la sezione aurea

Figura 1

Avremo quindi: AC/CB=AB/AC

Chi avrebbe immaginato che questa sezione dall’aspetto innocuo, definita da Euclide a fini

esclusivamente geometrici, avrebbe avuto conseguenze in rami dello scibile che vanno dallo studio

degli ammassi di galassie in astronomia, alla matematica pura fino alla critica d’arte?

Le ragione dell’interesse dei greci per il rapporto aureo sono diverse, ma esso non avrebbe

il prestigio e l’aura quasi mistica da cui infine è stato circondato senza l’aiuto di alcune

raggiunto

ulteriori proprietà algebriche. Ma per comprendere tali proprietà, è necessario determinare il

preciso valore di Φ.

Per fare ciò torniamo alla Figura 1 della sezione aurea; niente ci vieta di scegliere per unità di

misura della lunghezza il segmento più breve, CB. La lunghezza del segmento maggiore, AC, sarà

quindi x volte CB, dove x è un fattore sconosciuto. Dire che la nostra linea è divisa secondo la

proporzione estrema e media equivale, per definizione, ad affermare che x sta a 1 come x+1 (la

lunghezza di AB) sta a x. È facile risolvere rispetto a x la seguente uguaglianza:

Svolgendo la proporzione diventa:

e spostando il secondo membro a sinistra, si ottiene la semplice equazione di secondo grado:

Le due soluzioni del rapporto aureo sono:

La Sezione Aurea Allievo Capriello Michelangelo Pagina 5

√ 5) 1,6180339887…

La soluzione positiva, x = (1 + / 2, fornisce il valore del rapporto aureo:

1

E' facile, a questo punto, constatare che Φ è irrazionale, essendo semplicemente la metà della

somma di 1 e della radice quadrata di 5. Prima ancora di procedere, potete convincervi del fatto che

questo numero ha davvero delle proprietà singolari utilizzando una semplice calcolatrice tascabile.

2

Digitate 1,6180339887... e premete il tasto per elevare al quadrato (x ). Non notate niente di

singolare? Ora digitate la stessa sequenza di cifre, e premete il pulsante della divisione (1/x).

Curioso, vero? Il quadrato di 1,6180339887... è 2,6180339887..., mentre il suo reciproco

(1/1,6180339887...) è 0,6180339887... Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse! Il

rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno, e

un reciproco uguale a se stesso meno uno. Per inciso, la soluzione negativa dell'equazione x = (1 -

2

√5) / 2 è pari al negativo di 1/Φ.

La matematica, e il rapporto aureo in particolare, sono ricchi di «belle sorprese», ad esempio:

si immagini di tentare di determinare il valore della seguente, inconsueta espressione consistente in

radici quadrate che si succedono indefinitamente:

Possiamo sperare di calcolare il valore di un'espressione simile? Un modo piuttosto goffo di

√(1 + √1) √2, cioè 1,414...; quindi

avvicinarsi al suo valore potrebbe consistere nel calcolare cioè

calcolare √(1 √(1 √1)

+ + cioè 1,554..., sperando che la serie di valori «converga» (cioè si

avvicini progressivamente) a qualche numero. Ma c'è un altro modo, più elegante, di trovare il

valore della nostra espressione. Sia x il valore che stiamo cercando. Possiamo scrivere:

La Sezione Aurea Allievo Capriello Michelangelo Pagina 6

2

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione. Il quadrato di x è x , mentre il

quadrato del membro di destra si ottiene eliminando il segno di radice più a sinistra. Possiamo

quindi scrivere:

Si noti però che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro x originario. Perciò:

2

x = 1 + x. Ma questa è l'equazione del rapporto aureo! Quindi, la nostra espressione senza fine è

uguale a Φ. Occupiamoci ora di un tipo molto diverse di espressioni senza fine, questa volta

basato sulle frazioni invece che sulle radici quadrate:

Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come «frazioni continue», di

uso piuttosto frequente nella teoria dei numeri. Come calcolare il valore della suddetta frazione

continua? Come in precedenza, potremmo interrompere il calcolo dopo un numero abbastanza

alto di iterazioni, sperando di trovare il valore verso il quale la frazione continua converge. Ma

potremmo ispirarci per analogia anche al secondo metodo. In questo caso, il passo iniziale

consisterebbe nell'indicare con x il valore della frazione, scrivendo:

Si noti che siccome la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra

dell'equazione è uguale a x stesso. L'equazione può quindi essere scritta:

La Sezione Aurea Allievo Capriello Michelangelo Pagina 7

2

Moltiplicando ambo i membri per x, otteniamo x = x + 1, cioè, ancora una volta, la formula del

frazione continua è uguale a Φ.

rapporto aureo! Quindi, anche questa notevole

Poichè la frazione continua corrispondente al rapporto aureo non contiene numeri al di fuori di 1,

converge molto lentamente. In un certo senso il rapporto aureo «resiste» alla propria espressione

sotto forma di frazione più di qualunque altro numero irrazionale, e, da questo punto di vista,

deve essere considerato «il più irrazionale» degli irrazionali.

Se ancora non vi impressiona che tutte le circostanze matematiche descritte siano riconducibili a

Φ, fate la seguente prova: scegliete due numeri qualunque e scriveteli uno dopo l'altro. Ricavate

un terzo numero semplicemente sommando i primi due; poi un quarto numero, sommando il

secondo e il terzo; un quinto, sommando il terzo e il quarto; un sesto, sommando il quarto e il

quinto; e così via fino a ottenere una serie di venti numeri. Per esempio, se i primi due numeri

sono 2 e 5, otterreste la serie 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131... Ora, usate la calcolatrice per

dividere il ventesimo numero per il diciannovesimo. Il risultato è il rapporto aureo.

Il primo ad aver studiato queste successioni chiamate ricorsive fu Leonardo da Pisa, meglio noto

come Fibonacci. Egli, che per qualche tempo soggiornò insieme a suo padre, un funzionario delle

di Bugia (nell’odierna Algeria),

dogane, nella città araba visitò in seguito altri paesi del

Mediterraneo, ed ebbe la possibilità di studiare e confrontare diversi sistemi di numerazione e di

esecuzione delle operazioni aritmetiche. Giunto alla conclusione che le cifre indo-arabe, basate

sul principio del valore dipendente dalla posizione nel numero, erano largamente superiori a tutti

gli altri metodi, Fibonacci dedicò i primi sette capitoli del suo libro, Liber abaci, alla spiegazione

della notazione indo-araba e ai vari usi pratici dei quali era suscettibile. Il ruolo di Fibonacci

nella storia del rapporto aureo è davvero affascinante. La successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

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55, 89, 144… in cui ciascun termine è uguale alla somma dei due termini precedenti è stata

giustamente chiamata «di Fibonacci», nel XIX secolo, dal matematico francese Edouard Lucas

– Ed ora rivolgiamo l’attenzione ai

(1842 1891). rapporti degli elementi contigui:

1/1 = 1,000000 13/8 = 1,625000 144/89 = 1,617978

2/1 = 2,000000 21/13 = 1,615385 233/144 = 1,618056

3/2 = 1,500000 34/21 = 1,619048 377/233 = 1,618026

5/3 = 1,666666 55/34 = 1,617647 610/377 = 1,618037

8/5 = 1,600000 89/55 = 1,618182 987/610 = 1,618033

l’ultimo rapporto? Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un

Riconoscete

termine e il suo precedente oscilla intorno a un numero al quale si avvicina sempre di più;e quel

l’nesimo

numero è il rapporto aureo. Se indichiamo con F numero di Fibonacci e con F il

n n-1

che tende all’infinito, il rapporto dei due numeri tende al

termine precedente scopriamo che per n

Φ.

numero algebrico irrazionale chiamato

Viste queste misteriose e affascinanti caratteristiche dei termini della successione di Fibonacci,

non stupisce che i matematici fossero ansiosi di trovare una formula maneggevole per calcolare,

l’nesimo

per qualunque valore di n, numero di Fibonacci, F . La formula fu trovata dal

n

matematico francese Phillipe Marie Binet (1786 - 1856) a metà del XIX secolo. La formula di

