La sezione aurea e la suprema bellezza della matematica

La sezione aurea e “la bellezza suprema della matematica” (B. Russel)

Paolo Recchia

Classe VA

Liceo Scientifico M. Curie di Monopoli

Esami di Stato 2008

Sezione aurea

“C'è qualcosa che accomuna la mirabile disposizione dei petali di una rosa, l'armoniosa spirale di alcune conchiglie, l'allevamento di conigli e la successione di Fibonacci? Dietro questa realtà così disparate si nasconde sempre lo stesso numero irrazionale comunemente indicato con la lettera greca f [...] Una proporzione scoperta dai pitagorici e calcolata da Euclide chiamata da un trattato di Luca Pacioli “divina proporzione” e in seguito, nell'Ottocento, “sezione aurea”” (Mario Livio, La sezione aurea)

a b

Con sezione aurea si indica, solitamente, in arte e matematica il rapporto fra due grandezze disuguali di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma ((a+b) : a = a : b). Questo rapporto vale approssimativamente 1,618.

All'apparenza un numero irrazionale come tutti gli altri, ma le sue proprietà matematica e geometriche e l'abbondante presenza in svariati contesti naturali ne hanno fatto un canone di armonia e di bellezza che ha da sempre attratto artisti ed intellettuali di ogni epoca.

La sezione aurea e la suprema bellezza della matematica

Dall'Illuminismo

Da Fibonacci

Periodo ad oggi

A Keplero

Classico matematica: spirale aurea

f

Matematica: di

Filosofia: Scuola pitagorica e storia di

Leonardo da Pisa, calcolo di f e sue proprietà, la successione di Fibonacci

Geografia: Galassie a spirale, cicloni tropicali

Arte: S. Dalì (Il Sacramento dell’Ultima Cena) e il surrealismo, G. Terragni (Casa del Fascio) e il razionalismo

Letteratura: Dante

Matematica: La sezione aurea nella geometria euclidea

Arte: La sezione aurea nel Rinascimento (Pacioli), il probabile uso di f nella pittura di Leonardo da Vinci

Storia: Grandezza architettonica durante il fascismo e propaganda fascista

Filosofia: Ruolo di Keplero nella sezione aurea

Filosofia: B. Russel

Letteratura: Agostino

Letteratura: Italo Calvino (Lezioni americane)

Curiosità: tutti i luoghi

Scuola pitagorica

Era una scuola filosofica fondata da alcuni discepoli di Pitagora. Le regole che Pitagora impose ai suoi discepoli erano talmente severe che in breve tempo la scuola si trasformò in una società segreta, o confraternita, che praticava riti purificatori e si dedicava pienamente alla geometria e alla matematica che, per i pitagorici, insieme alla filosofia, erano strumenti capaci di liberare l'anima dal corpo considerato una prigione secondo la teoria della metempsicosi formulata da Pitagora stesso.

La setta considerava Pitagora il depositario di una conoscenza divina e per questo veniva venerato come un Dio.

In questa atmosfera ricca di cultura e di misticismo fu scoperta per la prima volta la sezione aurea.

Il numero come principio del cosmo

Il numero è la sostanza della cose dato che un numero non è solo un numero, ma una figura geometrica quindi anche una disposizione, un ordinamento di punti nello spazio. Affermare che tutte le cose sono costituite da numeri significa che la vera natura del mondo consiste in un ordinamento geometrico esprimibile in numeri. Tutto è quindi misurabile, quindi tutto è limitato e finito perché l'illimitato è il non compiuto, il non terminato quindi è anche il male e l'imperfezione. Queste idee portarono i pitagorici ad associare ad ogni numero un significato simbolico.

Numeri pari: entità illimitata quindi simboleggia il male e l'imperfezione, ma anche il sesso femminile considerato inferiore dalla setta.

Numeri dispari: entità limitata quindi simboleggia il bene e la perfezione quindi anche il sesso maschile.

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Pari dispari

Uno: progenitore di tutti i numeri e di tutte le forme dato che geometricamente è rappresentato da un punto.

Due: primo numero femminile anche numero della divisione e della discordia.

Tre: primo numero maschile e anche numero dell'armonia dato che è la somma di 1+2 (unità+divisione).

