La sezione aurea e la suprema bellezza della matematica

IL PARTENONE

Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla cima di un colle che domina la città di

Atene.

Oggi per la maggior parte in rovina, il Partenone era un tempio dedicato alla dea Atena,

protettrice della città, e fu costruito attorno al 440/430 a.C.

Il Partenone contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle

statue in esso presenti. La sua larghezza e altezza, quando i frontoni erano intatti,

corrispondevano esattamente a quelle di un rettangolo aureo, ma anche l’altezza dalla

sommità del timpano alla base del piedistallo è divisa secondo il rapporto aureo. In realtà si

può notare come nel Partenone siano presenti una successione di rettangoli aurei, infatti

una caratteristica particolarmente cara agli artisti greci era la possibilità geometrica di

riprodurre infinite volte il rapporto aureo. Anche nella pianta è possibile notare un

rettangolo aureo.

AGOSTINO: MATEMATICA,

MUSICA, DIO

“[…] qualsiasi sua particella, per quanto

piccola, da un punto indivisibile si estende

necessariamente nella linea, riceve per terza la

superficie e per quarto il volume con cui il

corpo è completo. Da chi proviene dunque

questa progressione aritmetica dalla prima alla

quarta? Da chi anche l'eguaglianza delle parti,

che si trova nella linea, superficie e volume?

Da chi questo rapporto razionale, per cui il

rapporto che ha la linea indivisibile, lo ha

anche la superficie alla linea e il volume alla

superficie? Da chi dunque, scusa, tutto ciò se

non dalla somma eterna principialità dei valori

numerici, della proporzione, della eguaglianza

e della finalità?”

(Agostino di Ippona, De musica, VI libro)

In questo passo, tratto dal VI libro del De Musica,

Agostino spiega che la bellezza della matematica

e delle proporzioni di tutti i corpi sono il riflesso

dell’ordine universale voluto da Dio.

FASE DELLA VITA Eventi corrispondenti

Pensava la realtà come eterna lotta fra il bene e il male.

Manichea Vive grandi passioni con meschine ambizioni mondane

Nonostante la vita mondana precipita nella crisi del

Accademica dubbio e si avvicina allo scetticismo accademico

Dopo l’incontri con Ambrogio a Milano aderisce al

Neoplatonica neoplatonismo: crede nell’incorporeo e nell’idea di bene

Si ritira in un suo podere con la madre ed un amico per

Cristiana meditare sulla sua conversione: nel 387 viene

battezzato da Ambrogio

OPERE Contenuto

Contra Academicos: contro lo scetticismo accademico

Pre-Confessiones De Beata Vita: la felicità è realizzabile solo per chi ha fede

De Libero Arbitrio: tema della libertà, della natura, del male

l’unico maestro è Cristo (dialogo effettuato

De Magistro:

con il figlio)

Non un autobiografia dell’autore, ma testimonianza

Confessiones dell’inquieta ricerca della verità: percorso spirituale

dell’autore che l’ha portato alla conversione

Scritto per rispondere alle accuse fatte contro i cristiani

De Civitate Dei ritenuti responsabili della decadenza dello stato romano.

Espone la nascita, lo sviluppo e la fina delle due città: la

città di Dio e la città terrena

LEONARO DA PISA

“Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste

nove cifre, e col segno 0 … si può scrivere qualunque

numero.” (Leonardo da Pisa, Liber Abaci)

Così inizia la prima e più celebre opera di Leonardo da

Pisa, detto anche Fibonacci: il Liber Abaci pubblicato nel

1202. Con queste parole Fibonacci ha introdotto l’uso

delle cifre arabe in Europa considerate le più importanti

fondamenta della matematica e attualmente usate in tutto

il mondo.

