La matematica oltre se stessa

Silvia Pennati

Istituto d’istruzione superiore “G. Bertacchi”, Lecco

Liceo delle scienze sociali

Cl. V scienze sociali B

A.S. 2008/2009

“La matematica non possiede soltanto la verità, ma anche la bellezza suprema, una bellezza fredda ed austera, come quella della scultura.” Bertrand Russell

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Premessa

La scelta di questo argomento deriva da una domanda che ormai da un po’ di anni, soprattutto nel triennio, mi si è posta davanti, cioè come la matematica possa essere integrata con le altre discipline, valutando la sua interdisciplinarità non solo a livello scolastico, ma più in generale nella quotidianità.

Analizzando le “tematiche trasversali” dell’anno scolastico corrente, si nota subito come questa materia non sia mai presente; detta in altre parole, la matematica in quei “due fogli” non ha nemmeno una “x”.

La mia curiosità su questo aspetto si è fatta sempre più profonda, tanto da portarmi a scegliere come tesina questo argomento.

Svolgendo pian piano questo lavoro, il mio quesito trovava sempre più risposta.

Percorrendo il mondo dell’arte, della musica, della letteratura, ma anche solo delle scienze sociali si nota come la matematica sia sempre presente, magari nascosta tra le righe o dietro qualche nota musicale, ma è davvero stupefacente come essa ci sia sempre.

È come se fosse una materia onnipresente.

Allora perché le persone, i professori, ma anche gli stessi alunni, non vedono la presenza costante di questa bellissima e interessante materia nel mondo che li circonda?

Il problema sta proprio qui: l’interesse per la matematica è bassissimo perché pochi ne capiscono la bellezza.

La gente, ma soprattutto i ragazzi della mia generazione e i più piccoli, vedono la matematica come un peso, come qualcosa che fanno perché devono e non provano nemmeno a cercare di vederla come una disciplina interessante, dove c’è sempre qualcosa da scoprire.

C’è una sorta di pregiudizio nei confronti di questa materia che deriva soprattutto dal fatto che le persone non sempre riescono ad applicarsi nel suo studio.

Il limite della matematica, infatti, è che non ci vuole soltanto studio nello svolgerla, ma ci vuole soprattutto ragionamento e le persone, molte volte, non hanno voglia di “mettersi lì a ragionare”.

La matematica, quindi, non è considerata come qualcosa che nella vita ci può essere utile, che ci può aiutare a risolvere determinati dubbi o problemi.

È considerata per lo più un peso, una materia che “non vedo l’ora di finire il liceo per non farla più!”.

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Lo scopo di questa mia tesina è “smontare” tutte queste convinzioni, cercando di far comprendere alle persone come questa disciplina, anche se difficile, sia bella, ma soprattutto far notare come essa sia sempre presente, anche quando non ci aspetteremmo di incontrarla.

Il mio lavoro cerca di analizzare, infatti, come la matematica si “insinui” non solo nell’arte, nella musica, dove il collegamento potrebbe anche essere “normale”, ma anche nella letteratura e nelle scienze sociali.

”Io esorto a studiare matematica pur chi si accinga a divenire avvocato o economista, filosofo o letterato; perché io credo e spero che non gli sarà inutile saper bene ragionare e chiaramente esporre.” Alessandro Padoa (1868-1937)

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Matematica, arte

Cos’è e breve storia della matematica

L’emblema della matematicità nell’arte: Escher

La matematica oltre se stessa

Italiano

Viaggio alla scoperta della matematica nella letteratura

Musica

J. S. Bach e la fuga: i numeri negli spartiti del compositore

Scienze sociali

Interdisciplinarità della matematica

Questionario somministrato ad un campionario

Statistica dei risultati ottenuti

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Matematica

Cos’è la matematica?

La matematica si può considerare un insieme di discipline scientifiche, cioè che utilizzano il metodo sperimentale.

Esse hanno in comune:

1. L’uso di un linguaggio simbolico (uso delle lettere per rappresentare numeri, espressioni algebriche, simboli per rappresentare le operazioni, …) fondato sui concetti di numero e di figura geometrica.
2. Un metodo di ricerca basato sul modello ipotetico–deduttivo, cioè si considerano delle nozioni come certe / ipotesi e da queste si deducono altre nozioni.
3. La possibilità di raggiungere un alto grado di astrazione.

Le principali discipline matematiche sono:

• Aritmetica, cioè lo studio dei numeri e delle operazioni relative.
• Algebra, cioè lo studio dei metodi del calcolo letterale e la risoluzione dei problemi che hanno come modelli delle equazioni.
• Geometria che studia le relazioni spaziali e le forme delle figure piane e solide (in particolare la geometria euclidea che si basa sui postulati di Euclide).
• Trigonometria, cioè lo studio delle misure e delle relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo.
• Geometria analitica che utilizza il piano cartesiano per unire l’algebra e la geometria.
• Analisi matematica che, utilizzando le precedenti discipline, studia le funzioni nel modo più generale possibile partendo dalle nozioni di limite e sviluppando quelle di funzione derivata e di funzione integrale.
• Logica matematica (o logica formale) che fornisce l’impalcatura dei contenuti e dei metodi della matematica e studia le regole del linguaggio per la gestione e la trasmissione delle informazioni nell’informatica.
• Teoria delle probabilità, intuitivamente la probabilità di un evento: misura la possibilità che tale evento ha di verificarsi.
• Statistica che è lo studio dei fenomeni collettivi servendosi dei metodi matematici fondati sul calcolo delle probabilità.

