La Matematica oltre il numero 2

La matematica

La matematica, considerata nel modo giusto, possiede… una bellezza suprema: una bellezza

fredda e austera, come quella della scultura, priva di richiamo per le parti della nostra natura,

priva degli sgargianti ornamenti della pittura o della musica, eppure di una bellezza sublime, e

capace di una severa perfezione quale soltanto l’arte più grande può rivelare. Il puro spirito di

gioia, l’esaltazione, il senso di qualcosa di più umano che è la pietra di paragone della massima

eccellenza, si trova nella matematica non meno che nella poesia. Bertrand Russell

Nonostante l’opinione comune, per quanto giustificata possa esser in relazione

all’insegnamento della matematica che si fa nelle scuole, la decisione del profano di ignorare la

matematica è sbagliata. L’argomento non si esaurisce in una serie di tecniche. Queste sono, di

fatto, l’aspetto meno importante e sono altrettanto poco adeguate a rappresentare la

matematica quanto un miscuglio di colori è adeguato a rappresentare la pittura. Le tecniche

sono la matematica spogliata di motivazione, ragionamento, bellezza e significato.

La matematica non è fine a se stessa: uso fondamentale della matematica, che ha acquistato

rilievo eccezionale in tempi moderni, è stato quello di fornire un’organizzazione razionale dei

fenomeni naturali. I concetti, metodi e conclusioni della matematica sono il sostrato delle

scienze fisiche. La matematica ha restituito la vita alle ossa aride di fatti sconnessi e,

agendo come tessuto connettivo, ha legato serie di osservazioni staccate in corpi di scienza.

Anche studi puramente astratti, e non solo quelli motivati da esigenze scientifiche e tecniche,

si sono dimostrati di grandissima utilità. La scoperta delle sezioni coniche (parabole, ellissi e

iperboli) per duemila anni è stata considerata nulla di più dell’“inutile divertimento di un

cervello speculativo”, ha reso possibile in secoli recenti la moderna astronomia, la teoria

del moto dei proiettili e la legge gravitazionale universale.

Le applicazioni della matematica sono notevoli e alcune anche molto conosciute: solamente

osservando la natura ne troviamo tantissima, un esempio siamo noi umani, in quanto il nostro

corpo ha come caratteristica evidente la simmetria che è un concetto matematico. Un altro

esempio, magari meno conosciuto, è la struttura olocristallina delle rocce magmatiche

intrusive: queste rocce si sono formate nella crosta terrestre, ossia il magma si è raffreddato

lentamente e gli elementi di cui è composto hanno il tempo necessario per distribuirsi in

maniera ordinata (formando appunto dei cristalli). Un altro campo in cui possiamo trovare

molta matematica è l’informatica, un esempio è la crittografia che si fonda sull’uso di un

problema complesso, ovvero un’operazione matematica semplice da eseguire ma dal cui

risultato è difficile risalire agli argomenti della stessa. L’esempio classico è il problema della

fattorizzazione di un numero (trovare i numeri primi che lo producono se moltiplicati tra loro,

ad esempio è facile moltiplicare 17*23 ottenendo 391, ben più difficile è per esempio

fattorizzare il numero 377 nei fattori primi 13 e 19) usata nel primo e più famoso sistema

crittografico a chiave pubblica: RSA. Le conoscenze di matematica pura sviluppate dall’uomo

negli ultimi secoli hanno reso sempre più efficiente fattorizzare, ma nessuno è mai riuscito a

far fare quel “salto” che porta il problema da complesso a non essere più complesso, il

problema diventa quindi intrattabile per numeri oltre una certa dimensione, attualmente per la

crittografia RSA vengono considerati “sicuri” numeri di almeno 300 cifre (chiavi da 1024 bit e

oltre). Altro esempio di problema complesso è il logaritmo discreto, usato nella nascente

crittografia ellittica.

È meno nota invece l’applicazione della matematica nella Divina Commedia e come si sono

sviluppate le filosofie della matematica soprattutto dopo la crisi dei fondamenti.

