L'onnipresenza del numero... o la sua dittatura?

L’onnipresenza del numero... o la sua dittatura?

Ester Mulas

Liceo Scientifico A. Vallisneri, Lucca

Indirizzo Autonomia Scientifica, classe 5 Sd

Anno scolastico 2006/2007

Indice

Introduzione

Dai numeri alle cifre

Costruire le numerazioni

Il sistema dei numeri

L’infinito

La numerologia

Noi e i numeri

Il ruolo dei numeri nella vita moderna

Bibliografia

I grandi amano le cifre.

Quando voi gli parlate di un nuovo amico, non si interessano mai alle cose essenziali.

Non vi domandano mai:

«Qual è il tono della sua voce?

Quali sono i suoi giochi preferiti?

Colleziona farfalle?»

Ma vi domandano:

«Quanti anni ha?

Quanti fratelli ha?

Quanto pesa?

Quanto guadagna suo padre?»

Soltanto allora credono di conoscerlo.

Il piccolo principe

Antoine de Saint-Exupéry,

Il piccolo Principe

Introduzione

Da poco ho riletto e mi sono ricordata di quando l’avevo letto per la prima volta, alle elementari. Allora forse ero troppo piccola per capirne il vero significato, ma mi ricordo che questo passo mi aveva colpito particolarmente, perché era ciò che succedeva nella realtà. La maggior parte degli adulti si comportava proprio così, essi non erano interessati alle vere qualità dei miei nuovi amici, ma solo alla «quantità»: l’età, il numero di membri nella famiglia ecc. Questo mi portò a chiedermi: «Come mai vogliono saperlo? Cosa cambia se in famiglia sono in tre o in quattro? Cosa ci troveranno in questi numeri?» In fondo c’erano un po’ dappertutto dei numeri, quindi qualcosa di particolare dovevano pur averlo. Allora era da poco che avevo a che fare con i numeri, li conoscevo solo nel loro aspetto più superficiale.

Adesso però sono passati più di otto anni, ed ho imparato a conoscerli un po’ meglio. Credo di avere capito in cosa consiste la loro particolarità: essi sono così come tutti li vediamo, nella loro disarmante semplicità. Non ci possono essere diverse opinioni, diversi punti di vista, i numeri sono fissi. In un certo senso danno un’idea di sicurezza, sono così e non possono riservare sorprese. Allora ho deciso di approfondire i motivi che hanno portato l’uomo a questa straordinaria creazione, perché proprio di questo si tratta, e le tappe principali del loro sviluppo attraverso i secoli, sia in ambito matematico, sia nella nostra vita quotidiana. Al termine di questo percorso mi sono resa conto che la mia idea iniziale non era proprio corretta, perché i numeri riservano eccome delle sorprese.

Dai numeri alle cifre

Numerus

Il termine «numero» deriva dal latino che oltre al significato di numero vero e proprio ha anche quello di quantità, forma e infine ritmo. Quest’ultimo rimanda alla parola arithmos, greca che traduce «numero» e che in italiano ha portato all’aritmetica, ovvero la scienza dei numeri; il termine greco però non ha propriamente a che fare con il ritmo, in quanto la «a» (alfa) iniziale non è privativa. Con il tempo comunque si sono stabiliti collegamenti tra numero e ritmo, soprattutto attraverso la parola «rima» e la poesia.

Questo excursus etimologico dimostra che i numeri vengono da molto lontano; o meglio, i numeri sono sempre esistiti, almeno nella loro concezione più astratta, ma ci sono voluti migliaia di anni per rendersene conto. Chiunque osservando degli oggetti è in grado di distinguerne uno da un altro, sia in base alla loro differenza, sia in base alla loro similitudine. Il problema nasce nel momento in cui bisogna esprimere la quantità: la nostra sola vista infatti non riesce ad afferrare la quantità dopo un certo numero di oggetti.

Proprio per questo sono stati inventati i numeri, intesi come segni numerici questa volta, per conservare traccia della quantità. Gli antichi segni numerici, di cui tra poco parlerò, hanno portato a lungo andare all’invenzione delle cifre; queste hanno poi conosciuto una lunga evoluzione, dagli Egizi e i Babilonesi agli Indiani e agli Arabi, passando per Greci e Maya, ed hanno portato infine alle cifre moderne, presenti in qualsiasi situazione della vita odierna.