Quattro: il numero della giustizia e dell'ordine dato che 4 punti formano un tetraedro, una figura finita; importante anche perché legato al dieci.

Dieci: rappresentazione del cosmo nella sua interezza dato che è la somma di 1+2+3+4 quindi unione delle proprietà fondamentali: unicità, polarità, armonia e ordine.

Sei: il numero della creazione e della perfezione perché somma di tutti i suoi multipli 1+2+3.

Cinque: il numero del matrimonio e dell'amore in quanto somma di 3+2 (UOMO+DONNA). Cinque punti uniti formano il pentagramma (stella a cinque punte) simbolo di salubrità per questo anche simbolo ufficiale della setta.

Il pentagramma è strettamente legato al pentagono e alla sezione aurea, infatti collegando tutti i vertici del pentagono regolare si ottiene un pentagramma e al centro un altro pentagono regolare più piccolo. Il rapporto fra il primo pentagono e f.

quest'ultimo pentagono è esattamente uguale a f.

Uguale a f è anche il rapporto fra il lato e la diagonale del pentagono, ma anche altri numerosi rapporti sono uguali a f:

Rapporti uguali a AD/CD; CD/LC

LC/LF e via di seguito.

Una delle più importanti proprietà del pentagono è la possibilità di costruire infiniti pentagrammi e quindi infiniti pentagoni inseriti gli uni dentro agli altri, questa proprietà può essere usate per dimostrare che la diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili e di conseguenza f è un numero irrazionale.

Crisi della scuola pitagorica

Certezza nella misurabilità del cosmo

Per pitagorici, secondo la loro idea di armonia e perfezione, tutto era misurabile, calcolabile e quindi finito.

f:

Scoperta di

Il primo a scoprire la sezione aurea fu Ippaso da Metaponto, con essa scoprì anche l'incommensurabilità.

Inizia la crisi

Importantissima per noi, la scoperta dell'incommensurabilità per i pitagorici fu traumatica e pericolosa perché minava la finitudine del cosmo tanto cara alla setta.

Leggende

Furono uccisi 100 buoi (ipotesi poco credibile dato il regime vegetariano della setta) e Ippaso “si dice che [...] sia perito in mare per la sua empietà” (Giamblico).

Inizio di un'imperfezione cosmica

Da tenere il più possibile segreta: narra la leggenda che quando un uomo diffuse questa scoperta fu colpito dai fulmini di Zeus.

Sezione aurea nella geometria euclidea

Anche se i primi a scoprire la sezione aurea furono i pitagorici, il primo a studiarla e descriverla in modo più completo fu Euclide che nella sua opera più importante, “Gli Elementi”, ne parla e ne discute ampiamente e ce ne fornisce la definizione che ancora oggi è accettata.

Prima definizione di sezione aurea

La definizione fornitaci da Euclide nel IV libro degli Elementi recita così:

“DIVIDERE UN SEGMENTO IN MEDIA E ESTREMA RAGIONE”, quindi trovare quella parte del segmento che è media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente cioè trovare la sezione aurea.

Utilità della sezione aurea

La sezione di un segmento “in media ed estrema ragione” era particolarmente cara a Euclide perché utile per costruire diverse figure geometriche; oltre al pentagono anche l'icosaedro e il dodecaedro considerati, insieme agli altri solidi platonici (cubo, tetraedro e ottaedro), dotati di grande proprietà naturali ed estetiche.

Icosaedro, ottaedro, tetraedro

Cubo

Dodecaedro

Costruire un pentagono regolare era l'obiettivo fondamentale di Euclide perché da esso è possibile costruire numerose altre figure come il decagono, il pentadecagono e persino l'icosaedro e il dodecaedro.

Per costruire il pentagono Euclide si servì della sezione aurea.

Ma qual è il nesso fra sezione aurea e pentagono? La più importante relazione fra pentagono e sezione aurea è esposta dal seguente teorema:

Il lato di un pentagono regolare è sezione aurea della diagonale del pentagono.

Dimostrazione

In una qualsiasi figura piana regolare la somma degli angoli è uguale a 180 x (n-2) dove n indica il numero di lati del poligono, quindi la somma dei lati del pentagono è: 180 x (5-2) = 540° quindi ciascun angolo misurerà 108°.