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Matematica

Breve storia della matematica

Preistoria: sulle pitture rupestri rinvenute in alcune caverne e risalenti al Paleolitico ci sono delle testimonianze che già in epoche antecedenti al periodo storico l’uomo abbia sviluppato un rudimentale modo di contare: per far questo faceva delle incisioni sugli alberi oppure su ossa di animali. È stata la necessità di conoscere meglio l’ambiente che ha alimentato lo sviluppo del concetto di numero e del contare.

Civiltà preelleniche: tra il 3200 a.C. ed il 1000 a.C. in Egitto, Mesopotamia, India e Cina si sono conosciuti: il numero J, le quattro operazioni (anche con le frazioni), le equazioni lineari, quadratiche, alcuni tipi di equazioni di terzo grado e il calcolo dell’area di quasi tutte le figure geometriche.

Civiltà greca: a partire dal 1400 a.C., la Grecia fece un passo enorme rispetto alle civiltà precedenti, perché introdusse i due processi mentali che stanno alla base della matematica stessa: l’astrazione, cioè trovare un concetto generale esaminando molti casi particolari e la dimostrazione, cioè da premesse considerate certe con un ragionamento giungere ad una conclusione del tutto generale. Dal terzo secolo a.C. in poi il centro della cultura matematica greca divenne Alessandria d’Egitto, la città cosmopolita fondata da Alessandro Magno nel 331 a.C.

Pitagora (Samo 580 a.C.–497 a.C.) era a capo di una scuola che dimostrò il teorema che porta il suo nome.

Euclide (vissuto attorno al 300 a.C.) ha scritto gli “Elementi di geometria”, opera di enorme importanza in 13 volumi nella quale, partendo da “postulati”, cioè affermazioni assunte come vere perché considerate evidenti, ha esposto, dimostrandole rigorosamente, tutte le principali conoscenze matematiche del suo tempo.

Archimede (Siracusa 287 a.C. – 212 a.C.), il più grande scienziato del mondo antico, si è occupato di aritmetica, di geometria, di meccanica.

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Matematica

Civiltà romana: qui, lo sviluppo della matematica è stato quasi inesistente.

L’unico matematico latino di qualche rilievo è stato Severino Boezio: le sue ricerche di logica, matematica e geometria hanno avuto influenza in tutto il Medioevo.

Mondo arabo: uno dei meriti degli Arabi è stato quello di trasmettere al mondo occidentale il sistema di numerazione decimale appreso dagli Indiani, compreso l’uso dello zero.

Matematica indiana: tra il 200 d.C. ed il 1200 d.C. la matematica indiana fece enormi progressi, primo fra tutti l’uso del sistema di numerazione posizionale decimale, con simboli dall’1 al 9, più lo 0. La matematica indiana ha avuto una spiccata tendenza verso il calcolo numerico più che verso il rigore delle dimostrazioni. La loro risoluzione delle equazioni ha assunto una forma che si può definire algebrica.

Mondo occidentale: nel 529 la scuola di Atene fu chiusa da Giustiniano e questo portò alla decadenza della cultura matematica e alla scomparsa di qualsiasi stimolo alla ricerca scientifica. Per più di 600 anni il rigore del sistema ipotetico della geometria euclidea e lo spirito della matematica greca in Europa furono quasi totalmente assenti.

Epoca moderna: in questo periodo viene pubblicata la prima opera divulgativa del pensiero matematico arabo. All’inizio del Rinascimento sono state studiate in tutta la loro generalità le equazioni di terzo e quarto grado. Da allora la matematica e le scienze si sono sviluppate sempre più rapidamente, soprattutto dopo l’elaborazione del metodo sperimentale di Galileo e la scoperta, nel diciassettesimo secolo, del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz.

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Arte e musica

La matematica e le arti

Molti matematici pensano alla matematica come ad un’attività creativa, da considerarsi, per le sue caratteristiche, superiore a qualsiasi attività artistica.

Tale atteggiamento spiega in parte perché, periodicamente, i matematici non solo abbiano tentato di spiegare l’affascinante bellezza della loro disciplina, ma abbiano anche cercato di interpretare ed analizzare l’Arte, con la A maiuscola, tramite la matematica. D’altro canto vi sono molti esempi di artisti che, in epoche diverse, sono stati attratti dal fascino della matematica ed hanno cercato di utilizzarne idee e tecniche nella loro attività, quando non sono stati costretti a diventare loro stessi matematici.

Il matematico non può sfuggire all’ansia di mostrare come la sua disciplina sia una vera arte, con una sua intrinseca bellezza.

