La sezione aurea

“La geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l‟altro è la

divisione di una linea in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il

primo ad una misura d‟oro, e chiamare il secondo un prezioso gioiello”

(Keplero)

Alunna: Grazia di Toma

Classe: 5^ A

Anno scolastico: 2008/2009

Liceo scientifico “V. Vecchi” 1

Introduzione

La sezione aurea: la scelta di questo tema per lo svolgimento di un percorso

pluridisciplinare e interdisciplinare, nasce da un personale interesse nei riguardi di tutto

quanto concerne il “bello”. La mia trattazione non riguarda il “bello” inteso in termini

materialistici e di puro opportunismo, come accade oggi, bensì ciò che si può definire un

canone estetico universale da secoli oggetto di contemplazione artistica. Infatti,

diversamente dal mondo attuale, in cui la cultura dell‟immagine impone canoni di

bellezza seriali e replicabili, il mondo antico tendeva piuttosto a individuare criteri di

valutazione artistica che sottraessero il giudizio sul “bello” alla sfera dell‟opinabile e lo

ancorassero a elementi concreti, oggettivi e visibili. Tali elementi furono ben presto

identificati nella proporzione matematica fra il tutto e le sue parti, meglio nota come

rapporto aureo o “divina proporzione”. Normalmente il sostantivo proporzione è utilizzato

per identificare un rapporto fra cose considerandone la grandezza o la quantità, in altre

parole un rapporto tra cose, o parti di esse, caratterizzate da una particolare armonia. In

termini matematici, invece, con la parola proporzione si intende una relazione tra

numeri, e, più precisamente, un‟uguaglianza di rapporti. Il rapporto aureo, forse caso

unico, coniuga mirabilmente i due significati: estetico e quantitativo; infatti, pur essendo

definito matematicamente, a tale rapporto è spesso attribuita la capacità, se applicato ad

oggetti in grado di suscitare i sensi, di renderli piacevolmente armoniosi.

La concezione dell‟armonia ha assunto, nel corso dei secoli, svariate interpretazioni

legate, di volta in volta, ai valori dominanti e, soprattutto, alla particolare contingenza

storica. Durante il Medioevo, età in cui la causa di ogni fenomeno era attribuita alla

divinità, Dante definì l‟armonia come frutto di Dio; Egli, infatti, come sostiene il poeta,

avrebbe dato origine all‟universo, in modo che “le cose tutte quante -avessero- ordine tra

loro”. Tipicamente laica e astorica è, invece, la definizione neoclassica dell‟ordine; i teorici

di questo periodo, recuperando la cultura classica, giungono a identificare l‟armonia di

una composizione nella “nobile semplicità e quieta grandezza” della forma. È a questa

definizione che si rifarà, in seguito, John Keats, esponente del neoclassicismo inglese, il

quale dedicherà una delle sue composizioni alla contemplazione di un‟urna greca,

strumento di dominio delle passioni e di conoscenza della Verità. Una delle immagini di

tale ode, la rappresentazione di un sacrificio, ha riportato alla mia memoria le teorie

espresse da Vitruvio circa la costruzione dei templi. Secondo l‟architetto latino l‟equilibrio

è inteso come “symmetria”, quindi, come armonico rapporto fra le singole parti che

costituiscono l‟insieme dell‟edificio. Infine, la prima sezione della mia presentazione, si

chiude con l‟opera “Una domenica pomeriggio all‟isola della Grande-Jatte” di Seurat, la

quale presenta uno schema compositivo essenzialmente basato su rapporti reciproci,

dunque, sulla proporzione tipica del rapporto aureo.

Molto spesso, soprattutto in ambito filosofico, l‟armonia è stata percepita anche come

manifestazione dell‟estetica. La parola estetica, che designa tutto quanto riguarda il bello,

ha etimologia greca che riconduce alla percezione mediata dal senso. In conformità a tale

dottrina filosofica, presentata altresì dal filosofo danese Kierkegaard nell‟opera “Aut-Aut”,

nel corso dell‟Ottocento si sviluppò il movimento decadentista dell‟estetismo,

simboleggiato da personaggi come D‟Annunzio e Wilde. Questi, sulla base di quanto

affermato dal filosofo tedesco Nietzsche, meglio incarnano gli ideali tipici dell‟esteta,

attraverso gesti sorprendenti, talora ai limiti del possibile, come accadde per D‟Annunzio

circa la partecipazione alla prima guerra mondiale e la conseguente questione di Fiume.