Binet si basa interamente sul rapporto aureo:

 

n n

   

 

1 1 5 1 5

 

   

 

F    

 

n 2 2

   

5  

Di primo impatto, è una formula davvero sconcertante, non essendo evidente nemmeno che per

qualunque valore di n essa abbia sempre per risultato un intero. Poiché già sappiamo che tutti i

numeri di Fibonacci sono strettamente legati al rapporto aureo, ci sarà subito di conforto constatare

che il primo termine della parentesi quadra non è altro che il rapporto aureo elevato alla ennesima



n n

potenza, o , mentre il secondo corrisponde a (-1/) . Con una semplice calcolatrice scientifica, si

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può constatare per alcuni valori di n a vostro piacimento che la formula di Binet dà effettivamente

l’ennesimo termine della successione di Fibonacci.

Prima di passare alle proprietà geometriche proviamo a vedere come si costruisce un segmento

aureo. Figura 2

Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M. Dall'estremità B tracciare la

perpendicolare al segmento fino al ottenere CB = MB. Dal punto C, tracciare con il compasso un

semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio

AD, si ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione aurea (AE/EB =

1,618).

Esiste un nesso tra la proporzione aurea e il pentagono?

In ogni figura piana regolare la somma di tutti gli angoli in terniè uguale a 180°×(n - 2) dove n è il

numero di lati. Per esempio, in un triangolo n=3 e la somma degli angoli è 180°. In un pentagono

n=5, e la somma degli angoli è 540°. Immaginiamo ora di tracciare nel pentagono due diagonali

adiacenti, ricavando tre triangoli isosceli. Siccome in un triangolo isoscele i due angoli adiacenti

alla base hanno la stessa ampiezza, gli angoli alla base dei due triangoli laterali sono uguali a metà

di (180° - 108°), cioè a 36°. Pertanto, otteniamo per gli angoli del triangolo centrale i valori di 36°,

72° e 72°. Bisecando uno dei due angoli di 72°, otteniamo un triangolo più piccolo DBC con gli

stessi angoli del triangolo maggiore ADB. Con l’aiuto di un po’ di geometria elementare, si può

dimostrare che in accordo con la definizione di Euclide, il punto C divide la linea AB esattamente

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secondo il rapporto aureo. Inoltre, il rapporto di AD con DB è uguale al rapporto aureo. In altre

parole, in un pentagono regolare il rapporto tra la diagonale e il lato è pari a Φ. Questo dimostra che

la capacità di costruire una linea divisa secondo il rapporto aureo costituisce nello stesso tempo un

semplice sistema per la costruzione di un pentagono regolare. Era questa la principale ragione

dell'interesse dei greci per il rapporto aureo. Il triangolo al centro, con un rapporto del lato con la

base pari a Φ, è noto come «triangolo aureo», mentre i due triangoli laterali,con un rapporto del lato

con la base pari a 1/Φ, sono talvolta chiamati «gnomoni aurei». Una singolare proprietà del

triangolo aureo e degli gnomoni aurei è che entrambi possono essere scomposti in triangoli più

piccoli, che sono a loro volta triangoli aurei e gnomoni aurei.

Rivolgiamo ora la nostra attenzione al rettangolo aureo della Figura 3. Figura 3

Immaginiamo di «sottrarre» da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore. Il

risultato sarà un piccolo rettangolo, che è a sua volta un rettangolo aureo. Le dimensioni del

minori di quelle del rettangolo «genitore» di un fattore pari a Φ. Togliendo

rettangolo «figlio» sono

un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, otteniamo un terzo rettangolo aureo

di nuovo rimpicciolito di un fattore pari a Φ. Proseguendo si genera una serie di rettangoli aurei

sempre più piccoli, di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore uguale a Φ. Esaminando ciascun

rettangolo con una lente di ingrandimento, che elimina la differenza di grandezza, si constata che