La matematica nella Divina Commedia

Paradiso, XIII, 96-102

Non ho parlato sì, che tu non posse Non ho parlato in modo così oscuro, che tu

ben veder ch’el fu re, che chiese senno non possa capire che egli fu il re che chiese

acciò che re sufficiente fosse; (a Dio) la saggezza per poter essere un

sovrano capace di adempiere il suo ufficio,

non per sapere il numero in che enno non per sapere quante sono le intelligenze

li motor di qua su, o se necesse motrici dei cieli, o per conoscere se una

con contingente mai necesse fenno; premessa necessaria e una contingente

portano ad una conclusione necessaria;

non, si est dare primum motum esse,

o se del mezzo cerchio far si pote né per sapere se è possibile (est)

triangol si ch’un retto non avesse. ammettere che esista (nell’universo) un

moto primo dal quale dipendono tutti gli

altri, o per conoscere se in un semicerchio

si possa iscrivere un triangolo che non sia

rettangolo.

Dove siamo

San Tommaso ha già narrato al poeta la vita di san Francesco, e si accinge a sciogliere l’altro

dubbio, suscitato in lui quando, parlando di Salomone, aveva detto: “a veder tanto non surse il

secondo”. Egli gli spiega che lui crede in Adamo e in Cristo sia stata infusa da Dio tanta

sapienza quanta può esser concessa alla natura umana, e perciò ti meravigli che io abbia detto

che Salomone non ebbe chi lo uguagliasse in sapienza, e successivamente gli rammenta di

stare bene attento a quello che dirà poiché la sua opinione e le sue parole si incontreranno. Le

creature incorruttibili e le corruttibili non sono che il riflesso di quella idea (il Verbo divino),

che Dio genera con l’atto d’amore, perché la luce del Verbo divino, che deriva dal Padre senza

separarsi né dal Padre né dallo Spirito Santo, raccoglie e concentra spontaneamente i suoi

raggi, come in altrettanti specchi, nelle nove gerarchie angeliche, pur rimanendo sempre una.

Da queste gerarchie tale luce discende di cielo in cielo fino agli elementi del mondo sublunare

attenuandosi fino al punto da non produrre che cose corruttibili e di breve durata, cioè le

cose generate, organiche od inorganiche. La materia di queste cose generate, e il cielo che con

la sua influenza la informa, possono trovarsi in varia condizione, e perciò tale materia, sotto il

suggello dell’Idea divina, risplende più o meno; per cui avviene che alberi della stessa specie

producano frutti buoni o cattivi, e che gli uomini nascano con diverso ingegno. Se la materia si

trovasse nella condizione più conveniente e il cielo operasse con tutta la sua virtù, si

manifesterebbe nelle cose tutta la luce dell’Idea divina, ma la natura presenta tale luce

sempre imperfetta, come l’artista che pur avendo disposizione all’arte, non riesce nell’opera

sua perché gli trema la mano. Ma se Dio, per mezzo dello Spirito Santo, crea direttamente,

nella cosa creata si ha tutta la perfezione possibile; e poiché in tal modo fu creato Adamo e fu

resa madre della Vergine, ha ragione Dante di credere che la natura umana non fu mai e non

sarà mai così perfetta come lo fu in Adamo e in Cristo. Quanto a Salomone, bisogna riflettere

quale era la condizione di lui e quale fu la cagione che lo spinse a domandare a Dio il dono della

sapienza. Egli era re e chiese a Dio il senno necessario per governare il popolo e non per

conoscere la teologia, l’astrologia, la metafisica o la matematica.

Qualche breve commento

Dante opera in queste terzine una distinzione fra la sapienza propria del re, che deve

governare il suo popolo secondo giustizia, e il sapere teologico, logico, metafisico, geometrico:

Salomone chiese a Dio la saggezza politica e, in questo campo, non ci fu nessuno che lo

eguagliasse. La discussione sulla sapienza di Salomone serve per altro al poeta per ampliare e

precisare il suo concetto di sapienza, estendendolo alla sapienza dell’agire, segnandone nel

contempo i confini: piena è la sapienza solo di Adamo e di Cristo-uomo; non quella di qualsiasi

altro uomo.

Il riferimento

Esaminiamo le due affermazioni di carattere scientifico:

• È possibile che vi sia un moto primo, cioè a sua volta non causato da un altro moto;
• È possibile che esista un triangolo inscritto in una semicirconferenza ma non rettangolo.

Ebbene, Dante le prende come esempi palesi di qualche cosa di falso perché contraddicono alla

modalità della necessità logica:

• Se c’è un moto, allora c’è anche necessariamente qualche cosa che l’ha generato, una causa
• Se un triangolo è inscritto in una semicirconferenza, allora necessariamente quel triangolo è

rettangolo cioè ha un angolo retto.