Libertà di espressione

uno dei laboratori in cui si eseguono gli ideali esperimenti scientifici del Dialogo, e

il fatto che su di essa la vita si svolga nella stessa identica maniera che sulla

Terra, ad esempio per quanto riguarda la caduta di una palla di piombo o il volo di

un insetto, dimostra la relatività galileiana: il fatto, cioè, che le leggi della

meccanica sono invarianti rispetto a sistemi in moto uniforme, che risultano

dunque indistinguibili fra loro da questo punto di vista.

Tre secoli dopo Albert Einstein userà analogamente treni e ascensori per

argomentare a favore, rispettivamente, delle relatività speciale e generale: il

fatto, cioè, che anche le leggi dell' elettromagnetismo sono invarianti rispetto a

sistemi in moto uniforme, e che gravitazione e accelerazione producono effetti

indistinguibili fra loro.

Ma niente dimostra meglio la differenza tra le metafore fini a se stesse della

letteratura d'evasione, e quelle mirate a uno scopo della letteratura di

divulgazione, dell'uso che Galileo fa della Luna nel suo Dialogo.

Prima di lui, il viaggio sul nostro satellite e la sua geografia appartenevano infatti

al genere fantasy, e i viaggi spaziali erano sorretti da inverosimili propulsioni. Con

la prima giornata del Dialogo, la Luna invece cambia faccia. O meglio, mostra per

la prima volta il suo vero volto, con i monti e le valli che il cannocchiale ha

permesso di scoprire, e appare come la conosciamo oggi grazie alle foto dei

telescopi, dei satelliti e degli astronauti. E anche meglio, perché né Galileo, né il

più o meno contemporaneo Keplero, autore di quel primo romanzo di fantascienza

che è il Somnium, hanno avuto bisogno di recarsi là di persona, per capire come

si sarebbe vista la Luna dalla Terra, con variopinti risultati che superano ogni

sbiadita invenzione poetica.

Da un lato, infatti, la Terra ha, nel cielo della Luna, fasi uguali e contrarie a quelle

che la Luna ha nel cielo della Terra.

Dall' altro lato, poiché la Luna mostra sempre la stessa faccia alla Terra,

quest'ultima si può vedere soltanto dalla faccia visibile della Luna; e dove si vede,

appare fissa nel cielo. Il che significa che chi si trovi sulla faccia visibile della Luna

in un periodo di Terra piena, può osservare «questo globo fatal», immobile nel

cielo lunare, ruotare su se stesso nel corso di 24 ore: una meravigliosa

dimostrazione visiva del moto di rotazione terrestre, I poeti dell' inconscio,

invece, della Luna sanno soltanto una cosa: che c' è.

Ma anche quelli dilettanti di astronomia non sanno molto di più, visto che persino

il Leopardi amante di Galileo e amato da Calvino continuava a scrivere ignaro nel

1819 che la Luna «da nessuno cader fu vista mai se non in sogno», benché fin dal

1687 Isaac Newton avesse non solo composto il verso che «la Luna cade

continuamente verso la Terra», ma aveva anche calcolato esattamente di quanto

essa cade: fatte le debite proporzioni, esattamente della stessa quantità di cui

cade una mela nello stesso tempo qui da noi.

Dunque, di conseguenza, «la forza con cui la Luna è trattenuta nella sua orbita è

quella stessa forza che chiamiamo comunemente gravità e che oggi grazie al suo

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contributo conosciamo bene e siamo anche in grado di calcolarla

matematicamente tramite una formula, enunciata poi da Newton:

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F = G mM/r

Newton suggerì che una forza di gravitazione "universale" F esistesse tra due

masse m e M, diretta da una verso l'altra, proporzionale alla massa di ciascuna e

inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r. 9

Matematica

Johann Carl Friedrich Gauss

(Braunschweig, 30 aprile 1777 - Gottinga, 23 febbraio1855)

La copertina delle Disquisitiones

Arithmeticae

Gauss è un altro esempio per capire l’importanza della libertà d’espressione.

Come enunciato nella premessa, ogniqualvolta qualcuno manifesta le proprie

opinioni, nella società si attivano automaticamente meccanismi repressivi. In

questo caso il problema sta nell’abitudine di dare valore assoluto a tesi ritenute

dogmi indiscutibili.

