La quadratura del cerchio

La quadratura del cerchio

I link della nostra scuola:

www.fermischool.net

www2.fermischool.net

www.bruzioweb.net

Dante Alighieri

Con la supervisione del: Lavoro multimediale realizzato da:

Prof. Vittorio Cesare Grandinetti Vita Andrea

La Quadratura Del Cerchio Surace Francesco

Anno scolastico 2001/2002 della classe VF Liceo Tecnico

La quadra

Premessa

Qual è ' l geometra che tutto s'affigge,

per misurare lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond' elli indige;

Tale, era io, a quella vista nova;

veder voleva come si convenne

L' imago al cerchio, e come vi s'indova;

ma non eran da ciò le proprie penne. D. Alighieri - paradiso

Canto XXXIII (vv. 133-139)

Il nei secoli

p

p p

Gli antichi Babilonesi attribuivano a il valore 3; nella Bibbia si riferisce che anche gli ebrei del tempo di Re Salomone consideravano = 3. Col progredire delle

civiltà e delle conoscenze furono poi trovati valori più precisi. Nel famoso papiro di RHIND (1650 a.C.), in cui sono raccolte quasi tutte le scoperte geometriche

p

degli Egizi, nel numero H viene dato un valore già accettabile = 3.1604. Nel papiro viene indicata come la regola di quadratura , senza darne una

dimostrazione, la seguente:

- è equivalente ad un cerchio quel quadrato che ha per lato gli 8/9 del diametro del cerchio. p

Se per semplificare, assumiamo il diametro lungo 1, il lato del quadrato sarà lungo 8/9 e la sua area risulterà 64/81. Noi che conosciamo la formula r per trovare

2

l'area del cerchio, possiamo allora scrivere:

p p p

r = 64/81; ma r=1/2 dunque 1/4, =64/81 da cui =256/81=3,1604....

2

Si ottiene in tal modo un valore di p molto vicino a quello di 3,14 che si determina con metodo razionale. Come simbolo del rapporto tra la circonferenza e il diametro

del circolo, pare che l'uso della lettera greca H sia stato introdotto nel XVII secolo nelle opere "the key of the mathematics" Londra 1647, di Oughtred e Isaci Borrow.

Matematicae lechenes abitae in scholis publicis Accadimiae Cantabrigeusus Londra 1684

p

Altro sul valore di p

altro sul valore di

p degli Indù p

I matematici indiani conoscevano con molta approssimazione.Gli si dava il valore di 49/16 ossia 3,0625 e verso il 530 si dava la frazione 62832/20000 = 3,1416. Addirittura, per

ricordare le cifre di p si è ricorsi alla composizione di frasi o versi nei quali il numero delle lettere delle singole parole corrisponde a quello delle cifre del numero che si voglia tenere in

mente. Come ad esempio:

ANE (3) I (1) AIME (4) A (1) FAIRE (5) APPRENDRE (9) UN (2) NOMBRE (6) UTILE (5) AUX (3) SAGES (5) IMMORTEL (8) ARCHIMEDE (9) SUBLIME (7) INGENIUR (9)

QUI (3) DE (2) TON (3) JNGEMENT (8) PENT (4) SONDER (6) LA (2) VELEUR (6) POUR (4) NOI (3) TEN (3) PROBLEME (8) ENT (3) DE (2) PORELIS (7) AVANTAGES (9).

p

ossia = 3,1459 26535 89793 23846 26433 83279

p DEGLI EGIZI 2

Pare che gli Egiziani usassero per la rettificazione del quarto della il valore (8/9) cui corrisponde p = 3,1604 per quanto descritto nel papiro di RHIND e attribuito allo scrittore egiziano

AHMES, conservato al British Museum a Londra.

p DI TOLOMEO 1 1

p

Tolomeo non si occupò direttamente della determinazione di , ma costruì delle tavole di corda della circonferenza di 30 in 30 , dell'arco di 30 a quello di 180°. Egli ammetteva come

2 3

valore della corda dell'arco di 1° : 1/60 + 2/60 + 50/50 del raggio, ossia 1° 2' 50''. Ammettendo che quest'arco non differisca sensibilmente dalla sua corda, l'arco di 60° avrebbe per

