La sezione aurea 2

Classe 5 – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio Livia Spolverini

a Sezione Aurea

Matematica

 Geometria:

 La costruzione con riga e compasso

 Il decagono: un poligono d’oro

 Seno, coseno e tangente di alcuni angoli: 36°, 18°, 9°, 1°



Aritmetica

 Frazioni Continue

 Radici nidificate



Arte

 La sezione aurea nell’arte classica, nell’arte rinascimentale e moderna

 Piet Mondrian e l sezione aurea



Astronomia

 Keplero: il legame tra sezione aurea e successione di Fibonacci

 Le galassie a spirale: la sezione aurea dell’universo

 Thomas Kuhn e il ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana

Filosofia:

 Esame di Stato 2007

2 La sezione Aurea

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a

Geometria: la costruzione con riga e compasso

La sezione aurea di un segmento è la sua divisione in 2 parti in modo che il

 rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga sia pari al rapporto tra la parte

più lunga e la parte più corta: )

(

φ φ

: 1 1 : 1

= −

AB : AC = AC : CB ( )

φ φ

1 1

= ⋅ −

φ φ

2 1

= +

Costruzione con riga e compasso:

 Dato il segmento, trovare la sua sezione aurea Data la sezione aurea, trovare il segmento

1 3

2 2

1

3 4

4 Esame di Stato 2007

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a

Geometria: il decagono, poligono d’oro

Dimostriamo che il lato del decagono inscritto in una circonferenza

è la sezione aurea del raggio della circonferenza, ovvero che

risulta: AC : BC = BC : (AC – BC)

Tracciata la bisettrice dell’angolo alla base B, otteniamo il triangolo

ABD che è isoscele per avere 2 angoli congruenti ABD DAB. Ne

≅

segue che BD AD.

≅

Anche il triangolo CBD è d’altra parte isoscele per avere congruenti

due angoli BDC BCD. Ne segue che BD BC

≅ ≅

Mostriamo ora che i triangoli BAC e CBD sono simili:

l’angolo DBC BAC poiché entrambe misurano 36°;

≅

 l’angolo CDB ACB poiché entrambe misurano 180° -

≅

 (36° + 72°) = 72°;

l’angolo in C è comune;



I 2 triangoli sono pertanto simili.

Possiamo pertanto impostare la proporzione seguente: AB :

BC = BC : DC

Sostituendo a DC = AC – AD = AC –BD = AC - BC, si ottiene:

AB : BC = BC : (AC – BC)

( ) ( )

5 1 5 1 5 1 r r

− − ⋅ + = l : (r - l )

r : l 10 10 10

l r r = =

= = ( ) l = r·(r - l )

102 10

10 φ

2 2 5 1 1 5

⋅ + + l + r·l – r = 0

102 2

10

2 Esame di Stato 2007

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Geometria: seno, coseno e tangente di alcuni angoli

Dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABC: l = 2r (1 – cos36°).

102 2

 Poiché sappiamo che si ottiene che:

l = 1/φ ,

102 2 1

cos 36 1

° = − φ 2

2

Dalla trigonometria si ricava poi:

 φ 2

4 1 1

1 −

φ 2 cos 36 1

4 1

sen 36 tan 36 ° = −

= ⋅ −

° ° = φ

φ φ 2

2 2 2

2 2 1

−

1 φ 2

4 1

1 −

tan 18 ° = cos 18

sen 18 ° =

° = φ 2

4 1

− φ

φ 2

2 φ φ 2

2 4 1

− −

φ φ

2 2

4 1 4 1

1 1

− −

tan 9

° =

sen 9 2 cos 9 2

° = − ° = +

φ φ 2

2 4 1

+ −

φ φ

2 2 Esame di Stato 2007

5 La sezione Aurea

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Geometria: il decagono, poligono d’oro

Determiniamo ora il valore di cos 1°. A questo scopo ricordiamo che:

( )

