savia 1902 – Berkley di base è Ad e-

l’impossibilità di un enunciato di riferirsi a se stesso.

1983) è stato un ma- sempio, considerando come proposizione di base “Parigi è la capitale del-

tematico, logico e fi-

losofo polacco. E’ si può affermare la sua veridicità solamente ad un livello su-

la Francia”

considerato uno dei periore il quale affermerà ‘“Parigi e così

è la capitale della Francia” è vero’

maggiori logici della via salendo sempre più di livello. Ciò permette di non fare confusione

storia accanto a Gö- fra i vari livelli del linguaggio: facendo così la contraddizione di Epi-

del e Russel. menide non esiste più in quanto la proposizione si parla è di-

con cui

versa da quella si parla. Tarski afferma anche che è proprio da

di cui

questa ambiguità fra i linguaggi che nascono paradossi di tal genere.

LOGICA VS APPARENZA: I PARADOSSI DI ZENONE

Nella storia del paradosso, probabilmente uno dei contribuiti più importanti ce

lo ha fornito Zenone di Elea, filosofo presocratico e allievo di Parmenide. L’idea

basilare della sua filosofia, ripresa chiaramente del suo maestro, si basa sul

ritenere la realtà composta essenzialmente da un essere unico ed immutabile.

Quest’idea entra immediatamente in che noi

contraddizione con la percezione

abbiamo della realtà, e cioè un insieme complesso e mutabile di elementi.

La risposta che Zenone ci fornisce riguardo questa contraddizione è che il

e per avvalorare la

movimento e la molteplicità non sono altro che illusioni,

propria tesi utilizza una serie di dimostrazioni logico-matematiche che portano,

appunto, a questo risultato paradossale.

Si può notare già in Zenone, quindi, l’utilizzo del paradosso come strumento

per avvalorare o confutare una o più tesi, cosa che vedremo in

di dimostrazione

seguito avvenire anche nella filosofia di Immanuel Kant.

(489

Zenone di Elea

a.C – 431 a.C) è sta- Attualmente, comunque, non si attribuisce valore fisico alle affermazioni di

to un filosofo greco Zenone, ma la loro influenza è stata grande nello sviluppo non solo del pensiero

presocratico, mem- filosofico e matematico, ma anche della letteratura, come nel caso di Lewis

bro della scuola ele- Carroll.

atica fondata da

Parmenide. In totale i paradossi di Zenone sono sei, due contro il pluralismo e quattro

contro il movimento: 7

Contro il pluralismo:

Il primo paradosso, contro la pluralità delle cose, sostiene che

1. se le co-

esse sono

se sono molte, allo stesso tempo un numero finito e un nu-

sono finite in quanto esse sono né più né meno di quan-

mero infinito:

te sono, e infinite poiché tra la prima e la seconda ce n'è una terza e co-

sì via.

2. Il secondo paradosso invece sostiene che se le unità non hanno

le cose da esse composte mentre

grandezza, non avranno grandezza,

le cose composte da infinite u-

se le unità hanno una certa grandezza,

nità avranno una grandezza infinita.

Contro il movimento:

3. (Lo Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno

stadio)

stadio ma prima di rag-

senza prima aver raggiunto la metà di esso,

giungerla si dovrà raggiungere la senza

metà della metà e così via

quindi mai riuscire nemmeno ad iniziare la corsa.

4. (Achille Probabilmente il più famoso dei paradossi ze-

e la Tartaruga)

noniani, afferma che se Achille (detto "pie' veloce") venisse sfidato da

una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di van-

taggio, egli dato che Achille do-

non riuscirebbe mai a raggiungerla,

vrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla

tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova

posizione che la farà essere quando poi Achille

ancora in vantaggio;

raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata

precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le

posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza

tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente

non arriverà mai ad essere pari a zero.

piccolo

Matematicamente:

posto che la velocità di Achille sia N volte quella della tartaruga

le cose avvengono così:

dopo un certo tempo Achille arriva dove era la tartaruga alla

partenza .

nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si

trova nel punto .

occorre un ulteriore tempo per giungere in .

ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto ... e così via.

Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo

e quindi non la raggiungerà mai.

5. (La Il terzo argomento è quello della freccia, che appare in

freccia)

movimento ma, in realtà, è immobile. In ogni istante difatti essa occu-

8

perà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il

tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà im-

Da una somma di istanti immobili, quindi,

mobile in ognuno di essi.

non può derivare alcun movimento.

(Due Consideriamo infatti tre segmenti (A, B, C)

6. masse nello stadio)

uguali e paralleli, che si trovino allineati. Supponiamo poi che il seg-

mento in alto (A) si muova verso destra, rispetto a quello situato nel

centro (B) che resta fermo, e che per ogni istante elementare avanzi di

un intervallo (elementare). Il segmento in basso (C) faccia invece la

stessa cosa verso sinistra. Dopo il primo istante avremo che i punti ini-

ziali di A e C si saranno allontanati di due intervalli. Ma ciò è assurdo

perché allora il tempo che avrebbero impiegato per allontanarsi di un

contraddicendo l'ipotesi

solo intervallo sarebbe di "mezzo istante",

che stiamo analizzando la situazione al primo istante (indivisibile).

UN SISTEMA INADEGUATO

A questo punto è doverosa una riflessione sul vero ruolo che questi paradossi

sono chiamati a giocare nella filosofia di Zenone. Il filosofo greco è perfettamen-

te consapevole del fatto che le proprie dimostrazioni non hanno alcun riscontro

nella realtà, ma esse non mirano a mostrare quest’ultima come paradossale e ir-

razionale, anzi, tutt’altro.

Esse non vogliono il moto in sé, ma

confutare la sua formalizzazione mate-

constatando (nel caso specifico

matica, l'inadeguatezza di un sistema formale

quella di un insieme numerico denso come R) (il

nel descrivere la realtà fisica

tempo e lo spazio). Infatti anche al giorno d'oggi con l'analisi infinitesimale non

possiamo che confermare che prima che Achille raggiunga la tartaruga dovranno

passare infiniti istanti.

Maurits Cornelis Escher - Encounter

9 Il brusco risveglio da un sogno:

Incoerenza paradossale in Matematica e Logica

LA RICERCA DEL SISTEMA PERFETTO

L'esigenza di fondare la matematica in modo rigorosamente formale, così da

porre le sue basi al riparo da tutte le possibili contraddizioni, si manifestò per la

prima volta nella come conseguenza del grande

seconda metà dell'Ottocento

impulso ricevuto dalla formalizzazione in vari campi della matematica, attuato

da figure come Giuseppe Peano, riguardo l’assiomatica dei Numeri Naturali e

Richard Dedekind, riguardo la continuità dell’insieme dei Numeri Reali.

In questo senso sono emblematiche le parole del matematico e filosofo tedesco

Gottlob Frege:

« Dopo essersi allontanata per lungo tempo dal rigore euclideo, la matematica è tornata

ad esso e tende anzi a superarlo. Oggi si richiede pertanto una dimostrazione di molte pro-

prietà che prima erano ritenute evidenti; anzi, questo è in molti casi il solo modo di scoprire

(1848 -

Gottlob Frege i limiti della loro validità. I concetti di funzione, di continuità, di limite, di infinito, hanno

1925) è stato un logi- necessità di una più precisa determinazione;

rivelato la il numero negativo e l'irrazionale,

co matematico e filo-

sofo tedesco. E’ rite- già da lungo tempo entrati a far parte della matematica, hanno dovuto essere sottoposti a