Leonardo da Pisa è considerato il più grande matematico

del medioevo e la sua fama è certamente legata alla

celebre successione che prende il suo nome. Nato è

vissuto in una delle più fiorenti città d’Italia, Pisa, ebbe

modo di compiere numerosi viaggi soprattutto in oriente

dove venne a conoscenza delle cifre indo-arabe poi rese

note nel celebre Liber Abaci. Questo trattato diede

all’autore una tale notorietà che venne accolto nella corte

di Federico II, protettore di artisti e scienziati, e fece parte

della cerchia di dotti che gravitavano intorno

all’imperatore. Le fiorenti attività artigianali e mercantili

pisane erano il primo fondamentale banco di prova dei

numeri arabi che risultarono vincenti nel risolvere i diffusi

problemi di contabilità delle attività pisane.

f

CALCOLO DI

L’introduzione delle cifre arabe in Europa semplificò moltissimo le operazioni f:

matematiche e fu quindi possibile calcolare con maggiore precisione il valore di

a b

Per definizione di sezione aurea abbiamo la seguente relazione:



a b a f da questa relazione possiamo considerare a = bf, e

  sostituendo si ha:

a b  

f f f f f

 

  

b b b b 1 b 1 f f f

        

2 1 0

f f f

 

b b b b f

Risolvendo l’equazione di secondo grado trovata si ottengono due valori di :

f  f

1

,

618033

... Sezione aurea

 1

1 5

f  

1 2

2 f F

  Sezione argentea (considerata

0

,

618033

...

2 in valore assoluto) f...

PROPRIETA’ MATEMATICHE DI

Le singolari proprietà geometriche della sezione aurea destarono la curiosità dei

pitagorici, ma il prestigio e l’aura quasi mistica da cui è stata circondata la sezione

aurea proviene quasi esclusivamente dalle sue proprietà matematiche che solo dopo

f

aver calcolato il valore di è possibile comprendere:

f f

  

2 1 2

, 618033

... f

il quadrato di è uguale a se stesso più uno;

1 f f

    F il reciproco di è uguale a se stesso meno uno e

1 0

, 618033

...

f si nota anche che è uguale alla sezione argentea;

DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione è molto semplice infatti bisogna semplicemente

f f

  

2

considerare l’equazione originaria e modificarla.

1 0

f E’ L’UNICO NUMERO NON NATURALE IN CUI IL RECIPROCO E IL QUADRATO

MANTENGONO INALTERATA LA PARTE DECIMALE

Anche la sezione argentea possieda una particolare proprietà infatti:

F  F 

2 1

DIMOSTRAZIONE: anche questa relazione è facilmente dimostrabile semplicemente

 

f f

    F   F   F    

all’equazione originaria 1 2

sostituendo 1 1 1 1 1 0

f

 F   F    F  F 

2 2

1 2 0 1

…E NON FINISCE QUI!

Le proprietà della sezione aurea fino ad ora esposte, anche se interessanti, non

giustificano l’aggettivo “aurea” o “divina”: ci sono altre incredibili proprietà che rendono

la sezione aurea ancor più straordinaria.

quanto vale l’espressione ?

   

1 1 1 1 ...

 2

 

 

           

2   2

x 1 1 1

... x 1 1 1

... x 1 1 1 1

...

  f

           

2 2

x 1 1 1

... x 1 x x x 1 0 x

   

L’ESPRESSIONE E’ UGUALE AL RAPPORTO AUREO!

1 1 1 1 ...

1



1

quanto vale ?

1

 

1 1



1 

1 ....

1 1 f

          

2

x 1 x 1 x x 1 0 x

1 x



1 1

 f!

ANCHE QUESTA FRAZIONE CONTINUA E’ UGUALE A

1 

1 ...

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

“Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro.

Quante coppie possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che

ogni mese una coppia produca una nuova coppia fertile?”

(Leonardo da Pisa, Liber Abaci)

Ponendosi questo problema Fibonacci ha introdotto la più celebre delle successioni.

Nel primo mese la prima coppia dà

origine ad un’altra coppia, quindi

abbiamo due coppie, ma l’ultima è ancora

troppo giovane per procreare. Nel

secondo mese la prima coppia dà origine

ad un’altra coppia e la seconda coppia

diventa matura; le coppie ora sono tre di

cui due mature e una giovane. Nel terzo

mese le due coppie mature procreano

un’altra coppia ciascuno e la terza coppia

diventa matura: le coppie sono cinque

con tre mature e due giovani. Nel quarto

mese le tre coppie mature procreano

un’altra coppia ciascuno e le due giovani

diventano mature: le coppie sono otto...