2 2

lunghezza 1 + 2/60 + 50/60 del raggio, ossia 1° 2' 50'' del raggio. Dunque la semicirconferenza di raggio 1 oppure la circonferenza intera di diametro 1, è : 3+8/60+30/60 o 3, 8° , 30

p

ossia 3 + 17/120 che è uguale a 3,141666. Tale era il di Tolomeo. p

Il di Archimede p

Questi valori più o meno approssimati furono usati fino a quando Archimede (III SEC.A.C.) riuscì a calcolare il valore di con preciso metodo scientifico.Egli partì

dalla considerazione, secondo cui la lunghezza della circonferenza è maggiore del perimetro di un qualunque poligono inscritto e minore del perimetro di un

qualunque poligono circoscritto e che,pertanto, i perimetri dei poligoni inscritti costituiscono dei valori approssimati per difetto e i perimetri dei perimetri circoscritti

sono dei valori approssimati per eccesso della lunghezza della circonferenza.Partendo dall'esagono regolare iscritto e da quello circoscritto utilizzando il metodo di

Esaustione, gia noto ai tempi di Eudosso,egli raddoppiò via via il numero dei lati sino a pervenire ai poligoni regolari, inscritto e circoscritto di 96 lati;riuscì così a

p

"imprigionare" il numero tra due numeri sempre più vicini tra loro e trovò che l'area del cerchio di raggio r era compreso tra (3+10/71)r e (3+10/70)r.In realtà

Archimede non riuscì a trovare l'area del cerchio,egli pensava però che aumentando sempre di più il numero dei lati del poligono si potesse esaurire il cerchio.Ma la

grande rilevanza concettuale del metodo di Archimede rimane:se è vero che non riuscì a centrare l'obbiettivo del calcolo esatto dell'area del cerchio,è pur vero che il

grande mago Siracusano ha indicato la strada maestra che permette di avvicinarsi quanto si vuole, a tale obbiettivo.Dopo Archimede, molti furono i matematici che

dedicarono parte dei loro studi a questo strano numero, che venne calcolato con un numero di cifre decimali nella speranza di trovare eventuale periodo.Malgrado

tali tentativi, la natura di questo numero rimase sconosciuta fino al 1767 quando il matematico Svizzero Johann Itelurich Lambert dimostrò che lo sforzo per arrivare

p p

a un valore esatto di era inutile: è un numero irrazionale, cioè decimale limitato non periodico.Nei tempi moderni, con il calcolatore si è giunti a trovare più di

p

p

100000 cifre decimali,ovviamente senza alcuna periodicità del numero . A differenza però di , anch'essi numeri irrazionali aveva una natura diversa,era si

p

decimale illimitato non periodico ma, a differenza di e non si riesce a costruire con riga e compasso un segmento lungo esattamente .

Calcolo di attraverso la serie ciclometrica

p

Primo termine

Secondo termine per -1< x < 1;

Per x=1 e per x=-1 (-1< x <1) la serie è convergente.

1. 1

Prendiamo ad esempio arctg L'arctg è uguale a quando l'angolo è di 45° .

per x = 1;

quindi : La curva di Ippia

Ippia di Elide ideò una curva mediante la quale è facile risolvere sia il problema della quadratura del cerchio che della trisezione dell'angolo generico. Resta ormai

chiarito che attraverso il solo uso di riga e compasso non si riesce a rettificare la circonferenza e quindi a quadrare il cerchio. Se, oltre alle linee elementari (segmenti,

circoli), consideriamo linee che non sono tali, cioè facciamo ricorso a curve di ordine superiore a due, tracciati eventualmente con strumenti non elementari, allora si

riesce nell'intento di rettificare la circonferenza. E' interessante vedere, fra tante almeno una rettificazione di circonferenza ottenuta senza l'uso esclusivo della riga e

del compasso.

DESCRIZIONE DELLA CURVA

Consideriamo un quadrato abcd e facciamo ruotare uniformemente il lato CB attorno al vertice C, fino a portarsi su CD; contemporaneamente un moto uniforme di

traslazione al lato AB fino a portarsi sul lato CD stesso.Regoliamo i due moti in maniera tale che i segmenti detti portano contemporaneamente e giungano sempre

contemporaneamente nella posizione finale.Si chiama curva di Ippia il luogo geometrico delle intersezioni dei due segmenti mobili, ottenute istante per istante. La

curva è costruibile per punti mediante successive bisezioni del segmento BC e dell'angolo B'CD.

