La sezione aurea

LA SEZIONE AUREA

TRA MATEMATICA, ARTE,

MUSICA E NATURA Ф

“Che cos’hanno in comune la mirabile

disposizione dei petali di una rosa, il

celebre sacramento dell’ultima cena di

Salvador Dalì, l’armoniosa spirale di

alcune conchiglie e l’allevamento dei

conigli?”

(Mario Livio – ”La sezione aurea”) Ф

SEZIONE AUREA o NUMERO D’ORO

o « La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è

la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo.

Possiamo paragonare Il primo a una certa quantità d'oro, e definire il

»

secondo una pietra preziosa. (Keplero)

PROPORZIONE DIVINA

o dove l'aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di

irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimibile per

mezzo di una ratio o frazione, e l'inconoscibilità del divino per mezzo

della ragione umana:

« Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi

intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero

intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma

sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale »

(Luca Pacioli – De divina proporzione)

Φ PHI,

= da Fidia (il quale avrebbe usato il rapporto aureo nelle sue

o sculture del Partenone) Ф

sezione aurea

Con si indica il rapporto fra due grandezze disuguali di cui la

 maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma:

(AC + CB) : AC = AC : CB.

Φ è un numero irrazionale, abbiamo quindi bisogno di un suo valore approssimato

 1.618;

per poterlo utilizzare più “comodamente”, questo valore è Il numero esatto può

essere espresso con la formula:

ALCUNE SORPRESE.. MATEMATICHE!

Se scegliamo AB di lunghezza unitaria 1 : x = x : (1 + x) x - x −1= 0

2

Elevando phi al quadrato otteniamo un numero che ha la stessa identica parte decimale! Lo stesso

accade con il reciproco del numero aureo

Consideriamo l’inconsueta espressione:

e sia x il valore che stiamo cercando; possiamo scrivere

possiamo poi considerare il secondo membro di destra uguale a x ,di conseguenza otterremo:

2

riconducibile alla nota funzione x - x −1= 0

2

Sorpresa: Φ = Ф

IL PIÚ IRRAZIONALE TRA GLI IRRAZIONALI

In modo analogo al caso precedente se si considera la funzione continua

Chiamiamo x il valore della frazione stessa. Essendo questa illimitata, il denominatore

del membro di destra della frazione è uguale a x stesso

Ancora una volta ricaviamo la formula del rapporto aureo!

Poiché la frazione continua corrispondente al rapporto aureo non contiene numeri al di

fuori di 1, converge molto lentamente. In un certo senso il rapporto aureo “resiste” alla

propria espressione sotto forma di frazione più di qualunque altro numero irrazionale, e,

da questo punto di vista, deve essere considerato “il più irrazionale” degli irrazionali!

LEONARDO PISANO IL “FIBONACCI”

O

Quante coppie di conigli si ottengono in un anno - salvo i casi di morte - supponendo

che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano

in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?

SUCCESSIONE DI FIBONACCI

I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Proprietà:

•Ogni termine, dopo i primi due, è la somma dei due termini

immediatamente precedenti.

•Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col

quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o

diminuito di 1.

•Se si prende la sequenza dei quadrati dei numeri di Fibonacci, e si

costruisce una sequenza sommando a due a due i numeri della prima

sequenza, la sequenza risultante è costituita da tutti e soli i numeri di

Fibonacci di posto dispari;

•Data la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto dispari, se si

costruisce la sequenza ottenuta sottraendo a due a due i numeri

adiacenti della prima sequenza, si ottiene la sequenza dei numeri di

Fibonacci di posto pari.

• Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo

precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1.

Questa successione viene generata da un problema relativo alla

riproduzione dei conigli, contenuto nel “Liber abaci” (1202)

di Leonardo Pisano (più noto come Fibonacci, ossia figlio di

Bonaccio). Ф

FIBONACCI E SEZIONE AUREA

Se si esegue il rapporto tra il termine

n-simo della successione di Fibonacci e quello che lo precede, il rapporto

tende ad avvicinarsi a Φ al crescere di n

(1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 1,667; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13

≅ ≅

1,615; 34/21 1,619…).

≅

Questa proprietà è molto importante, considerando il fatto che quando si

ricerca la sezione aurea in arte, natura, musica ecc. il segnale della sua

“presenza” è dato da numeri appartenenti alla sequenza di Fibonacci il cui

rapporto tende a Ф.

IL PENTAGONO E LA SEZIONE AUREA

In ogni figura piana regolare la somma di tutti gli angoli interni è uguale a

[180° (n – 2)], dove n è il numero dei lati. Di conseguenza ogni angolo

del pentagono vale 108°.

Il triangolo ottenuto al centro è noto come triangolo aureo, dato che il

rapporto tra lato e base e tra le due sezioni del lato divise dalla bisettrice

dell’angolo alla base è naturalmente uguale a Ф.

I triangolo laterali sono anche detti gnomoni aurei, in cui il rapporto tra

lato e base è il reciproco di Ф.