Si pone ovviamente la questione fondamentale del perché molte persone ritengano che l’inclusione della matematica tra le arti sia ingiustificata.

Una delle obiezioni più ricorrenti è che la matematica non provoca alcuna emozione.

Il problema consiste nel fatto che sono solo i ricercatori a poter provare queste emozioni e nessun altro: tutti possono guardare un’opera d’arte, ascoltare una sinfonia, mentre non si può guardare o ascoltare la matematica, creatrice di bellezza.

Non deve quindi stupire che, se la matematica è creatrice di bellezza, pretenda di fornire gli strumenti, oltre che alle altre discipline scientifiche, anche alle arti; che sia di conseguenza possibile, tramite la matematica, elaborare una teoria scientifica delle arti che ne abbia le stesse caratteristiche di esattezza e universalità.

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Arte

I giochi di Escher: la vita

Maurits Cornelis Escher è uno dei più famosi grafici e illustratori moderni.

Nasce a Leeuwarden, nei Paesi Bassi, nel 1898. Indirizzato alla carriera di architetto, sulle orme paterne, dal 1919, frequenta la Scuola di Architettura e Arti Decorative di Haarlem, ma ben presto abbandona il ramo architettonico e si dedica unicamente alle arti decorative.

Nel 1922 viaggia in Italia e in Spagna, qui rimane colpito dall’Alhambra di Granada, famoso palazzo moresco del Trecento. Vi conosce in particolare gli arabeschi che adornano gli interni e che spesso sono caratterizzati da motivi grafici ricorsivi, un tema che Escher svilupperà nelle sue tassellazioni.

Vive per alcuni anni a Roma, finché, in seguito al pesante clima politico dell’Italia fascista, si trasferisce in Svizzera, in Belgio e infine in Olanda. È qui che Escher si specializza nell’incisione su legno, nelle litografie e nelle mezzetinte, e che realizza la maggior parte delle sue opere.

Inizia a servirsi di blocchi di legno dalla superficie più dura, che gli permettono di tracciare delle linee sempre più sottili. Fino al 1950 rimase pressoché sconosciuto, ma in seguito a un’esposizione del 1956 e alla favorevole recensione sul Times, la sua fama si diffuse in tutto il mondo.

Tra i suoi maggiori ammiratori vi erano scienziati e matematici, estasiati nel vedere artisticamente interpretati alcuni degli oggetti del loro studio.

Muore nel 1972 in una casa di riposo per artisti, dove poté lavorare fino agli ultimi giorni della sua vita.

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Arte

Matematica o arte che sia, la suggestione che investe l’osservatore di un’opera di Escher, il senso di vertigine e di perdita nell’immagine, sono tanto fortemente avvertiti da insinuare una domanda:

“Da dove Escher è in grado di trarre la forza immaginifica e la portata di originalità che prorompe in tutti i suoi disegni?”

In un primo momento, è lo stesso autore a narrare di sé, si trattava preminentemente di un gioco virtuosistico, di una sfida ad applicare la propria tecnica a soggetti sempre più arditi.

Da un certo momento in poi, tuttavia, le parti si sono capovolte, il soggetto dell’opera ha preso il sopravvento sull’artista: l’immagine, che nasceva come mentale, obbligava lo stesso Escher in un impeto violento a trasporla sulla carta, a renderla immagine fisica.

Il mondo, nelle sue forme bizzarre, nelle sue simmetrie spettacolari, nei suoi paradossi incomprensibili, costituiva il bagaglio inesauribile da cui tali immagini prendevano vita.

“For me it remains an open question whether [this work] pertains to the realm of mathematics or to that of art.” “Per me rimane una domanda aperta se questo lavoro appartenga al dominio della matematica o a quello dell’arte” M.C. Escher

La domanda é lasciata aperta da Escher perché la risposta non si accorda a nessuna delle due possibilità. L’opera di Escher non appartiene né al dominio della matematica, né al dominio dell’arte: appartiene al dominio della natura, del mondo in cui viviamo, che nella sua misteriosa bellezza scientificamente regolata costituisce, così come l’opera di Escher, il più alto esempio di compenetrazione di matematica e arte. Un mondo filtrato, però dalla mente dell’artista, in un percorso fatto di curiosità, meraviglia, spregiudicatezza e coraggio. Deformato dal filtro intellettuale, il mondo si trasforma in visione interiore.

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Arte

Confusione di dimensioni

"Non posso fare a meno di prendermi gioco di tutte le nostre certezze incrollabili. È molto divertente, per esempio, confondere deliberatamente due e tre dimensioni, il piano e lo spazio e scherzare con la gravità". M.C. Escher

Agli occhi dell’artista figurativo il problema delle dimensioni e della rappresentazione dello spazio diventa ineludibile e affascinante. Dover riprodurre su una superficie bidimensionale oggetti che appartengono allo spazio tridimensionale impone, necessariamente, l’uso di determinati artifici di prospettiva.

Lo stesso autore spiega: