La matematica oltre se stessa

MATEMATICA

COS’È LA MATEMATICA?

La matematica si può considerare un insieme di discipline scientifiche, cioè

che utilizzano il metodo sperimentale.

Esse hanno in comune:

1. L’uso di un linguaggio simbolico (uso delle lettere per rappresentare numeri,

espressioni algebriche, simboli per rappresentare le operazioni, …) fondato sui

concetti di numero e di figura geometrica.

2. Un metodo di ricerca basato sul modello ipotetico–deduttivo, cioè si considerano

delle nozioni come certe / ipotesi e da queste si deducono altre nozioni.

3. La possibilità di raggiungere un alto grado di astrazione.

Le principali discipline matematiche sono:

Aritmetica, cioè lo studio dei numeri e delle operazioni relative.

o cioè lo studio dei metodi del calcolo letterale e la risoluzione dei

Algebra,

o problemi che hanno come modelli delle equazioni.

Geometria che studia le relazioni spaziali e le forme delle figure piane e

o solide (in particolare la geometria euclidea che si basa sui postulati di

Euclide).

Trigonometria, cioè lo studio delle misure e delle relazioni tra i lati e gli

o angoli di un triangolo.

Geometria Analitica che utilizza il piano cartesiano per unire l’algebra e la

o geometria.

Analisi Matematica che, utilizzando le precedenti discipline, studia le funzioni

o nel modo più generale possibile partendo dalle nozioni di limite e

sviluppando quelle di funzione derivata e di funzione integrale.

Logica Matematica (o logica formale) che fornisce l’impalcatura dei contenuti

o e dei metodi della matematica e studia le regole del linguaggio per la

gestione e la trasmissione delle informazioni nell’informatica.

Teoria delle Probabilità, intuitivamente la probabilità di un evento: misura la

o possibilità che tale evento ha di verificarsi.

Statistica che è lo studio dei fenomeni collettivi servendosi dei metodi

o matematici fondati sul calcolo delle probabilità. 6

MATEMATICA

BREVE STORIA DELLA MATEMATICA

Preistoria: sulle pitture rupestri rinvenute in alcune caverne e risalenti al

o Paleolitico ci sono delle testimonianze che già in epoche antecedenti al periodo

storico l’uomo abbia sviluppato un rudimentale modo di contare: per far questo

faceva delle incisioni sugli alberi oppure su ossa di animali. E’ stata la necessità di

conoscere meglio l’ambiente che ha alimentato lo sviluppo del concetto di numero e

del contare.

Civiltà preelleniche: tra il 3200 a.C. ed il 1000 a.C. in Egitto, Mesopotamia, India

o e Cina si sono conosciuti: il numero J, le quattro operazioni (anche con le frazioni),

quadratiche, alcuni tipi di equazioni di terzo grado e il calcolo

le equazioni lineari,

dell’area di quasi tutte le figure geometriche.

Civiltà greca: a partire dal 1400 a.C., la Grecia fece un passo enorme rispetto alle

o civiltà precedenti, perché introdusse i due processi mentali che stanno alla base

della matematica stessa: l’astrazione, cioè trovare un concetto generale

cioè da premesse considerate

esaminando molti casi particolari e la dimostrazione,

certe con un ragionamento giungere ad una conclusione del tutto generale. Dal

terzo secolo a.C. in poi il centro della cultura matematica greca divenne Alessandria

d’Egitto, la città cosmopolita fondata da Alessandro Magno nel331 a.C.

Pitagora (Samo 580 a.C.– 497 a.C) era a capo di una scuola che dimostrò il

teorema che porta il suo nome.

Euclide (vissuto attorno al 300 a.C.) ha scritto gli “Elementi di geometria”, opera di

enorme importanza in 13 volumi nella quale, partendo da “postulati”, cioè

affermazioni assunte come vere perché considerate evidenti, ha esposto,

dimostrandole rigorosamente, tutte le principali conoscenze matematiche del suo

tempo.

Archimede (Siracusa 287 a.C. – 212 a.C.), il più grande scienziato del mondo antico,

si è occupato di aritmetica, di geometria, di meccanica. 7

MATEMATICA

Civiltà romana: qui, lo sviluppo della matematica è stato quasi inesistente.

o L’unico matematico latino di qualche rilievo è stato Severino Boezio: le sue ricerche

di logica, matematica e geometria hanno avuto influenza in tutto il Medioevo.

Mondo Arabo: uno dei meriti degli Arabi è stato quello di trasmettere al mondo

o occidentale il sistema di numerazione decimale appreso dagli Indiani, compreso

l’uso dello zero.

Matematica Indiana: tra il 200 d.C. ed il 1200 d.C. la matematica indiana fece

o enormi progressi, primo fra tutti l’uso del sistema di numerazione posizionale

decimale, con simboli dall’1 al 9, più lo 0. La matematica indiana ha avuto una

spiccata tendenza verso il calcolo numerico più che verso il rigore delle

dimostrazioni. La loro risoluzione delle equazioni ha assunto una forma che si può

definire algebrica.

Mondo Occidentale: nel 529 la scuola di Atene fu chiusa da Giustiniano e questo

o portò alla decadenza della cultura matematica e alla scomparsa di qualsiasi stimolo

alla ricerca scientifica. Per più di 600 anni il rigore del sistema ipotetico della

geometria euclidea e lo spirito della matematica greca in Europa furono quasi

totalmente assenti.

Epoca Moderna: in questo periodo viene pubblicata la prima opera divulgativa

o del pensiero matematico arabo. All’inizio del Rinascimento sono state studiate in

tutta la loro generalità le equazioni di terzo e quarto grado. Da allora la matematica

e le scienze si sono sviluppate sempre più rapidamente, soprattutto dopo

l’elaborazione del metodo sperimentale di Galileo e la scoperta, nel diciassettesimo

secolo, del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibnitz. 8

ARTE E MUSICA

LA MATEMATICA E LE ARTI

Molti matematici pensano alla matematica come ad un’attività creativa, da considerarsi,

per le sue caratteristiche, superiore a qualsiasi attività artistica.

Tale atteggiamento spiega in parte perché, periodicamente, i matematici non solo abbiano

tentato di spiegare l’affascinante bellezza della loro disciplina, ma abbiano anche cercato

di interpretare ed analizzare l'Arte, con la A maiuscola, tramite la matematica. D'altro

canto vi sono molti esempi di artisti che, in epoche diverse, sono stati attratti dal fascino

della matematica ed hanno cercato di utilizzarne idee e tecniche nella loro attività, quando

non sono stati costretti a diventare loro stessi matematici.

Il matematico non può sfuggire all'ansia di mostrare come la sua disciplina sia una vera

arte, con una sua intrinseca bellezza.

Si pone ovviamente la questione fondamentale del perché molte persone ritengano che

l'inclusione della matematica tra le arti sia ingiustificata.

Una delle obiezioni più ricorrenti è che la matematica non provoca alcuna emozione.

Il problema consiste nel fatto che sono solo i ricercatori a poter provare queste emozioni e

nessun altro: tutti possono guardare un'opera d'arte, ascoltare una sinfonia, mentre non si

può guardare o ascoltare la matematica. creatrice di bellezza

Non deve quindi stupire che, se la matematica è , pretenda di fornire

gli strumenti, oltre che alle altre discipline scientifiche, anche alle arti; che sia di

conseguenza possibile, tramite la matematica, elaborare una teoria scientifica delle arti

che ne abbia le stesse caratteristiche di esattezza e universalità. 9

ARTE

I GIOCHI DI ESCHER La vita

Maurits Cornelis Escher è uno dei più

famosi grafici e illustratori moderni.

Nasce a Leeuwarden, nei Paesi Bassi, nel

1898. Indirizzato alla carriera di

architetto, sulle orme paterne, dal 1919,

frequenta la Scuola di Architettura e Arti

Decorative di Haarlem, ma ben presto

abbandona il ramo architettonico e si

dedica unicamente alle arti decorative.

Nel 1922 viaggia in Italia e in Spagna,

qui rimane colpito dall’Alhambra di

Granada, famoso palazzo moresco del Trecento. Vi conosce in particolare gli arabeschi che

adornano gli interni e che spesso sono caratterizzati da motivi grafici ricorsivi, un tema che

Escher svilupperà nelle sue tassellazioni.