α α α α α α α

cos 3 cos 2 cos 2 cos 2

sen sen

= + = ⋅ − ⋅ =

( )

α α α α α α α α

2 2 3 2

2 cos 1 cos 2 cos 2 cos cos 2 (

1 cos ) cos

sen

− ⋅ − = − − −

α α α

3

cos 3 4 cos 3 cos

= −

Scegliendo α = 1°, si ottiene:

3

cos 3 4 cos 1 3 cos 1

° = ° − °

Poichè 1° è un angolo piccolo dovrà risultare cos1° circa pari a 1. Per ottenere un’approssimazione del

valore preciso scriviamo cos1° = 1 - con ≈ 0. Sostituendo nella equazione, si ricava:

, 

( ) ( )

3

δ δ

cos 3 4 1 3 1

° = − − −

δ δ δ

2 3

cos 3 1 9 12 4

° = − + −

Essendo ≈ 0, sarà ancora più piccolo e dunque si può trascurare:

 

3 ( )

δ δ

2

12 9 1 cos 3 0

− + − ° ≈

9 33 48 cos 3

− + °

δ ≈ 24  

9 33 48 cos 3 1 11 16 cos 3

− + ° + °

 

cos 1 1 5

° ≈ − = −

 

24 8 3

  Esame di Stato 2007

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a

Aritmetica: frazioni continue

La sezione aurea è un numero davvero magico !

 Esiste infatti una bellissima formula basata su una frazione continua infinita che fornisce esattamente il valore

 della sezione aurea utilizzando solo il più semplice dei numeri: 1

2

φ φ 1

= +

φ 1 1

+

φ 1

= = +

φ φ

1 1 1

φ φ φ

1 1 1

= + = + = +

1 1 1

1 1 1

+ + +

1 1

φ 1 1

+ + 1

φ 1 + ... Esame di Stato 2007

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a

Aritmetica: radici nidificate

La sezione aurea non finisce mai di stupire ! Non solo frazioni continue, ma anche radici nidificate possono

 esprimerne il valore ! φ φ

2 1

= +

φ φ

1

= +

φ φ

1 1

= + +

φ φ

1 1 1

= + + +

φ 1 1 1 ...

= + + + Esame di Stato 2007

8 La sezione Aurea

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a

Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

Il Partenone è il più celebre monumento dell'architettura Ellenica e contiene molti rettangoli aurei e le stesse

 proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti.

La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata concepita ispirandosi ad un rettangolo

 φ

aureo, in modo che la larghezza e l'altezza stiano nel rapporto: :1 Esame di Stato 2007

9 La sezione Aurea

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a

Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

La sezione aurea affascinò pittori come Botticelli (1445-1510) che la rappresentò ne La Venere.

 Misurando l’altezza da terra dell’OMBELICO e l’ALTEZZA COMPLESSIVA il loro rapporto risulterà 0.618,

 così anche il rapporto tra la distanza tra il COLLO DEL FEMORE e il GINOCCHIO e la lunghezza

dell’INTERA GAMBA o anche il rapporto tra il GOMITO e la PUNTA DEL DITO MEDIO e la lunghezza del

BRACCIO. Esame di Stato 2007

10 La sezione Aurea

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a

Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

Le immagini di Seurat sono prive di volume, come ritagliate in un composto alternarsi di gruppi,

 ordinatamente divisi in sequenze compositive che rispettano le proporzioni della sezione aurea. Esame di Stato 2007

11 La sezione Aurea

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a

Arte: Piet Mondrian e la sezione aurea

Alcuni artisti moderni come Piet Mondrian (1872-1944) utilizzano il rettangolo aureo nelle loro opere. In

 questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di

quadrati e rettangoli aurei.

Anche se in Mondrian si ha il senso aureo della

 precisione del calcolo, il pittore non fa matematica, ma

esprime il sentimento della perfezione matematica e

quindi della bellezza.

Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di

diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere

l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori

e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.

(Piet Mondrian) Esame di Stato 2007

12 La sezione Aurea