IL RETTANGOLO AUREO E LA SPIRALE AUREA

Un rettangolo si dice aureo se i suoi lati stanno in proporzione aurea. Tale

rettangolo ha una “magica” proprietà: se al suo interno si disegna un

quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, anche il

rettangolo differenza è un rettangolo aureo. L’operazione può essere

ripetuta, ottenendo una sequenza infinita di quadrati e rettangoli aurei. Se

si disegna, poi, attraverso questi quadrati, una serie di archi circolari che

hanno come raggio i lati dei quadrati, la curva che ne consegue è la

spirale aurea. La spirale aurea si può trovare anche in natura, per

esempio nella conchiglia del Nautilus.

MUSICA

JOHANN SEBASTIAN BACH (1685 – 1750)

Rapporto molto stretto tra musica e matematica:

•Firma dell’autore in molte composizioni, dove troviamo i numeri 41 e 14, che

attraverso la gematria (A=1, B=2, C=3, ecc) indicano rispettivamente JSBach e Bach.

•Nel 1738 a Lipsia venne fondata una Società semisegreta da Lorenz Mizler, allievo di

Bach, il quale entrerà come 14° membro, per le Scienze Musicali, con l'intento di

mostrare i legami della matematica con la musica. Mizler affermava che "la musica è

il suono della matematica".

•In molte composizioni si può riscontrare l’utilizzo della sezione aurea o dei numeri di

Fibonacci, ad esempio nella Messa in Si minore o il Preludio e fuga in Mi minore per

Organo BWV 548.

FREDERIC CHOPIN

Preludio 1 op. 28

Numero totale delle

battute = 34

Punto di maggior

tensione = 21

Ф BELA BARTOK (1881-1945)

“Ubbidienza in ogni circostanza alle leggi della sezione aurea” – Ernö Lendvai;

89 battute totali, la prima parte

per archi, percussioni e celesta:

Musica

(55 battute) è divisa dalla seconda dal momento di maggior tensione.

89 – 55 = 34;

per due pianoforti e percussioni.

Sonata

CLAUDE DEBUSSY (1862 – 1918)

Roy Howat (Debussy in proportion)

dans l’eau;

Reflets sous la pluie;

Jardins

Mer.

La NATURA

FILLOTASSI (disposizione delle foglie e dei rami):

Le foglie si dispongono intorno ai rami con un quoziente di fillotassi pari a

1/2, 1/3, 1/5, 1/8... In questo modo, la posizione delle foglie è tale da

permettere la massima esposizione al Sole.

PIGNE D’ABETE

Bonnet, con l’aiuto del matematico G. L. Calandrini, scoprì schemi a

forma di nelle squame delle pigne d’abete e nelle squame

spirale

esagonali che rivestono l’ananas.

Per quanto riguarda l’ananas, ognuna delle squame appartiene a tre diverse

spirali:

• 8 da sinistra a destra;

• 13 da destra a sinistra (salgono più rapidamente);

• 21 quasi verticali da sinistra a destra.

Tutti i numeri delle spirali (5, 8, 13, 21) sono termini di Fibonacci.

Di ogni pianta, l’apice vegetativo, costituito da un tessuto molle chiamato

e che è responsabile della crescita, è a forma quasi conica.

meristema ROSE

Gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro)

sono la parte decimale di semplici multipli di Ф. Il petalo 1 è a un 0,618esimo

di giro dal petalo 0; il petalo 2 è a un 0,236esimo (la parte decimale di 2 Ф) di

giro dal petalo 1, e così via. GIRASOLE

Nei pressi dell’infiorescenza spesso

troviamo 34 spirali antiorarie e 55

orarie o viceversa.

PITTURA

LEONARDO

Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De

di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che

architectura

le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Vitruvio nel scrive:

De Architectura

"Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul

dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà

tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi

piedi".

SALVADOR DALÌ

Un altro esempio di sezione aurea in pittura è il quadro “l’ultima cena” di

Salvador Dalì (268 X 167 cm), a causa dell’enorme dodecaedro che fluttua sopra

la tavola e la circonda (un solido a dodici facce ognuna delle quali è un

pentagono regolare). Ф

PIET MONDRIAN (1872 – 1944)

La sua arte è caratterizzata da composizioni che contengono solo linee

verticali e orizzontali e impiegano unicamente i colori primari contro uno

sfondo bianco, come in “broodway boogie-woogie”. Le linee orizzontali e

verticali che formano il dipinto sono quasi tutte in un rapporto uguale a quello

aureo. (studi di Charles Boleau)

ARCHITETTURA ANTICA

Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza della

facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un'inclinazione teorica della

facciata pari a 51° 49' ca.

Dividendo l’altezza di una faccia triangolare per la metà del lato della base, si ottiene il

rapporto aureo. PARTENONE

La facciata è stata contornata con un

rettangolo, che come si può intuire è

un rettangolo aureo. Le altre linee nel

mezzo indicano una peculiarità del

rettangolo aureo: se da esso ne

togliamo un quadrato di lato pari

all’altezza, la parte rimanente è

ancora un rettangolo aureo.

ARCHITETUTTURA MODERNA

LE CORBUSIER

La ricerca di di una

proporzione standardizzata culminò

nell’introduzione di un nuovo sistema

proporzionale chiamato “Modulor”