Tracciamo due diagonali adiacenti in modo da formare tre triangoli isosceli:

I due triangoli laterali vengono chiamati gnomoni aurei, quello centrale triangolo aureo. Gli angoli alla base degli gnomoni misurano (180-108°)/2 = 36° quindi gli angoli del triangolo aureo misurano DAB=36°, ADB=ABD=72°. Bisecando uno degli angoli alla base si ottiene un altro triangolo con gli angoli di 36, 72, 72. Per il III criterio di similitudine i triangoli ABD e DCB sono simili quindi possiamo scrivere la proporzione:

AB:DB=DB:BC

Quindi, dalla definizione di sezione aurea, si deduce che DB è la sezione aurea del segmento

AB.

La dimostrazione precedente è servita per capire che la capacità di costruire una linea divisa secondo il rapporto aureo costituisce un semplice sistema per la costruzione di un pentagono regolare. Ma come è possibile costruire la sezione aurea di un segmento dato?

Euclide si pose questo problema indicandoci una possibile soluzione, comunque il metodo più usato e più semplice ci è stato fornito successivamente da Erone:

Costruzione della sezione aurea di un segmento

Dato un segmento AB, si conduca la perpendicolare ad AB nell'estremo B e si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB. Si tracci la circonferenza di centro O e di raggio OB che, essendo perpendicolare al segmento AB, si ottiene che AB è tangente alla circonferenza.

Successivamente si unisca A con O questa retta incontra la circonferenza nei punti C e D, infine si porti il segmento AC su AB in modo da ottenere AE=AC. Si dimostra che AE è sezione aurea del segmento AB.

Dimostrazione

Per il teorema della tangente e della secante si ha: AD:AB=AB:AC.

D Applicando la proprietà dello scomporre delle proporzioni abbiamo: (AD-AB):AB=(AB-AC):AC.

O Ma essendo AB=CD e AC=AE si ottiene:

AD-AB=AD-CD=AC=AE; AB-AC=AB-AE=EB

In questo modo la proporzione iniziale diventa:

C AE:AB=EB:AE

Infine applicando la proprietà del invertire si ha:

E B AB:AE=AE:EB

A AE è la sezione aurea di AB.

Sapendo costruire la sezione aurea e conoscendo la relazione che la lega al pentagono, Euclide era in grado di disegnare un pentagono e tutte le figure geometriche da esso derivate.

Rettangolo aureo

Con l'uso della sezione aurea è possibile costruire un particolarissimo tipo di rettangolo godente di singolari proprietà geometriche. Questo rettangolo viene chiamato rettangolo aureo ed ha un lato che è sezione aurea dell'altro. Quello aureo è l'unico rettangolo che consente, togliendo un quadrato dalla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo; un procedimento che può essere ripetuto infinite volte fino a convergere in un punto che è esattamente l'intersezione fra il primo rettangolo aureo e il secondo. Questo punto è stato chiamato “l'occhio di Dio”, alludendo alle proprietà divine attribuite a f.

Dimostrazione

Se ABCD è un rettangolo aureo allora per definizione si ha:

31°43’ AD:DC=DC:(AD-DC).

Se dividiamo il rettangolo in modo da ottenere un quadrato allora si ha: ED=DC da cui si ricava:

Latitudine di Gerusalemme AD:ED=ED:AE.

Applicando la proprietà dello scomporre si ottiene:

(AD-ED):ED=(ED-AE):AE

Sapendo che ED=EF possiamo scrivere la seguente proporzione:

AE:EF=(EF-AE):AE

E infine dalla proprietà dell'invertire si ottiene:

EF:AE=AE:(EF-AE). AE è la sezione aurea di EF quindi il nuovo rettangolo AEFB è un rettangolo aureo.