Si ottiene così la celebre successione in

cui ogni termine è la somma dei due

precedenti:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

…

ONNIPRESENZA DELLA

SUCCESSIONE DI FIBONACCI

Perché la successione di Fibonacci è così importante? Ecco alcuni esempi che mostrano

come essa non è utile solo per allevatori di conigli:

ADDIZIONE FULMINEA: la successione di Fibonacci permette di calcolare velocemente

la somma fra due numeri, infatti, la somma dal primo all’nesimo numero della

successione è uguale all’(n+2)esimo numero meno uno. In questo modo scrivendo

su una riga i numeri della successione e tracciando una linea fra due numeri

arbitrari è possibile calcolare istantaneamente la somma di tutti i numeri posti alla

sinistra della linea. n= 11 n+2= 13

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

–

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 233 1 = 232

QUADRATURA DEI RETTANGOLI: sommando un numero

dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci si

ottiene il quadrato dell’ultimo numero dei prodotti in 13x21

questione ad esempio proviamo la serie di 7 prodotti: 2x3

(1x1)+(1x2)+(2x3)+(3x5)+(5x8)+(8x13)+(13x21)= 441= 21

21^2. Questa proprietà può essere rappresentata 3x5

2x1

geometricamente, infatti, un numero dispari di 8x13

rettangoli con i lati uguali a una serie di termini di 5x8

Fibonacci formano un quadrato con il lato uguale 1x1

all’ultimo numero della serie. 21

TERNE PITAGORICHE: scelti quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto degli

estremi, il doppio del prodotto dei medi e la somma dei quadrati dei medi costituiscono

una terna pitagorica.

SISTEMA SESSAGESIMALE: considerando un qualsiasi numero della successione di

Fibonacci la sua cifra delle unità si ripete con periodicità sessagesimale, per esempio il

settimo numero della successione è 13 il sessantasettesimo è 44.945.570.21…..3, le

ultime due cifre si ripeto con periodicità 300 e le ultime 3 con periodicità 1500 fino a

quando, grazie all’aiuto di potenti calcolatori, si è dimostrato che per qualunque

n-1

numero di cifre la periodicità e data dalla relazione: 15x10 dove n è il numero di cifre.

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

IN NATURA

Una volta scoperti i numeri di Fibonacci sembrano apparire ovunque. Quelli fino ad ora

esposti sono soltanto pochi degli innumerevoli esempi che è possibile fare. Comunque

l’importanza dei numeri di Fibonacci non è dovuta solo al suo valore matematico e

geometrico, ma soprattutto alla sua presenza in natura.

GENEALOGIA DELLE API: un fuco può aver origine da una

uova di ape operaia senza bisogno di fecondazione,

quindi un fuco ha una madre ma non un padre. Invece le

femmine nascono dalla fecondazione delle uova delle

api regine da parte di un fuco, quindi un’ape femmina

ha sia una madre che un padre. Quindi il fuco ha un

genitore, due nonni, tre bisnonni, cinque trisnonni…

Risultato? Una successione di Fibonacci.

FILLOTASSI: è quella parte della botanica che studia la disposizione delle foglie. Le

foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendono

massima l’esposizione al sole, alla pioggia all’aria; per questo un fusto produce foglie e

rami secondo schemi regolari.

Teofrasto(372-287 a.c.): fu il primo botanico a



supporre che le piante seguono certi schemi regolari.

Plinio il Vecchio(23-79 d.c.): nella sua imponente



Naturalis Historia proseguì gli studi di Teofrasto

accennando agli “intervalli regolari” tra le foglie

“disposte circolarmente intorno ai rami”.

Leonardo da Vinci(1452-1519): fu il primo a



descrivere quantitativamente il modo in cui le foglie si

dispongono intorno al fusto. “ è in modo

Johannes Kepler(1571-1630):



paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé che,

a mio avviso, funziona la naturale facoltà di

accrescimento”. Con queste parole Keplero fu il primo

a descrivere il rapporto fra fillotassi e successione di

Fibonacci.

La successione delle foglie e dei rami ha una componente rotatoria, infatti, avanzando

verso l’alto tracciano una spirale immaginaria. Ecco alcuni esempi:

Tiglio: le foglie si collocano da due parti opposte intorno al fusto, in questo caso si

1. parla di fillotassi di quoziente ½ perché basta un giro per passare attraverso due

rami.