La quadratura del cerchio

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Dante Alighieri

Con la supervisione del: Lavoro multimediale realizzato da:

Prof. Vittorio Cesare Grandinetti Vita Andrea

La Quadratura Del Cerchio Surace Francesco

Anno scolastico 2001/2002 della classe VF Liceo Tecnico

La quadra

Premessa

Qual è ' l geometra che tutto s'affigge,

per misurare lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond' elli indige;

Tale, era io, a quella vista nova;

veder voleva come si convenne

L' imago al cerchio, e come vi s'indova;

ma non eran da ciò le proprie penne. D. Alighieri - paradiso

Canto XXXIII (vv. 133-139)

Il nei secoli

p

p p

Gli antichi Babilonesi attribuivano a il valore 3; nella Bibbia si riferisce che anche gli ebrei del tempo di Re Salomone consideravano = 3. Col progredire delle

civiltà e delle conoscenze furono poi trovati valori più precisi. Nel famoso papiro di RHIND (1650 a.C.), in cui sono raccolte quasi tutte le scoperte geometriche

p

degli Egizi, nel numero H viene dato un valore già accettabile = 3.1604. Nel papiro viene indicata come la regola di quadratura, senza darne una dimostrazione, la seguente:

- È equivalente ad un cerchio quel quadrato che ha per lato gli 8/9 del diametro del cerchio. p

Se per semplificare, assumiamo il diametro lungo 1, il lato del quadrato sarà lungo 8/9 e la sua area risulterà 64/81. Noi che conosciamo la formula r per trovare

2

l'area del cerchio, possiamo allora scrivere:

p p p

r = 64/81; ma r=1/2 dunque 1/4, =64/81 da cui =256/81=3,1604....

2

Si ottiene in tal modo un valore di p molto vicino a quello di 3,14 che si determina con metodo razionale. Come simbolo del rapporto tra la circonferenza e il diametro

del circolo, pare che l'uso della lettera greca H sia stato introdotto nel XVII secolo nelle opere "the key of the mathematics" Londra 1647, di Oughtred e Isaci Borrow.

Matematicae lechenes abitae in scholis publicis Accadimiae Cantabrigeusus Londra 1684

p

Altro sul valore di p

altro sul valore di

p degli Indù p

I matematici indiani conoscevano con molta approssimazione. Gli si dava il valore di 49/16 ossia 3,0625 e verso il 530 si dava la frazione 62832/20000 = 3,1416. Addirittura, per

ricordare le cifre di p si è ricorsi alla composizione di frasi o versi nei quali il numero delle lettere delle singole parole corrisponde a quello delle cifre del numero che si voglia tenere in

mente. Come ad esempio:

ANE (3) I (1) AIME (4) A (1) FAIRE (5) APPRENDRE (9) UN (2) NOMBRE (6) UTILE (5) AUX (3) SAGES (5) IMMORTEL (8) ARCHIMEDE (9) SUBLIME (7) INGENIUR (9)

QUI (3) DE (2) TON (3) JNGEMENT (8) PENT (4) SONDER (6) LA (2) VELEUR (6) POUR (4) NOI (3) TEN (3) PROBLEME (8) ENT (3) DE (2) PORELIS (7) AVANTAGES (9).

p

ossia = 3,1459 26535 89793 23846 26433 83279

p degli Egizi 2

Pare che gli Egiziani usassero per la rettificazione del quarto della il valore (8/9) cui corrisponde p = 3,1604 per quanto descritto nel papiro di RHIND e attribuito allo scrittore egiziano

AHMES, conservato al British Museum a Londra.

p di Tolomeo 1 1

p

Tolomeo non si occupò direttamente della determinazione di, ma costruì delle tavole di corda della circonferenza di 30 in 30, dell'arco di 30 a quello di 180°. Egli ammetteva come

2 3

valore della corda dell'arco di 1°: 1/60 + 2/60 + 50/50 del raggio, ossia 1° 2' 50''. Ammettendo che quest'arco non differisca sensibilmente dalla sua corda, l'arco di 60° avrebbe per

2 2

lunghezza 1 + 2/60 + 50/60 del raggio, ossia 1° 2' 50'' del raggio. Dunque la semicirconferenza di raggio 1 oppure la circonferenza intera di diametro 1, è: 3+8/60+30/60 o 3, 8°, 30

p

ossia 3 + 17/120 che è uguale a 3,141666. Tale era il di Tolomeo. p

Il di Archimede

Questi valori più o meno approssimati furono usati fino a quando Archimede (III SEC.A.C.) riuscì a calcolare il valore di con preciso metodo scientifico. Egli partì

dalla considerazione, secondo cui la lunghezza della circonferenza è maggiore del perimetro di un qualunque poligono inscritto e minore del perimetro di un

qualunque poligono circoscritto e che, pertanto, i perimetri dei poligoni inscritti costituiscono dei valori approssimati per difetto e i perimetri dei perimetri circoscritti

sono dei valori approssimati per eccesso della lunghezza della circonferenza. Partendo dall'esagono regolare iscritto e da quello circoscritto utilizzando il metodo di Esaustione, già noto ai tempi di Eudosso, egli raddoppiò via via il numero dei lati sino a pervenire ai poligoni regolari, inscritto e circoscritto di 96 lati; riuscì così a

p

"imprigionare" il numero tra due numeri sempre più vicini tra loro e trovò che l'area del cerchio di raggio r era compreso tra (3+10/71)r e (3+10/70)r. In realtà

Archimede non riuscì a trovare l'area del cerchio, egli pensava però che aumentando sempre di più il numero dei lati del poligono si potesse esaurire il cerchio. Ma la

grande rilevanza concettuale del metodo di Archimede rimane: se è vero che non riuscì a centrare l'obbiettivo del calcolo esatto dell'area del cerchio, è pur vero che il

grande mago Siracusano ha indicato la strada maestra