Il pensiero

Il pensiero di Gauss era in contrasto con le teorie kantiane all’epoca considerate

inamovibili.

Gauss sosteneva l’importanza dell’approccio empirico ai fondamenti della

geometria che delega alla nostra esperienza nello spazio il compito di indicarci i

veri assiomi geometrici.

Esso era tuttavia in netto contrasto con le idee sulla conoscenza in voga in quel

periodo, in primis con la filosofia Kantiana. – Lo spazio non è un concetto

empirico, ricavato da esperienze esterne [...]; è una rappresentazione necessaria

a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne -, scriveva

Immanuel Kant nella sua Critica della ragion pura, un’opera che ha costituito un

momento di svolta nel pensiero filosofico occidentale e il punto di partenza per le

future speculazioni filosofiche.

E continuava – se questa rappresentazione dello spazio fosse un concetto

raggiunto a posteriori, risultante dalla generale esperienza esterna, i primi principi

della matematica risulterebbero accidentali, e non sarebbe perciò necessario che

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fra due punti ci sia una sola retta, ma dovrebbe insegnarcelo ogni volta di nuovo

l’esperienza -.

Un modo di pensare che ostacolò la nascita della geometria non euclidea e ne

ritardò l’affermazione negli ambienti non accademici. Solamente verso la fine

dell’Ottocento essa fu infatti universalmente accettata e considerata un soggetto

interessante per la ricerca. Vi era anche un altro problema che impediva la

diffusione della nuova geometria: il fatto che la geometria non euclidea non

trovava alcuna applicazione a campi della matematica ritenuti interessanti, nè era

mai stata impiegata nella risoluzione dei problemi aperti.

La geometria non euclidea

Accanto alle varie difficoltà accademiche e filosofiche che si opponevano al

successo della geometria non euclidea, vi era poi la consuetudine, vecchia di oltre

2000 anni, di considerare la geometria euclidea come la vera geometria dello

spazio, l’unica che fosse in grado di rappresentare il mondo in cui viviamo; di

conseguenza gli altri tipi di geometrie apparivano come meri giochi logici e

venivano messe al bando. Del resto, come Gauss avrebbe mostrato nelle

Disquisitiones Generales, la geometria euclidea si dimostrava sufficientemente

accurata anche per analizzare le questioni geodetiche e costituiva, pertanto, uno

strumento adeguato per rappresentare la realtà fisica o, almeno quella parte di

essa che allora poteva sottoporsi a verifiche sperimentali.

Anche per questi motivi Gauss non pubblicò mai nulla sulla geometria non

euclidea: forse temeva – le strida dei beoti -, come scrisse in una lettura.

Questo lo costrinse a non pubblicare le proprie tesi, salvo poi scoprire che ciò era

stato fatto da un altro.

Gauss rifletté sulla validità dei fondamenti della geometria,(geometria euclidea).

All’amico Bolyai che gli comunicava di aver “dimostrato” il V postulato di Euclide,

Gauss cosi rispondeva nel dicembre del 1799, - io stesso mi sono addentrato in

questo campo (sebbene le mie attività eterogenee non mi abbiano lasciato molto

tempo per tali questioni). Ma il modo in cui ho proceduto non mi conduce

all’obiettivo sperato, lo stesso obiettivo che tu dichiari di aver raggiunto, ma mi

porta piuttosto a dubitare della validità della geometria [euclidea]. Ho certo

ottenuto dei risultati che la maggior parte delle persone considererebbe come

prove, ma che ai miei occhi non dimostrano nulla-

I risultati di Gauss, cosi come la prova di Bolyai, erano infatti dedotti da enunciati

equivalenti al V postulato di Euclide, forse più immediati e intuitivi, ma che non

costituivano alcun nuovo contributo verso la risoluzione del problema cruciale: la

dimostrazione del postulato delle parallele a partire dagli altri postulati e

assiomi euclidei.

Di fronte alle insistenze dell’amico, che era speranzoso di essere riuscito a trovare

la vera dimostrazione del V postulato euclideo, Gauss scriveva a Bolyai il 5

novembre 1804 -se vuoi la mia franca e sincera opinione, il tuo metodo non mi

soddisfa ancora. Cercherò di mostrarti il punto critico della tua prova (che

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appartiene allo stesso genere di ostacoli che rendevano inutili anche i miei sforzi)

nel modo più chiaro possibile-.