EQUAZIONE DELLA CURVA

In termini più moderni, cerchiamo di ricavare dalla definizione l'equazione della curva. Prendiamo intanto il lato del quadrato come unità di misura, come asse x e asse

y rispettivamente le rette cui giacciono i lati CD e CB.

ponendo avremo:

e anche

quindi che rappresenta l'equazione della curva descritta.

Quadratura del cerchio

La curva di Ippia si presta assai bene anche per risolvere il problema della quadratura del cerchio. In tale circostanza viene chiamata quadratrice

di Dinostrato (matematico v sec A.C.) che per trattare il problema in questione, ha applicato il metodo di Esaustione determiniamo innanzitutto,

con metodi moderni la posizione del punto z della figura sotto.

Si tratta di calcolare

ricordando l'equazione della curva descritta

segue che

posto dunque

e dunque il limite da calcolare diventa:

dunque .

La conoscenza di cz permette adesso di procedere elementarmente, cioè con il solo uso di riga e compasso alla rettificazione dell'arco DSB

permettendo cosi di costruire con il solo uso di riga e compasso il segmento equivalente all'arco DSB, quarta parte della circonferenza di raggio

CD. Basta costruire il segmento CF terzo proporzionale dopo CZ e CD, quindi avremo: CZ : CD = CD : CF.

Costruzione del 3° proporzionale CF

La costruzione del segmento CF avviene in maniera classica; pensiamo CZ che CD su X e sull’asse Y (retta per BC) il segmento congruente a CD

@

che indichiamo con CE (CE CD).Congiungiamo Z con E. Tracciamo la parallela DF alla retta ZE. Per il teorema di Talete il segmento CF è il terzo

proporzionale richiesto.

Teorema di Talete fascio di rette parallele (E2//ED) determina sopra due (CD-CF) insiemi di segmenti direttamente proporzionali (CZ:CD=CE:CF

@

con CD CE).

Passando alle misure avremo:

Abbiamo dunque trovato un segmento lineare che rappresenta la rettificazione di 1/4 di circonferenza di raggio unitario.

Costruita la circonferenza rettificata, la quadratura del cerchio è immediata. Infatti prendendo in considerazione il rettangolo CDFG la sua area

è:

Dunque l'area del triangolo coincide con l'area del semicerchio di raggio CD (la misura di CF=p/2 come la misura di DSB). L'area del rettangolo

DGIH, che è doppio di DGFC, coincide con l'area del cerchio intero. A questo punto abbiamo trovato un rettangolo DGIH equivalente ad un cerchio.

E' facile adesso trovare un quadrato equivalente ad un rettangolo attraverso il primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato

di un cateto è equivalente al rettangolo dell'ipotenusa e della proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Conclusioni

Molte discussioni hanno destato la seguente domanda:

- la soluzione del problema di Dinostrato è da considerarsi rigorosa o solo approssimata?

Riteniamo di poter rispondere affermativamente se si ammette di poter eseguire con esattezza le costruzioni descritte necessarie al fin proposto.

Numeri trascendenti

p

Nonostante le dimostrazione di Lambert, la natura del numero non potè dirsi completamente chiara sino a quando, nel 1882 il matematico

p

tedesco Ferdinand Lindemann mostrò che oltre a essere irrazionale è trascendente (non può essere costruito con riga e compasso, come per

p

esempio la radice di 2 che è pure un numero irrazionale) intendendo dire che non è radice non solo di un'equazione algebrica di primo e di

secondo grado ma non è radice di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi di qualsiasi grado cioè una equazione della forma:

La dimostrazione di Lindemann metteva così fine a un tormentato problema come quello della rettificazione della circonferenza e della

quadratura del cerchio che per 4.000 anni ha travagliato l'umanità.

Classificazione dei problemi geometrici dal punto di vista analitico

Numero algebrico

Un numero algebrico è un qualsiasi numero x reale o complesso che soddisfi un'equazione algebrica della forma:

n n-1 n-2

a x + a x + a x + ..... + a x + a = 0

n n-1 n-2 1 0

.

( n > 1, a 0 )

n

Ad esempio è un numero algebrico perché soddisfa l'equazione:

2

x - 2 = 0. Problema geometrico e costruzione con riga e compasso

Proposizione: la costruzione con riga e compasso , a partire da un segmento r, del segmento kr è possibile se e solo se k è un numero reale razionale oppure

reale irrazionale ottenuto eseguendo un numero finito di operazioni razionali ( addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione) e di estrazione di radici

quadrate sopra numeri razionali.