La sezione aurea 2

Classe 5

A

Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio

La sezione aurea

Livia Spolverini

La sezione aurea Tesina di Maturità - 2007

Classe 5 – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio Livia Spolverini

A sezione aurea

Matematica

• Geometria:
• La costruzione con riga e compasso
• Il decagono: un poligono d’oro
• Seno, coseno e tangente di alcuni angoli: 36°, 18°, 9°, 1°

Aritmetica

• Frazioni continue
• Radici nidificate

Arte

• La sezione aurea nell’arte classica, nell’arte rinascimentale e moderna
• Piet Mondrian e la sezione aurea

Astronomia

• Keplero: il legame tra sezione aurea e successione di Fibonacci
• Le galassie a spirale: la sezione aurea dell’universo
• Thomas Kuhn e il ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana

Filosofia

Esame di Stato 2007

2 La sezione aurea

Classe 5 – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio Livia Spolverini

A

Geometria: la costruzione con riga e compasso

La sezione aurea di un segmento è la sua divisione in 2 parti in modo che il rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga sia pari al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta:

φ : 1 = 1 : φ − 1

AB : AC = AC : CB

φ = 1 · (φ − 1)

φ² = 1 + φ

Costruzione con riga e compasso:

• Dato il segmento, trovare la sua sezione aurea
• Data la sezione aurea, trovare il segmento

1 3

2 2

1

3 4

4 Esame di Stato 2007

3 La sezione aurea

Classe 5 – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio Livia Spolverini

A

Geometria: il decagono, poligono d’oro

Dimostriamo che il lato del decagono inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio della circonferenza, ovvero che risulta:

AC : BC = BC : (AC – BC)

Tracciata la bisettrice dell’angolo alla base B, otteniamo il triangolo ABD che è isoscele per avere 2 angoli congruenti ABD ≅ DAB. Ne segue che BD ≅ AD.

Anche il triangolo CBD è d’altra parte isoscele per avere congruenti due angoli BDC ≅ BCD. Ne segue che BD ≅ BC.

Mostriamo ora che i triangoli BAC e CBD sono simili:

• L’angolo DBC ≅ BAC poiché entrambe misurano 36°;
• L’angolo CDB ≅ ACB poiché entrambe misurano 180° -
• (36° + 72°) = 72°;
• L’angolo in C è comune;

I 2 triangoli sono pertanto simili.

Possiamo pertanto impostare la proporzione seguente: AB : BC = BC : DC

Sostituendo a DC = AC – AD = AC – BD = AC - BC, si ottiene:

AB : BC = BC : (AC – BC)

( ) ( )

5 1 5 1 5 1 r r

− − · + = l : (r - l )

r : l 10 10 10

l r r = =

= = ( ) l = r·(r - l )

102 10

10 φ

2 2 5 1 1 5