I segni numerici più antichi risalgono alle prime civiltà umane, cioè al Paleolitico (30000 anni fa); si tratta spesso di incisioni sulle pareti delle grotte, ma soprattutto di tacche che i nostri antenati scavavano sulle ossa degli animali (fig. 1). L’osso diventò il supporto privilegiato per due motivi precisi: prima di tutto poteva essere trasportato con facilità in qualunque luogo, poi resisteva alle insidie del tempo e dell’umidità, a differenza del legno. All’epoca gli uomini non avevano ancora alcuna idea del «numero» di un insieme di oggetti, non erano cioè in grado di contare; l’abbinamento di un segno ad ogni oggetto si basava su una semplice corrispondenza biunivoca, e per questo non serviva essere intellettualmente in grado di concepire il conteggio. La cosa importante era il numero di tacche, non la posizione di una particolare tacca all’interno della sequenza.

Fig. 1: corno di renna risalente al Paleolitico superiore.

Studi recenti sull’osso di Ishango, risalente a più di 20000 anni fa e ritrovato nel 1961, indicano che le serie di incisioni su di esso potrebbero rappresentare un mese lunare e quindi, in altre parole, potrebbe essere considerato un primitivo calendario lunare. Probabilmente la previsione delle notti di luna piena era finalizzata all’organizzazione della caccia o al controllo sulla fertilità; in ogni caso il fatto sorprendente è che tali esigenze siano nate in continenti diversi, non in collegamento tra loro, e prima dello sviluppo di allevamento ed agricoltura, che porteranno a bisogni pratici di contabilità e commercio.

Ma come si è passati dall’idea della quantità ad una successione di numeri? Per memorizzare la quantità, oltre alle ossa, al legno e alla pietra l’uomo si è servito di un altro strumento, il proprio corpo. Perché questa scelta? Perché, fino a prova contraria, il nostro corpo ce lo portiamo sempre dietro! Quindi non è necessario andare sempre in giro con una tavoletta, ma basterà tenere a mente la parte del corpo che indica la quantità raggiunta; mi spiego meglio: se voglio «contare» un gregge di pecore prima del pascolo, le faccio passare davanti a me una alla volta, e per ognuna considero una parte del corpo: la prima equivale ad un occhio, la seconda ad una narice e così via, fino ad arrivare ad una parte specifica. La sera, per controllare se tutte le pecore sono rientrate, le faccio passare nuovamente davanti a me una alla volta: se con l’ultima pecora raggiungo la parte del corpo a cui ero arrivata la mattina, allora è rientrato l’intero gregge.

In questa tecnica divennero protagoniste le mani: le singole dita potevano rappresentare dieci quantità diverse (fig. 2), che aumentavano attraverso la combinazione di più dita insieme.

Inizialmente i numeri erano legati agli oggetti che rappresentavano (ad esempio il 4 alle zampe di un’antilope), per cui non era affatto naturale l’idea di una successione, non c’era nessun motivo per cui un numero dovesse essere messo prima di un altro.

Fig. 2: cartografia numerica di una mano.

Furono proprio le dita a suggerire l’idea di una successione; la mano dell’uomo infatti non si articola secondo una simmetria radiale, ma un dito viene prima degli altri, implicando un ordine naturale. In questo modo sono nati i concetti di ordinale e cardinale, inseparabili l’uno dall’altro: infatti se io volessi dire quanti quadri ci sono in una stanza dovrei prima contarli, partendo dal primo (quindi servendomi dei numeri ordinali); solo al termine della conta sarei in grado di identificarli con un numero cardinale.

E per quanto riguarda le cifre? La loro nascita coincide con quella delle numerazioni scritte, e quindi con la scrittura. Questa risale notoriamente al popolo dei Sumeri, civiltà stabilitasi nella Mezzaluna fertile intorno al 4000 a.C.. Le accresciute esigenze nell’organizzazione sociale, l’intensificazione di agricoltura e allevamento, resero necessario documentare le transazioni economiche, e portarono così all’invenzione di sistemi numerici più articolati. La scrittura dei Sumeri era cuneiforme: il chiodo e il cuneo sono le prime tracce di numerazione scritta, gli antenati dei numeri attuali.

Costruire le numerazioni

Per esprimere la quantità alcuni popoli si sono accontentati di strumenti assai semplici, con pochi numeri sufficienti per le loro attività quotidiane: uno, due, tre, tanti. Altri invece hanno costruito vere e proprie numerazioni, in modo da poter indicare con una precisione sempre maggiore un numero piuttosto che un altro.

