La sezione aurea, equilibrio e bellezza

Liceo scientifico statale “J. Da Ponte”, Bassano del Grappa

Approfondimento

La Sezione Aurea, equilibrio e bellezza.

Il fascino del “numero d’oro”.

Andrea Milani

A.S. 2008-2009

Discipline coinvolte

• Matematica;
• Musica;
• Storia dell’arte;
• Filosofia.

«La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa».

Premessa

Il fascino del numero d’oro, già da qualche anno, ha cominciato a incuriosirmi. Notevoli sono le proprietà che la Sezione Aurea e la Successione di Fibonacci dimostrano di possedere dal punto di vista matematico-geometrico. Ma ancora più interessante e appassionante è riuscire a rintracciare phi, il numero aureo, in campi apparentemente distanti dalla scienza dei numeri come la pittura, l’architettura e la musica, in un mistero che avvolge la natura stessa.

In questo approfondimento ho voluto indagare alcuni aspetti riguardanti il rapporto aureo, la sua storia e la sua speciale connessione con una disciplina che mi coinvolge in prima persona: la musica.

La riflessione sul valore estetico attribuito alla sezione aurea ha condotto la mia ricerca verso una parte della filosofia di Schopenhauer inerente alla contemplazione delle oggettivazioni della volontà nelle arti, come mezzo di liberazione dal dolore intrinseco alla vita.

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Indice generale

La sezione aurea

• Φ, definizione di sezione aurea.
• Le proprietà di Φ.
• Frazioni continue e radici nidificate.

La sezione aurea in geometria

• Rettangolo aureo e triangolo aureo.
• La spirale aurea.

Il numero d’oro nella successione di Fibonacci

• La successione di Fibonacci in natura.

Musica e matematica: la sezione aurea al servizio delle composizioni

• Le impostazioni formali nella musica del Medioevo.
• La «secretissima scientia», da Pacioli agli autori del Novecento.

La «divina proporzione», canone di armonia nell’arte

• L’indagine psicologica sulla sezione aurea.
• La sezione aurea nella pittura rinascimentale.
• Leonardo da Vinci.
• Piero della Francesca, il Libellus de quinque corporibus regularibus e la Sacra Conversazione.

Il Modulor, «una misura di armonia, universalmente applicabile»

• Schopenhauer, la liberazione nel piacere estetico.
• Il mondo come volontà e rappresentazione.
• La via della liberazione.
• La contemplazione estetica nell’arte.
• La musica, «lingua universale» e «panacea di tutti i nostri mali».
• Una consolazione provvisoria.

Bibliografia.

Sitografia.

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Φ, la sezione aurea

Vogliamo trattare di un numero, un numero misterioso, una «proporzione geometrica in cui non ci si imbatte solo nello studio della matematica, ma anche in quello dell’arte, della musica e delle scienze naturali: questo numero è Φ (phi), 1,6180339887….

«La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa».

Keplero (1571 – 1630).

La definizione del rapporto aureo si fa risalire a tempi remotissimi: i discepoli e seguaci di Pitagora l’avrebbero imparata addirittura dai popoli della Mesopotamia. Secondo il filosofo e storico Giamblico è Ippaso di Metaponto, che associa ad esso il concetto di incommensurabilità, a divulgarne la natura anche «a chi non era degno di conoscere»*; questo gli procura il disprezzo dei compagni e la cacciata dalle associazioni pitagoriche.

* da 300 d.C. circa, Giamblico

Definizione di sezione aurea

Vediamo dunque definire questo particolare rapporto, conosciuto fin dall’antichità e che durante i secoli è stato indicato con nomi che rimandano all’oro, simbolo di quanto di più nobile, prezioso e inalterabile possa esistere: «rapporto aureo», «sezione aurea», «numero d’oro».

Storicamente la prima chiara definizione viene formulata da Euclide. Il matematico greco, fondatore della geometria in quanto sistema deduttivo, nel VI libro dei suoi Elementi scrive:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore».

Ne deriva quindi, in base alla figura, che il rapporto tra l’intera “linea retta” AB e il segmento maggiore AC è uguale al rapporto tra segmento maggiore AC e segmento minore CB.

