la sezione aurea

Scuola militare aeronautica

“Giulio Douhet”

Firenze

Anno scolastico 2008/2009

La sezione aurea

Tra matematica, arte e natura

“Uomo Vitruviano” –

1490 Leonardo da Vinci

Michelangelo Capriello

Classe V sez. A

Liceo scientifico

La Sezione Aurea Allievo Capriello Michelangelo Pagina 1

A coloro che hanno condiviso

con me questa meravigliosa

esperienza…

…grazie!!

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Indice

• Introduzione……………………………………….pag.4
• Proprietà algebriche
• Sorprese matematiche…………………………..pag.5
• Fibonacci e la sezione aurea……………………pag.8
• Proprietà geometriche
• Pentagono e sezione aurea……………………..pag.10
• Il rettangolo aureo e la sezione aurea………pag.11
• La spirale logaritmica……………………………pag.11
• Manifestazione spirale in natura……………..pag.12
• Le Corbusier e il Modulor………………………pag.13
• Il Partenone e la sezione aurea………………..pag.14
• Conclusioni…………………………………………pag.15
• Bibliografia e sitografia…………………………pag.16

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“… tra tutti i popoli, nessuno ha

sognato meglio dei greci il sogno

dell’esistenza.” J. W. von Goethe

Introduzione

Spesso accade che le suggestioni di massa e le illusioni ci trascinino nei loro vortici, sviluppando in noi la voglia di conoscere, di spingerci oltre la linea dell’ignoto e di sfidare fenomeni che crediamo giganteschi rispetto a noi.

La tanto reiterata quanto involontaria presenza in natura e nelle opere umane di proporzioni, dimensioni e rapporti, ha fatto in modo che in quasi tremila anni l’uomo abbia maturato l’ennesima illusione, la più precisa. Essa prende il nome di “sezione aurea”, nonostante la storia della matematica l’abbia conosciuta sotto diverse identità e sembianze.

Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, questa proporzione divina (o sezione aurea) è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all’architettura, dalla pittura alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811… (numero d’oro).

In matematica infatti, che non è solo formule e calcoli, esiste un piccolo gruppo di numeri particolari che ricorrono spesso, attirando la nostra attenzione e risvegliando la nostra curiosità. Il (π) pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio più noto di questi è il pi greco qualsiasi. Meno noto di pi greco è Φ (phi), un numero per molti versi ancora più misterioso. Questo il nome dall’iniziale del nome del grande scultore Fidia, può sembrare strano, numero, che prende ma è condiviso in varie realtà disparate ed è definito con parole che alludono all’oro, al nobile, al prezioso: «numero aureo», «rapporto aureo» e «sezione aurea».

La prima chiara definizione del rapporto che sarebbe stato chiamato «aureo» fu formulata dal fondatore della geometria: Euclide.

Egli visse ad Alessandria ed è l’autore del più celebre trattato di storia della matematica, gli

L’opera,

Elementi (Stoichia). che cerca di compendiare gran parte delle conoscenze matematiche del suo tempo, nomina e definisce più volte il rapporto aureo. La definizione di Euclide (nel Libro VI) di «proporzione estrema e media» consiste in questo: che il rapporto (segmento maggiore)/(segmento minore) è uguale al rapporto (intera linea)/(segmento maggiore):

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Figura 1

Avremo quindi: AC/CB=AB/AC

Chi avrebbe immaginato che questa sezione dall’aspetto innocuo, definita da Euclide a fini esclusivamente geometrici, avrebbe avuto conseguenze in rami dello scibile che vanno dallo studio degli ammassi di galassie in astronomia, alla matematica pura fino alla critica d’arte?

Le ragione dell’interesse dei greci per il rapporto aureo sono diverse, ma esso non avrebbe il prestigio e l’aura quasi mistica da cui infine è stato circondato senza l’aiuto di alcune ulteriori proprietà algebriche. Ma per comprendere tali proprietà, è necessario determinare il preciso valore di Φ.

Per fare ciò torniamo alla Figura 1 della sezione aurea; niente ci vieta di scegliere per unità di misura della lunghezza il segmento più breve, CB. La lunghezza del segmento maggiore, AC, sarà quindi x volte CB, dove x è un fattore sconosciuto. Dire che la nostra linea è divisa secondo la proporzione estrema e media equivale, per definizione, ad affermare che x sta a 1 come x+1 (la lunghezza di AB) sta a x. È facile risolvere rispetto a x la seguente uguaglianza:

Svolgendo la proporzione diventa:

e spostando il secondo membro a sinistra, si ottiene la semplice equazione di secondo grado:

Le due soluzioni del rapporto aureo sono:

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√ 5) 1,6180339887…

La soluzione positiva, x = (1 + / 2, fornisce il valore del rapporto aureo:

1

E' facile, a questo punto, constatare che Φ è irrazionale, essendo semplicemente la metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5. Prima ancora di procedere, potete convincervi del fatto che questo numero ha davvero delle proprietà singolari utilizzando una semplice calcolatrice tascabile.

2

Digitate 1,6180339887... e premete il tasto per elevare al quadrato (x ). Non notate niente di singolare? Ora digitate la stessa sequenza di cifre, e premete il pulsante della divisione (1/x).

Curioso, vero? Il quadrato di 1,6180339887... è 2,6180339887..., mentre il suo reciproco (1/1,6180339887...) è 0,6180339887... Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse! Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno, e un reciproco uguale a se stesso meno uno. Per inciso, la soluzione negativa dell'equazione x = (1 -

2

√5) / 2 è pari al negativo di 1/Φ.

Proprietà algebriche e sorprese matematiche

La matematica, e il rapporto aureo in particolare, sono ricchi di «belle sorprese», ad esempio:

si immagini di tentare di determinare il valore della seguente, inconsueta espressione consistente in radici quadrate che si succedono indefinitamente:

Possiamo sperare di calcolare il valore di un'espressione simile? Un modo piuttosto goffo di

√(1 + √1) √2, cioè 1,414...; quindi

avvicinarsi al suo valore potrebbe consistere nel calcolare cioè

calcolare √(1 √(1 √1)

+ + cioè 1,554..., sperando che la serie di valori «converga» (cioè si avvicini progressivamente) a qualche numero. Ma c'è un altro modo, più elegante, di trovare il valore della nostra espressione. Sia x il valore che stiamo cercando. Possiamo scrivere:

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2

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione. Il quadrato di x è x , mentre il quadrato del membro di destra si ottiene eliminando il segno di radice più a sinistra. Possiamo quindi scrivere:

Si noti però che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro x originario. Perciò:

2

x = 1 + x. Ma questa è l'equazione del rapporto aureo! Quindi, la nostra espressione senza fine è uguale a Φ.