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Indice

La sezione aurea

Documento 1: La sezione aurea nella matematica pag. 5-7

Documento 2: Canto I del Paradiso pag. 8-14

Documento 3: Il Neoclassicismo pag. 15-16

Documento 4: Ode on a Grecian Urn (Keats) pag. 17-20

Documento 5: Vitruvio pag. 21-23

Documento 6: La Grande-Jatte (Seurat) pag. 24-25

Documento 7: La vita estetica (Kierkegaard) pag. 26-27

Documento 8: Il superuomo (Nietzsche) pag. 28-30

Documento 9: La Grande Guerra,la questione di Fiume pag. 31-39

Documento 10: D‟Annunzio pag. 40-41

Documento 11: Il dandy (Wilde) pag. 42-43

Appendice:

Documento 12: La spirale aurea pag. 44-45

Documento 13: Le galassie a spirale,la Via Lattea pag. 46-49

Documento 14: Il numero d‟oro pag. 50-51

Documento 15: Il flusso pag. 52-55

Documento 16: Il campo geomagnetico pag. 56-57

Fonti pag. 58

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C‟è una cosa di cui i “non matematici” non si rendono conto, ed è che la

matematica è in realtà quasi interamente un soggetto estetico”.

John Conway

Nota storica

Riconosciuta come un rapporto tra lunghezze esteticamente piacevole, la sezione aurea è

stata spesso utilizzata dagli artisti come base per la composizione di elementi pittorici o

architettonici. In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra

una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti

tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione

in base a tali rapporti.

Il padre degli studi sulla sezione aurea è generalmente considerato Platone, la definizione

che lui dà nel Timeo, è ripresa anche nel trattato sugli Elementi del matematico greco

Euclide, ma era già empiricamente nota a scultori come Fidia e Policleto.

La sezione aurea suscitò un profondo interesse anche tra gli artisti e i matematici del

Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, e Leon Battista Alberti;

era allora nota come "divina proporzione" e veniva considerata quasi la chiave mistica

dell'armonia nelle arti e nelle scienze. “De divina proporzione” è anche il titolo del trattato

redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da alcuni disegni di

Leonardo da Vinci, che ebbe notevole influsso sugli artisti e architetti del tempo, ma

anche nelle epoche successive. In questo libro Pacioli analizzò le strutture

architettoniche e quelle del corpo umano, riconducendo entrambe a principi geometrici

fondamentali, primo fra tutti quello della sezione aurea. Ma il primo grande matematico

moderno che studiò a fondo la sezione aurea fu senz’altro l‟italiano Leonardo Pisano,

detto Fibonacci. a

L‟interesse per la “divin proporzione” non si esaurì tuttavia in epoca rinascimentale, è

possibile, infatti, rintracciare studi applicativi della sezione aurea anche in

contemporanei come il grande architetto ed urbanista Le Corbusier.

Definizione

Si definisce sezione aurea di un segmento quella parte del segmento che è media

proporzionale tra l‟intero segmento e la parte restante di esso.

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Per la costruzione del segmento aureo si esegue il seguente procedimento:

Si costruiscono i segmenti AB ed MB perpendicolari tra loro, con B in comune. Il lato OB,

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raggio della circonferenza, sarà uguale a di AB. AC sarà uguale ad AE (perché raggi di

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una stessa circonferenza con centro in A).

La tesi da dimostrare è che:

AB:AE = AE:EB

Per il teorema della tangente e della secante si ottiene:

AD:AB = AB:AC

Da cui, scomponendo, si ricava

(AD-AB):AB = (AB-AC):AC

Ma

AB = CD e AC = AE,

Si ha

AD-AB=AD-CD=AC=AE

AB-AC=AB-AE=EB;

la proporzione diventa AE:AB = EB:AE,

da cui, invertendo i rapporti, AB:AE = AE:EB. (c.v.d.)

Quindi, il segmento aureo è l:a = a:b

dove

Rettangolo aureo

Strettamente connesso alla sezione aurea è il rettangolo aureo, considerato ancora oggi il

rettangolo “più bello”.

Per rettangolo aureo si intende un particolare rettangolo avente un lato che è sezione

aurea dell‟altro.

La costruzione di tale rettangolo so ottiene a partire da un quadrato.

Si calcola il punto medio del segmento GF; si traccia la circonferenza di centro M e raggio

MB che intersecherà in E il prolungamento di GF dalla parte di F. Si traccia la

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perpendicolare a GE in F che intersecherà in C il prolungamento di AB dal lato di B. Il

rettangolo ACGE così ottenuto, sarà un rettangolo aureo.

Esempio di rettangoli aurei

ottenuti

a partire da semplici quadrati.

La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: basta, infatti, disegnarvi, all'interno,

un quadrato basato sul lato minore, o altresì, all'esterno, basato sul lato maggiore per

ottenere col semplice compasso un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di

proporzioni auree.

Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza, si ottiene una curva detta, seppur

impropriamente, spirale logaritmica.

Spirale logaritmica o aurea

ottenuta dalla costruzione di

più rettangoli aurei. 7

La Divina

Commedia

Canto I del Paradiso

“Le cose tutte quante

hanno ordine tra loro, e questo è forma

che l‟universo a Dio fa simigliante”

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Sintesi del canto

Il canto si apre con l‟esposizione del tema, quindi, con l‟invocazione ad Apollo, dio del

sole, della poesia e prefigurazione di Cristo stesso. Terminata la preghiera, Dante

riprende la narrazione vera e propria. Nell‟intensa luce, Beatrice fissa il sole, imitata da

Dante che è abbagliato da una luce splendente; egli, infatti, come chiarirà Beatrice, sta

attraversando la sfera del fuoco. La donna gli chiarisce poi come sia possibile, per lui

presente con il corpo, salire perché libero dagli impedimenti del peccato, e come tutte le

creature ricevano una naturale inclinazione al bene che le conduce verso l‟Empireo, sede

di Dio. L‟uomo, però, ha la facoltà di deviare tale inclinazione in virtù della tutela del

libero arbitrio. Il salire verso i cieli non deve essere, dunque, motivo di stupore per Dante,

poiché voluto da Dio. La gloria luminosa di Dio, che trasmette il

La gloria di colui che tutto move moto a tutte le cose, penetra per l‟universo,

per l‟universo penetra, e risplende e risplende in misura maggiore in alcune

3 in una parte più e meno altrove. parti e minore in altre. Io fui nell‟Empireo,

Nel ciel che più de la sua luce prende il cielo che riceve la luce divina più di ogni

fu‟ io, e vidi cose che ridire altro, e vidi cose che chi discende di lassù

6 né sa né può chi di là sù discende; non sa né può riferire; perché il nostro

perché appressando sé al suo disire, intelletto, avvicinandosi a Dio, oggetto del

suo desiderio, si addentra tanto

nostro intelletto si profonda tanto, profondamente, che la memoria non può

9 che dietro la memoria non può ire. stargli dietro. Tuttavia quanto io ho potuto

Veramente quant‟io del regno santo memorizzare del Paradiso sarà ora

ne la mia mente potei far tesoro, argomento della mia poesia. O valente

12 sarà ora materia del mio canto. Apollo, per l‟ultima fatica, elargiscimi tanto

O buono Appollo, a l‟ultimo lavoro del tuo valore poetico quanto ne richiedi

fammi del tuo valor sì fatto vaso, per concedere la gloria poetica. Fino a

15 come dimandi a dar l‟amato alloro. questo punto mi è stato sufficiente l‟aiuto

delle Muse; ma ora mi è necessario anche

Infino a qui l‟un giogo di Parnaso quello di Apollo per affrontare la prova che

assai mi fu; ma or con amendue mi rimane. Entra nel mio petto, e ispirami

18 m‟è uopo intrar ne l‟aringo rimaso. con quella stessa virtù con cui vincesti

Entra nel petto mio, e spira tue nella gara musicale e scorticasti vivo il

sì come quando Marsïa traesti satiro Marsia. O potenza divina, se ti

21 de la vagina de le membra sue. concedi tanto a me che io possa esprimere

O divina virtù, se mi ti presti una vaga immagine del Paradiso, rimasta

tanto che l‟ombra del beato regno impressa nella mia memoria, mi vedrai

venire ai piedi della pianta da te amata, e

24 segnata nel mio capo io manifesti, vedrai incoronarmi con le foglie di alloro

vedra‟mi al piè del tuo diletto legno delle quali mi renderete degno tu, col tuo

venire, e coronarmi de le foglie aiuto, e l‟importanza dell‟argomento. Così

27 che la materia e tu mi farai degno. poche volte, o Apollo, padre della poesia,