Il sistema di rappresentazione dei numeri è visivo, orale e scritto e ha quindi dato origine a tre numerazioni diverse: parlate, concrete e scritte.

Tra queste, le numerazioni parlate sono quelle che hanno riscontrato minor successo, e per ovvi motivi. Prima di tutto il nome dato ad ogni numero varia da lingua a lingua, a differenza della numerazione scritta attuale, causando spesso difficoltà di comprensione; inoltre, cosa più importante, quando si tratta di eseguire dei calcoli i soli nomi dei numeri si dimostrano insufficienti, rendendo necessario l’uso di numerazioni concrete, costituite da un sistema di segni fisici materializzati su supporti rigidi.

In quasi tutto il mondo le numerazioni concrete sono poi state sostituite da quelle scritte, in cui per rappresentare i numeri si usano dei simboli specifici.

Numerazioni concrete

Le tecniche primitive di conteggio descritte precedentemente sono un esempio di numerazione concreta, in quanto associano ad un numero dei segni concreti, ad esempio le tacche su un osso. Altro sistema è quello delle cordicelle a nodi, diffuso in Persia ai tempi di re Dario, nel V secolo a.C.: su una corda si attaccavano altre cordicelle, facendole pendere verticalmente, e su di queste venivano fatti dei nodi. Il numero rappresentato dipendeva da vari elementi, quali ad esempio il tipo di nodi ed il colore delle cordicelle.

Ulteriore metodo era quello usato in Mesopotamia, che faceva uso dei calculi, (letteralmente, ciottoli) ovvero piccoli oggetti di argilla di varie forme (fig. 3) che venivano depositati all’interno di un vaso per controllarli in seguito. Spesso i calculi erano sostituiti da altri oggetti reperibili in natura, ad esempio delle conchiglie o dei bastoncini.

Fig. 3: calculi, da Susa, 3300 a.C. circa, e sfera che aveva la funzione di contenerli.

Molto diffuso nell’antichità era infine l’abaco, utilizzato da greci e romani per eseguire i calcoli. Questo consisteva in una tavoletta su cui venivano tracciate delle colonne, ognuna rappresentante un ordine (unità, decine, centinaia e così via). Per condurre le operazioni si poteva procedere in due modi: con il primo si collocavano nelle varie colonne tante biglie o pietruzze, aventi tutte lo stesso valore, quante ne servivano per indicare un numero preciso (ad esempio per il numero 35 si ponevano 3 pietre sulla colonna delle decine e 5 su quella delle unità); con il secondo invece, evoluzione del primo, ogni pietra assumeva un valore diverso (in tutto nove), di modo che una sola in ogni colonna era sufficiente ad indicare la quantità. Con l’abaco era possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Anche se il calcolo scritto ha in seguito sbaragliato la concorrenza dell’abaco (fig. 4), al giorno d’oggi in certe parti del mondo si fa ancora uso di questo strumento, evoluto nel pallottoliere grazie ai romani (fig. 5).

Le numerazioni concrete hanno però un grande limite: una volta fatto il calcolo esse non lasciano traccia dei conti eseguiti, ma forniscono solo il risultato. In caso di errore i passaggi non possono essere rivisti, ma bisogna rifare tutto daccapo.

Fig. 5: il pallottoliere.

Fig. 4: la disputa tra abacisti e algoritmisti, dalla Margarita philosophica (1503) di Gregor Reisch.

Numerazioni scritte

Le numerazioni scritte formano una lingua a sé stante, in cui per disporre le cifre all’interno di un numero bisogna seguire delle regole precise, così come nella formazione delle parole attraverso le lettere. Regola fondamentale è la corrispondenza tra la scrittura ed il numero: una stessa scrittura non può rappresentare due numeri diversi, così come un numero non può essere scritto in due modi. Altro elemento importante è il «fare molto con poco», ovvero servirsi di pochi numeri per rappresentare tutti gli altri. Questa soluzione sottende il principio della base, cioè l’uso di un unico simbolo per rappresentare un insieme di elementi.

Infatti quando il numero di oggetti fisici da registrare diventa elevato, risulta molto difficile ricordare i nomi dei singoli numeri. Fin dall’antichità l’uomo ha così cercato di raggruppare singoli oggetti, assegnando a tali raggruppamenti sia nomi che simboli. La base più frequente è il 10, e lo è per un motivo ben preciso: come già detto riguardo alle numerazioni concrete, l’uomo da sempre si è servito delle mani come mezzo più pratico per fare i conti, ed ha così imparato a raggruppare attraverso le dieci dita. Con la base si può stabilire una scala nella successione dei numeri e definire unità di primo ordine, secondo ordine e così via.