Vive per alcuni anni a Roma, finché, in seguito al pesante clima politico dell’Italia fascista,

si trasferisce in Svizzera, in Belgio e infine in Olanda. È qui che Escher si specializza

nell’incisione su legno, nelle litografie e nelle mezzetinte, e che realizza la maggior parte

delle sue opere.

Inizia a servirsi di blocchi di legno dalla superficie più dura, che gli permettono di tracciare

delle linee sempre più sottili. Fino al 1950 rimase pressochè sconosciuto, ma in seguito a

un’esposizione del 1956 e alla favorevole recensione sul Times, la sua fama si diffuse in

tutto il mondo.

Tra i suoi maggiori ammiratori vi erano scienziati e matematici, estasiati nel vedere

artisticamente interpretati alcuni degli oggetti del loro studio.

Muore nel 1972 in una casa di riposo per artisti, dove poté lavorare fino agli ultimi giorni

della sua vita. 10

ARTE

Matematica o arte che sia, la suggestione che investe l’osservatore di un’opera di Escher, il

senso di vertigine e di perdita nell’immagine, sono tanto fortemente avvertiti da insinuare

una domanda:

“Da dove Escher e in grado di trarre la forza immaginifica e la portata di

originalità che prorompe in tutti i suoi disegni?”

In un primo momento, è lo stesso autore a narrare di sé, si trattava preminentemente di

un gioco virtuosistico, di una sfida ad applicare la propria tecnica a soggetti sempre più

arditi.

Da un certo momento in poi, tuttavia, le parti si sono capovolte, il soggetto dell’opera ha

preso il sopravvento sull’artista: l’immagine, che nasceva come mentale, obbligava lo

stesso Escher in un impeto violento a trasporla sulla carta, a renderla immagine fisica.

Il mondo, nelle sue forme bizzarre, nelle sue simmetrie spettacolari, nei suoi paradossi

incomprensibili, costituiva il bagaglio inesauribile da cui tali immagini prendevano vita.

“For me it remains an open question whether [this work] pertains to the realm of mathematics or

to that of art.”“ Per me rimane una domanda aperta se questo lavoro appartenga al dominio della

matematica o a quello dell’arte” M.C. Escher

La domanda é lasciata aperta da Escher perché la risposta non si accorda a nessuna delle

due possibilità. L’opera di Escher non appartiene né al dominio della matematica, né al

dominio dell’arte: appartiene al dominio della natura, del mondo in cui viviamo, che nella

sua misteriosa bellezza scientificamente regolata costituisce, cosi come l’opera di Escher, il

più alto esempio di compenetrazione di matematica e arte. Un mondo filtrato, però dalla

mente dell’artista, in un percorso fatto di curiosità, meraviglia, spregiudicatezza e

coraggio. Deformato dal filtro intellettuale, il mondo si trasforma in visione interiore. 11

ARTE

Confusione di dimensioni

"Non posso fare a meno di prendermi gioco di tutte le nostre certezze incrollabili. È molto

divertente, per esempio, confondere deliberatamente due e tre dimensioni, il piano e lo spazio e

scherzare con la gravità". M.C. Escher

Agli occhi dell’artista figurativo il problema delle dimensioni e della rappresentazione dello

spazio diventa ineludibile e affascinante. Dover riprodurre su una superficie bidimensionale

oggetti che appartengono allo spazio tridimensionale impone, necessariamente, l’uso di

determinati artifici di prospettiva.

Lo stesso autore spiega:

“Il nostro spazio tridimensionale é l’unica realtà che conosciamo. Il bidimensionale é una

finzione come il quadridimensionale, poiché nulla é piatto, neanche lo specchio più

levigato. (..) Non vi sembra assurdo, a volte, il fatto di disegnare un paio di linee e affermare:

questa e una casa?”

Escher si diverte a giocare con queste convenzioni, stravolgerle e immaginare fantastici

rapporti tra realtà dimensionalmente diverse.

In Rettili il gioco dimensionale é funzionale alla narrazione di una storia: la paradossale

vicenda di un rettile bidimensionale che scopre la terza dimensione.

È lo stesso Escher a suggerirci di leggere la sequenza di esseri uguali, tridimensionali,

come unico personaggio in processo dinamico.

Tra oggetti di ogni tipo (una bottiglia con bicchiere, libri, piante,.. persino un dodecaedro,

solido geometrico regolare!) si può scorgere un foglio, decorato con un mosaico, formato