La fine delle certezze euclidee: le nuove geometrie

intuitiva degli enunciati proposti è sempre molto discutibile. Per questo motivo la maggiorparte dei

matematici preferisce mantenere l’originario postulato di Euclide.

b)Viene riformulata la definizione di parallelismo in modo da rendere superfluo il postulato delle

parallele.

c)Si cerca di dimostrare il postulato delle parallele, in modo da inserirlo, in veste di teorema,

nell’edificio teorico euclideo. Posidonio

Per esempio, nel I secolo d.C., il matematico greco riformula la definizione euclidea di

parallele (ossia “rette complanari che non si incontrano”) proponendo di chiamare parallele le rette

equidistanti. Tale definizione, tuttavia, non risulta coincidere con quella euclidea: se, infatti, è

possibile dimostrare che due rette equidistanti non si incontrano, non è invece dimostrabile che due

rette che non si incontrano sono equidistanti, se non facendo ricorso proprio a quel quinto

postulato, che si vuole eliminare.

Proclo

Un altro greco, [410-485 d.C.], cerca di dimostrare il postulato delle parallele, ma la sua

dimostrazione si fonda sull’ipotesi, implicita, che la distanza fra due rette parallele sia finita. Tale

ipotesi però non può essere dimostrata, se non ammettendo il postulato delle parallele (risulta utile

evidenziare che i tentativi ora citati, come molti altri ad essi posteriori, si fondarono sull’ipotesi

implicita dell’impossibilità dell’esistenza di rette asintotiche, ossia di coppie di rette che si

comportano all’infinito come si comporta un ramo di iperbole con un suo asintoto.Ma

l’impossibilità dell’esistenza di rette asintotiche, come hanno mostrato i successivi sviluppi delle

geometrie non euclidee, può essere dimostrata solo a partire dal postulato delle parallele.).

Nasìr-Eddin

La dimostrazione del quinto postulato fornita dal matematico arabo [1201-1274 d.C.]

è fondata sull’ipotesi che una linea, formata dai punti equidistanti da una retta, sia una retta.

Tuttavia anche tale affermazione risulta essere dimostrabile solo a partire dal quinto postulato.

J.Wallis

Un ultimo tentativo rilevante può essere considerato quello del matematico inglese [1616-

1703 d.C.], secondo cui il postulato delle parallele risulta dimostrabile facendo uso del concetto

intuitivo di similitudine di figure piane. Ma, come già abbiamo rilevato in precedenza, la teoria

della similitudine è fondata sul teorema di Talete, per la cui dimostrazione sono necessarie alcune

proprietà dei parallelogrammi le quali, a loro volta, sono conseguenze del postulato delle parallele.

-UN NUOVO APPROCCIO al problema : Giovanni G. Saccheri

I tentativi di dimostrare il quinto postulato di Euclide continuarono pertanto con scarsi successi

fino al XVII secolo, tanto che il quinto postulato era stato etichettato come “lo scandalo della

Giovanni G. Saccheri,

geometria”. Merita indubbiamente attenzione l’opera del gesuita

professore di matematica all’Università di Pavia e audace studioso di logica, che ebbe un’idea

nuova e rivoluzionaria. Il suo nuovo approccio al problema del quinto postulato consiste nel

seguente ragionamento: data una linea e un punto allora o (a) per passa esattamente una

L P, P

parallela a L oppure (b) per P non passano parallele a L oppure (c) per P ci sono almeno due

parallele ad L. L’alternativa (a) era il postulato delle parallele di Euclide. Supponiamo che essa

fosse sostituita dalla (b) e che quest’ultima, insieme con gli altri nove postulati di Euclide, dovesse

condurre a teoremi contraddittori. Allora sicuramente la (b) non sarebbe corretta. Similmente, se

l‘uso della (c) e degli altri nove postulati euclidei avesse condotto a teoremi contraddittori, allora

l’alternativa (c) sarebbe stata inevitabilmente erronea. Ne sarebbe allora seguito necessariamente

che il postulato delle parallele di Euclide è l’unico possibile.Usando la (b) insieme agli altri nove

postulati euclidei, Saccheri dedusse teoremi che si contraddicevano l’un l’altro. Egli non riuscì

però a dedurre contraddizioni dall’uso dei nove postulati euclidei e dell’assioma alternativo

postulante l’esistenza di almeno due parallele. Benché i suoi sforzi fossero precisi ed estesi, e

benché alcune sue deduzioni fossero di fatto strane se confrontate con risultati analoghi ottenuti da