Ci sono tre principi per formare un numero, che prendono il nome dalle operazioni aritmetiche necessarie per comporlo a partire dalle cifre. Il primo è quello additivo, in cui il valore di un numero è dato dalla somma delle cifre che lo costituiscono. Questo è alla base delle numerazioni degli egizi e degli aztechi (per esempio il numero trenta viene rappresentato affiancando tre simboli di valore dieci), mentre nei romani si combinava con il principio sottrattivo (9 = 10 - 1 = IX). Il secondo principio è quello delle numerazioni miste, in cui si utilizzano sia l’addizione sia la moltiplicazione (560 = 5*100 + 6*10).

Tutto questo di certo non favorisce una scrittura semplice e chiara; inoltre con questi sistemi non basta stabilire delle regole una volta per tutte, ma bisogna inventare sempre nuove cifre man mano che i numeri aumentano.

Queste difficoltà vengono superate attraverso un nuovo tipo di numerazioni, quelle posizionali. Esse si basano su un principio semplice ed efficace: il valore di una cifra non è più costante, ma varia a seconda della posizione occupata all’interno del numero. In questo modo si elimina il problema della continua creazione di nuove cifre, perché si utilizzano sempre le stesse, solo con valori diversi. Probabilmente l’idea del principio di posizione deriva dalle numerazioni concrete, in particolare dall’uso dell’abaco: togliendo da questo le asticelle, si ottiene proprio un numero rappresentato con la numerazione posizionale.

Ma che cosa mettere al posto dell’asticella senza biglie? Il concetto di zero, che a noi sembra così naturale, è stato inventato in India solo nel V secolo d.C.. Ciò che ai nostri antenati non appariva così banale era attribuire una cifra ad un numero privo di valore, quindi in qualche modo accettare l’idea del vuoto. Con il tempo si capì che la presenza di questo numero era necessaria nei conti, così si tentò di esprimerla. Inizialmente veniva indicata con una semplice spaziatura tra le cifre; in seguito, date le ambiguità di questa tecnica, gli Indiani cominciarono ad utilizzare un segno, il punto, dando a questa cifra il nome sunya (termine sanscrito che indica contemporaneamente il vuoto e l’assenza).

Il numero zero (dall’arabo tzifer, vuoto) assolveva ad una duplice funzione: da una parte rappresentava l’insieme con numerosià nulla, dall’altra indicava, nel sistema posizionale, l’assenza di unità associate ad un determinato valore.

Con questo sistema qualsiasi numero può essere rappresentato senza ambiguità, ed inoltre la lunghezza di un numero varia in proporzione al suo valore. Grazie alle sue straordinarie qualità la numerazione posizionale è diventata universale, e viene oggi utilizzata da tutti i popoli del mondo.

Egizi

Le cause del forte sviluppo dell’aritmetica nell’antico Egitto sono da ricercare nella grande attenzione prestata dai faraoni all’esatta documentazione delle proprietà terriere e delle altre risorse umane, animali o materiali, in un paese in cui la vita dipendeva in gran parte dall’annuale piena del Nilo. Il sistema di numerazione egizia era di tipo additivo decimale: sette geroglifici indicavano le potenze di dieci fino a un milione (fig. 6); ognuno di essi poteva essere ripetuto più volte, e affiancato a tutti gli altri dava il numero desiderato (fig. 7).

Fig. 7: cifre egizie rappresentanti il numero 1.234.567.

Fig. 6: geroglifici delle varie potenze di dieci.

Oltre a questo sistema gli Egizi ne elaborarono uno moltiplicativo in base 2, simile a quello binario usato dai computer moderni. Ma le loro conquiste in campo matematico non si fermano qui: essi erano in grado di elevare al quadrato, estrarre le radici quadrate e determinare la somma di progressioni aritmetiche e geometriche. Sapevano poi calcolare la superficie di cerchi, triangoli e trapezi, così come il volume di un tronco di piramide quadrata.

Inoltre gli Egizi avevano una sorprendente competenza nel campo delle frazioni, come testimoniano i vari problemi rinvenuti nel Papiro di Rhind (fig. 8), vero e proprio manuale di matematica, con 87 problemi di utilizzo pratico e quotidiano.