AB/AC=AC/CB

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Scegliendo come unità di misura il segmento più breve (CB=1) e indicando il segmento maggiore con x, in quanto x è un fattore sconosciuto, che sappiamo essere maggiore di 1, possiamo dire che x sta ad 1 come x + 1 sta ad x.

x / 1 = (x + 1) / x

Risolvendo l’uguaglianza rispetto ad x si ottiene l’equazione di secondo grado:

x² - x - 1 = 0

Le due soluzioni x dell’equazione sono:

x₁

x₂

La soluzione positiva x = (1 + √5) / 2 è quella che fornisce il valore del cosiddetto “rapporto aureo”:

1,6180339887…, privo di sequenze ripetitive nelle sue infinite cifre decimali; numero irrazionale poiché è dato dalla metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5.

All’inizio del XX secolo il matematico americano Mark Barr introduce, al posto del precedente simbolo τ, l’uso della lettera greca Φ (phi) per indicare la sezione aurea. Questo simbolo vuole rendere omaggio allo scultore greco Fidia: secondo molti storici dell’arte, nei suoi capolavori, come il Tempio di Athena Parthenos, il Partenone, egli ha spesso applicato volontariamente e con precisione il rapporto aureo.

Le proprietà di Φ

Il perché questo numero abbia affascinato così tanto studiosi di tutte le discipline va ricercato, innanzitutto, nelle sue singolari proprietà algebriche, che troviamo riassunte in versi in questa poesia:

Media costante

La media aurea non è affatto banale

Tutt’altra cosa che un comune irrazionale.

Capovolta, pensate un po’, resta se stessa meno l’unità.

Se poi di uno la aumentate

Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.

…

Scritta come frazione con continuità,

è uno, uno…, fino a sazietà;

così chiara che più chiara alcuna non resta

(non vi comincia a girare un po’ la testa?)

Paul S. Bruckman, da “The Fibonacci Quarterly”, 1977.

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Vediamo di chiarire meglio i concetti espressi da Bruckman.

Se capovolgiamo Φ, cioè ne calcoliamo il reciproco 1/Φ, il risultato che otteniamo è esattamente Φ - 1. Se osserviamo l’equazione di secondo grado grazie alla quale abbiamo individuato il valore di Φ (x² - x - 1 = 0), possiamo notare come questa si possa scrivere anche nella forma x² = x + 1.

Portando a sinistra e dividendo per entrambi i membri, abbiamo allora che

x - 1 = 1 / x,

ciò che volevamo dimostrare.

È immediato intuire poi come il quadrato di Φ meno l’unità dia ancora una volta il valore di Φ,

x² - 1 = x.

Frazioni continue e radici nidificate

Considerando la prima proprietà su Φ che abbiamo mostrato possiamo dimostrarne un’altra.

Dall’equazione x - 1 = 1/x troviamo un’ulteriore definizione della sezione aurea, ossia Φ = 1 + 1/Φ.

Se sostituiamo, nella parte destra, al posto di Φ questa nuova espressione otteniamo Φ = 1 + 1/(1 + 1/Φ). Ripetendo lo stesso procedimento per più volte diamo origine a un caso particolare di un tipo di entità matematiche chiamate “frazioni continue”:

Φ = 1 + 1/Φ

Φ = 1 + 1/(1 + 1/Φ)

Φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/Φ))

Φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/Φ)))

Vi sono numerose altre curiosità matematiche riguardo a Φ, ma mostreremo solamente un’altra equazione che, come l’esempio di frazione continua appena citato, ci fornisce il valore del rapporto aureo tramite un’espressione senza fine. Abbiamo già visto come, modificando la disposizione dell’equazione di partenza, possiamo scrivere che x² = x + 1. Sapendo che x è un numero maggiore di 0 possiamo estrarre la radice quadrata da entrambi i membri, ottenendo x = √1 + x.

Seguiamo il procedimento dell’esempio precedente per ottenere una serie di “radici nidificate”:

Φ = √1 + Φ

Φ = √1 + √1 + Φ

Φ = √1 + √1 + √1 + Φ

Φ = √1 + √1 + √1 + √1 + Φ