Euclide, non emersero contraddizioni. Saccheri era sulla soglia di una scoperta fondamentale, ma

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si rifiutò di oltrepassarla derivando conclusioni dall’impossibilità da lui riscontrata di dedurre

contraddizioni. Pertanto egli si dimostrò a tal punto impreparato agli strani teoremi che derivò dal

suo insieme di postulati che stabilì che il quinto postulato di Euclide dovesse essere vero

necessariamente. Conformemente a queste opinioni, nel 1733 pubblico i suoi risultati in un libro

intitolato “Euclides (Euclide preservato da ogni macchia).

ab omni naevo vindicatus”

Una spiegazione dell’insuccesso di Saccheri oltre che di molti altri è che, per quanto grandi fossero

i matematici che affrontarono il problema del quinto postulato, nessuno fu abbastanza sottile da

riconoscere un abito di pensiero bimillenario.

-GAUSS:possono esistere altre geometrie, altrettanto valide di quella di Euclide.

Ma nel mondo matematico dell’inizio dell’Ottocento ebbe luogo nell’ambiente intellettuale un

mutamento che portò con sé un esame critico radicale delle convinzioni fondamentali .Questo

Gauss, Lobacevskij Bolyai

mutamento spiega indubbiamente come mai tre uomini – e –, che non

si conoscevano fra loro, scoprissero la corretta interpretazione dell’opera di Saccheri pressappoco

nello stesso tempo; Lobacevskij e Bolyai pubblicarono i loro risultati a pochi anni di distanza l’uno

Carl Friedrich Gauss,

dall’altro. Il più grande di questi tre uomini fu la cui statura intellettuale

può essere paragonata a quella di Newton e di Archimede. Carl rivelò una precocità incredibile in

molti campi ed una predilezione particolare per la matematica. Quando, ancora giovanissimo,

dimostrò che il poligono regolare di 17 lati potrebbe essere costruito con riga e compasso, ne fu

così felice che abbandonò l’intenzione di diventare un filologo per studiare la matematica,

contribuendo ben presto con opere magistrali a molti settori della disciplina mettendosi in luce

anche come inventore e sperimentatore. Benché i suoi contributi non fossero meno numerosi e

meno profondi di quelli di altri matematici, Gauss era estremamente modesto. egli

“Se altri,”

scrisse, “riflettessero con tanta profondità e continuità sulle verità matematiche come ho fatto io,

Gauss era molto giovane quando il problema del postulato delle

farebbero le mie stesse scoperte.”

parallele attrasse per la prima volta la sua attenzione. Dapprima si impegnò molto nel tentativo di

sostituirlo con un assioma più semplice, senza però riuscirvi. Seguì poi la linea di pensiero di

Saccheri, adottando un postulato delle parallele che contraddiceva quello euclideo

(sostanzialmente la terza alternativa di Saccheri ) e deducendo conseguenze dal nuovo postulato e

dagli altri nove di Euclide. Come Saccheri, Gauss pervenne a teoremi bizzarri. Tuttavia, invece di

lasciarsi spaventare dalla stranezza, Gauss persistette nel suo studio,traendo infine una conclusione

nuovissima e sbalorditiva, che anche grandi matematici non avevano considerato, che possono

esistere altre geometrie, altrettanto valide di quella di Euclide.

Gauss ebbe il coraggio intellettuale di creare una geometria non euclidea ma non il coraggio

morale di affrontare le folle, le quali ne avrebbero definito pazzo il creatore, poiché gli scienziati

dell’inizio dell’Ottocento vivevano all’ombra di Kant, la cui solenne dichiarazione che non poteva

esistere altra geometria oltre a quella euclidea dominava il mondo intellettuale.