Sì rade volte, padre, se ne coglie vengono colte foglie di alloro per celebrare

per trïunfare o cesare o poeta, il trionfo di un imperatore o di un poeta,

30 colpa e vergogna de l‟umane voglie, ciò per colpa delle scarse ambizioni degli

che parturir letizia in su la lieta uomini, il che è motivo di vergogna per

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delfica deïtà dovria la fronda loro, cosicché la pianta dell‟alloro, quando

suscita desiderio di sé in qualcuno,

33 peneia, quando alcun di sé asseta. dovrebbe generare gioia nella già lieta

Poca favilla gran fiamma seconda: divinità di Delfi, cioè in Apollo. Talvolta un

forse di retro a me con miglior voci grande incendio segue una piccola

36 si pregherà perché Cirra risponda. scintilla: forse dopo di me poeti migliori

Surge ai mortali per diverse foci invocheranno l‟aiuto di Apollo. Il sole sorge

la lucerna del mondo; ma da quella per gli uomini in diversi punti

39 che quattro cerchi giugne con tre dell‟orizzonte; ma quando sorge in quel

croci, punto in cui quattro cerchi s‟incontrano

con miglior corso e con migliore stella dando luogo a tre croci, esce con un corso

esce congiunta, e la mondana cera più favorevole e in congiunzione con una

migliore costellazione, e meglio plasma e

42 più a suo modo tempera e suggella. segna col proprio suggello la materia del

Fatto avea di là mane e di qua sera mondo. Il sole, sorgendo in quel punto

tal foce, e quasi tutto era là bianco dell‟orizzonte, aveva portato il mattino nel

45 quello emisperio, e l‟altra parte nera, Purgatorio, e la sera sulla Terra, e

quando Beatrice in sul sinistro fianco l‟emisfero australe era quasi tutto

vidi rivolta e riguardar nel sole: illuminato, mentre quello boreale era buio,

48 aguglia sì non li s‟affisse unquanco. quando vidi Beatrice, che si era voltata

E sì come secondo raggio suole verso sinistra, fissare il sole: nemmeno

un‟aquila riuscì a fissarlo mai così

uscir del primo e risalire in suso, fermamente. E così come il raggio riflesso è

51 pur come pelegrin che tornar vuole, generato da quello incidente e risale verso

così de l‟atto suo, per li occhi infuso l‟alto, come un falco pellegrino che, una

ne l‟imagine mia, il mio si fece, volta buttatosi in picchiata, vuole tornare

54 e fissi li occhi al sole oltre nostr‟uso. verso l‟alto, così dall‟atteggiamento di

Molto è licito là, che qui non lece Beatrice inviato attraverso gli occhi alla

a le nostre virtù, mercé del loco mia facoltà immaginativa, si generò il mio,

57 fatto per proprio de l‟umana spece. e fissai gli occhi verso il sole più di quanto

sia consentito a un uomo. Nel Paradiso

Io nol soffersi molto, né sì poco, terrestre sono consentite molte azioni che

ch‟io nol vedessi sfavillar dintorno, sulla Terra non sono possibili per le facoltà

60 com‟ ferro che bogliente esce del umane, grazie alle caratteristiche

foco; particolari del luogo creato come dimora

e di sùbito parve giorno a giorno del genere umano. Io non sopportai la vista

essere aggiunto, come quei che puote del sole per molto tempo, e nemmeno per

63 avesse il ciel d‟un altro sole addorno. così poco, che non lo vedessi sfavillare

Beatrice tutta ne l‟etterne rote tutto intorno, come il ferro quando esce

fissa con li occhi stava; e io in lei incandescente dal fuoco; e

66 le luci fissi, di là sù rimote. improvvisamente sembrò che la luce del

giorno fosse raddoppiata, come se Dio

Nel suo aspetto tal dentro mi fei, avesse ornato il cielo con un altro sole.

qual si fé Glauco nel gustar de l‟erba Beatrice era tutta intenta a fissare le sfere

69 che ‟l fé consorto in mar de li altri celesti che ruotano in eterno; ed io fissai gli

dèi. occhi in lei, dopo averli distolti dal sole. Nel

Trasumanar significar per verba guardarla dentro divenni tal quale Glauco

non si poria; però l‟essemplo basti quando mangiò l‟erba che lo rese uguale

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72 a cui esperïenza grazia serba. agli altri dei del mare. L‟oltrepassare i

limiti umani non si potrebbe esprimere per

S‟i‟ era sol di me quel che creasti mezzo di parole; perciò basti l‟esempio a

novellamente, amor che ‟l ciel governi, colui a cui la grazia divina riserva

75 tu ‟l sai, che col tuo lume mi levasti. un‟esperienza simile. Se quando mi hai

Quando la rota che tu sempiterni fatto salire in cielo ero soltanto anima, o

desiderato, a sé mi fece atteso amore che governi il cielo, lo sai tu, che mi

78 con l‟armonia che temperi e discerni, hai innalzato col lume della tua grazia.

parvemi tanto allor del cielo acceso Quando il movimento dei cieli che tu fai

de la fiamma del sol, che pioggia o fiume ruotare in eterno in quanto sei desiderato

da essi come loro fine, attirò a sé la mia

81 lago non fece alcun tanto disteso. att