Altre corrispondenze, in particolare quelle con Ferdinand Karl Sweikart (1780-

1859) e col nipote di questi Franz Adolph Taurinus (1794-1874), mostrano come

già nel corso del primo decennio dell’800, Gauss si fosse addentrato nel campo di

una nuova geometria, quella che più tardi Nicolaij Lobachevskij avrebbe

denominato geometria iperbolica, ma che già molti anni prima di lui Schweicart

aveva battezzato geometria astrale. Il nome astrale per questo tipo geometria, in

seguito adottato anche da Gauss, ha origine proprio da un lavoro di Schweikart

del 1807 dove si osserva che la geometria euclidea potrebbe anche cessare di

esistere per distanze cosmiche e che la geometria astrale prenderebbe il suo

posto.

Un simile punto di vista sarebbe stato espresso nel 1835 dallo stesso Lobacheskij,

il quale in conclusione dei suoi calcoli astronomici, sul triangolo Terra-Sole-Sirio

affermava –Pertanto a prescindere dal fatto che nella nostra immaginazione lo

spazio può essere ampliato senza limiti, la natura stessa ci indica distanze tali, in

paragone alle quali svaniscono per la loro piccolezza perfino le distanze fisse della

nostra terra-.

Dunque, sebbene la geometria euclidea rappresenti in maniera accurata lo spazio

percepito dai nostri sensi, -non si può garantire che [...] [essa] non possa

mostrarsi sensibilmente falsa anche prima di andare al di la del mondo visibile-.

Nel 1831, nonostante le sue perplessità sull’opportunità di rendere pubblici i

risultati ottenuti sulla geometria astrale e all’insaputa dei lavori già pubblicati da

Lobachevskij sullo stesso argomento, Gauss iniziò a redigere degli appunti

riguardanti la nuova geometria. Essi furono poi ritrovati tra le sue carte. Ma i suoi

sforzi risultarono vani: infatti, nel 1832 gli capitò tra le mani il Tentamen, l’opera

geometrica di Bolyai la cui appendice, redatta dal figlio Janos (1802 – 1860),

conteneva un’accurata trattazione della geometria assoluta, ossia di quella

geometria che non dipende dal quinto postulato euclideo.

Già in una lettera del 3 novembre 1823, Janos aveva confidato al padre

l’intenzione di formulare una geometria indipendente dal quinto postulato

euclideo: - sono ormai risoluto a pubblicare un’opera sulla teoria delle parallele,

appena aveò ordinato il materiale e le circostanze me lo permetteranno. Non l’ho

ancora fatto ma la via che ho seguito ha certamente, per così dire, quasi

raggiunto scopo; lo scopo ancora non è raggiunto ma ho scoperto cose così belle

che ne sono rimasto abbagliato e si dovrebbe sempre rimpiangere se andassero

perdute. Quando lo vedrete, lo riconoscerete pure voi. Nell’attesa non vi posso

dire altro che questo: ho dal nulla creato un nuovo universo -. Il padre pensò

subito di accogliere lo scritto del figlio nel suo Tentamen.

Quando, nel gennaio del 1832, il Tentamen fu inviato a Gauss, questi poche

settimane dopo scriveva entusiasta a Farkas Bojlai: - se comincio col dire che non

posso lodare questo lavoro [l’Appendice redatta da Janos], tu certamente per un

istante resterai meravigliato. Ma non posso fare altro: lodarlo sarebbe lodare me

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stesso; infatti tutto il contenuto dell’opera la via spianata da tuo figlio, i risultati ai

quali egli fu condotto coincidono quasi interamente con le mie meditazioni che

hanno occupato in parte la mia mente da 30-35 anni a questa parte -. E

aggiungeva: - avevol’idea di scrivere, con il tempo, tutto ciò perchè esso non

perisse con me. E’ dunque per me una gradevole sorpresa vedere che questa

fatica può essermi risparmiata e sono estremamente contento che proprio il figlio

del mio vecchhio amico mi abbia preceduto in modo così notevole -.

Gli assiomi

Gauss fu uno dei primi a capire, che per stabilire i teoremi che rappresentano la

verità matematica, l’unica cosa che conta sono gli assiomi. L’esperienza e le