-LOBACEVSKIJ E BOLYAI: una rivelazione inaccettabile

Degli altri due uomini cui spetta l’onore di aver creato una geometria non euclidea, il primo fu il

Nikolaj Lobacevskij.

geniale Nato nel 1793 da una povera famiglia russa, studiò all’Università di

Kazan e all’età di ventitre anni vi ottenne una cattedra. Anche Lobacevskij fu attratto dal problema

dell’assioma delle parallele. Egli dichiarò di essere stato colpito dal fatto che duemila anni di sforzi

dei massimi matematici non erano riusciti a produrre un assioma migliore. Così, come Saccheri e

Gauss, costruì una nuova geometria sulla base di un postulato delle parallele che contraddiceva

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quello euclideo,ma i teoremi quasi incredibili cui giunse non lo scoraggiarono. Un ragionamento

logico la aveva condotto ad essi e un ragionamento logico era una guida ineccepibile. Così anche

Lobacevskij affermò la conclusione radicale ma inevitabile: ci sono geometrie diverse da quella di

Euclide e altrettanto valide. L’uomo che condivide con Lobacevskij l’onore della scoperta e il

Janos Bolyai.

coraggio di aver pubblicato la sua opera sulla geometria non euclidea è l’ungherese

L’interesse relativo al postulato delle parallele gli fu trasmesso dal padre Farkas, anch’egli

matematico, che aveva speso invano molti anni a lavorare su di esso.Così nel 1825, all’età di

ventitre anni,il giovane Bolyai vide improvvisamente la luce, dichiarando l’esistenza di postulati

contraddicenti quelli euclidei, i quali possono servire nondimeno di base per nuove geometrie.

Janos procedette a costruirne una. Sollecitato dal padre, pubblicò la sua opera nel 1833 sotto forma

di appendice al testo del padre. Tuttavia, gli scienziati ed i filosofi dell’epoca salutarono non

positivamente la completa confutazione della filosofia dominante del tempo: le opere di

Lobacevskij e di Bolyai furono ignorate completamente. Inoltre neI 1847 Lobacevskij fu

congedato dall’Università, nonostante i suoi brillanti contributi e una devozione disinteressata al

suo lavoro. Se Bolyai fosse stato un professore, e non un ufficiale dell’esercito austriaco, avrebbe

potuto subire la stessa sorte.

-UN NUOVO POSTULATO delle parallele

Una trentina d’anni dopo la pubblicazione delle opere fondamentali di Lobacevskij e di Bolyai;

fu pubblicata postuma, insieme ad altri scritti, la corrispondenza di Gauss sulla geometria non

euclidea. Il nome di Gauss attrasse l’attenzione sull’argomento e poco tempo dopo il mondo

matematico cominciò a leggere Lobacevskij e Bolyai.

Fig. 1. La parallela di Euclide come linea limite unica

Per apprezzare nel suo giusto valore la loro opera sul problema del postulato delle parallele

dobbiamo fare un passo indietro. Consideriamo una linea retta (fig. 1) e un punto non giacente

L P

su di essa. Il quinto postulato di Euclide afferma che per passa una e una sola linea che non

P K

incontri Ora sia un punto su Man mano che si sposta verso destra, la linea ruota in

L. Q L. Q PQ

senso antiorario attorno a e sembra approssimarsi alla linea Analogamente, man mano che Q

P K.

si muove su verso sinistra, la linea ruota in senso orario attorno a e si avvicina di nuovo a

L PQ P

In entrambi i casi, quindi, si avvicina a una e medesima linea limitante

K. PQ K.

Bolyai e Lobacevskij supposero invece che le due posizioni limitanti di non siano la stessa

PQ

linea bensì due linee diverse passanti per e che queste linee limitanti, e (fig. 2), non

K P, M N

incontrino Essi supposero inoltre che linea passante per e compresa fra e come la

L. ogni P M N, J,

non incontri la Il postulato delle parallele di Bolyai e di Lobacevskij afferma perciò l’esistenza

L.

di un insieme infinito di parallele a passanti per (Questi uomini riservarono la parola

L P.

"parallela" alle sole linee limitanti e ma noi la useremo per denotare ogni linea passante per

M N, P

che non incontri L.)Si potrebbe pensare, come fecero i matematici dell’epoca di Bolyai e di

Lobacevskij, che si tratta di un assunto ridicolo. Il diagramma suggerisce che e incontreranno

M N

se tutt’e tre le linee vengono prolungate a sufficienza.

L 10

Fig. 2. Il postulato delle parallele di Lobacevskij e di Bolyai

Ricordiamo, nondimeno, che Bolyai e Lobacevskij erano interessati a ritrovare un postulato