La sezione aurea

La sezione aurea

Tra matematica, arte,

Musica e natura Ф

“Che cos’hanno in comune la mirabile disposizione dei petali di una rosa, il celebre sacramento dell’ultima cena di Salvador Dalì, l’armoniosa spirale di alcune conchiglie e l’allevamento dei conigli?”

(Mario Livio – ”La sezione aurea”) Ф

Sezione aurea o numero d’oro

O «La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo.

Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il

»

secondo una pietra preziosa. (Keplero)

Proporzione divina

O dove l’aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una ratio o frazione, e l’inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana:

«Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale»

(Luca Pacioli – De divina proporzione)

Φ PHI,

= da Fidia (il quale avrebbe usato il rapporto aureo nelle sue

O sculture del Partenone) Ф

Sezione aurea

Con si indica il rapporto fra due grandezze disuguali di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma:

(AC + CB) : AC = AC : CB.

Φ è un numero irrazionale, abbiamo quindi bisogno di un suo valore approssimato

1.618;

per poterlo utilizzare più “comodamente”, questo valore è il numero esatto può essere espresso con la formula:

Alcune sorprese.. matematiche!

Se scegliamo AB di lunghezza unitaria 1 : x = x : (1 + x) x - x −1= 0

2

Elevando phi al quadrato otteniamo un numero che ha la stessa identica parte decimale! Lo stesso accade con il reciproco del numero aureo

Consideriamo l’inconsueta espressione:

e sia x il valore che stiamo cercando; possiamo scrivere

possiamo poi considerare il secondo membro di destra uguale a x, di conseguenza otterremo:

2

riconducibile alla nota funzione x - x −1= 0

2

Sorpresa: Φ = Ф

Il piú irrazionale tra gli irrazionali

In modo analogo al caso precedente se si considera la funzione continua

Chiamiamo x il valore della frazione stessa. Essendo questa illimitata, il denominatore del membro di destra della frazione è uguale a x stesso

Ancora una volta ricaviamo la formula del rapporto aureo!

Poiché la frazione continua corrispondente al rapporto aureo non contiene numeri al di fuori di 1, converge molto lentamente. In un certo senso il rapporto aureo “resiste” alla propria espressione sotto forma di frazione più di qualunque altro numero irrazionale, e, da questo punto di vista, deve essere considerato “il più irrazionale” degli irrazionali!

Leonardo Pisano il “Fibonacci”

O

Quante coppie di conigli si ottengono in un anno - salvo i casi di morte - supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?

Successione di Fibonacci

I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Proprietà:

• Ogni termine, dopo i primi due, è la somma dei due termini immediatamente precedenti.
• Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.