Triangolo aureo

C

La sezione aurea non ricorre soltanto nel rettangolo, nel pentagono e nelle figure ad esso annesse, ma è possibile individuarla in un particolare tipo di triangolo, chiamato triangolo aureo. Questo particolare triangolo è stato già individuato nel pentagono, infatti è quel triangolo ricavato con la costruzione di due diagonali adiacenti del pentagono ed è stato dimostrato che ha gli angoli di 36°, 72° e 72°. Apparentemente è un triangolo isoscele come tutti gli altri, ma ha differenza di questi il triangolo aureo gode di una singolare proprietà, infatti, bisecando uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo simile a quello di partenza, bisecando quest'ultimo si ottiene un altro triangolo simile ai precedenti e si 72° 72° B.

A

Può continuare all'infinito: è l'unico triangolo a godere di questa straordinaria proprietà.

La sezione aurea nell'arte classica

La sezione aurea ebbe sulla cultura greca un tale fascino che architetti e scultori hanno voluto farne il loro canone di perfezione, bellezza e armonia. Ancora oggi i resti degli antichi templi classici evocano un senso di equilibrio, armonia e perfezione, che ci incanta con il ritmo delle loro proporzioni.

Unificare le scienze e le arti secondo i rapporti armonici che regolano l'universo.

Ogni parte di un'opera d'arte deve essere un microcosmo, un modello minuscolo dell'insieme.

Fini dell'arte classica

Conferire agli edifici, soprattutto quelli sacri, l'idea di equilibrio e perfezione.

Raggiungere l'armonia universale intesa come “unificazione della molteplicità frammista e messa in concordanza del discordante”.

(Filolao, Fr. B 10 DK), ossia come perfetto equilibrio tra l'opposizione dei principi.

In questo contesto viene a collocarsi il grande uso da parte degli antichi della sezione aurea nell'arte, come nel Partenone di Ictino, o nelle sculture di Fidia.

Fidia e il Partenone

Fra gli artisti chiamati da Pericle per la costruzione del Partenone, Fidia, figlio di Carmide, scultore ingegnere architetto genio artistico fra i più completi è quello di maggiore prestigio. La sua gloria è affidata al Partenone, eretto con la sua collaborazione, da Ictino e Callicrate. L'edificio ancora conserva, nonostante le distruzioni e le spoliazioni, tutto il fascino che gli viene da una struttura equilibrata e proporzionata, in un miracoloso accordo di misure geometriche esatte e di un'ispirazione libera da regole fisse, viva, naturale. È come se l'architettura si tramutasse in scultura per variare armoniosamente di effetti con il variare della luce. E ciò appunto è il messaggio e la conquista dello spirito Greco: armonia del vero e dell'ideale, di ciò che è momentaneo e di ciò che dura, del senso e dello spirito; le emozioni e i sentimenti vivono e mantengono il loro valore accanto al valore immortale della ragione e dell'idea.

La perfezione delle sculture di Fidia e l'ampio uso della sezione aurea nelle sue opere hanno portato ad indicare il valore del rapporto aureo con la lettera f greca iniziale di Fidia.

Il Partenone

Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla cima di un colle che domina la città di Atene.

Oggi per la maggior parte in rovina, il Partenone era un tempio dedicato alla dea Atena, protettrice della città, e fu costruito attorno al 440/430 a.C.

Il Partenone contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti. La sua larghezza e altezza, quando i frontoni erano intatti, corrispondevano esattamente a quelle di un rettangolo aureo, ma anche l'altezza dalla sommità del timpano alla base del piedistallo è divisa secondo il rapporto aureo. In realtà si può notare come nel Partenone siano presenti una successione di rettangoli aurei, infatti una caratteristica particolarmente cara agli artisti greci era la possibilità geometrica di riprodurre infinite volte il rapporto aureo. Anche nella pianta è possibile notare un rettangolo aureo.

Agostino: matematica, musica, Dio

“[…] qualsiasi sua particella, per quanto piccola, da un punto indivisibile si estende necessariamente nella linea, riceve per terza la superficie e per quarto il volume con cui il corpo è completo. Da chi proviene dunque questa progressione aritmetica dalla prima alla quarta? Da chi anche l'eguaglianza delle parti, che si trova nella linea, superficie e volume? Da chi questo rapporto razionale, per cui il rapporto che ha la linea indivisibile, lo ha anche la superficie alla linea e il volume alla superficie? Da chi dunque, scusa, tutto ciò se non dalla somma eterna principialità dei valori numerici, della proporzione, della eguaglianza e della finalità?”