La fine delle certezze euclidee: le nuove geometrie

Matteo Calonaci

Classe 5^ C corso P.N.I.

Liceo Scientifico “Primo Levi”

Anno Accademico 2006-2007

La fine delle certezze euclidee: le nuove geometrie

Ho fatto scoperte tanto meravigliose da stupirmene io stesso:

dal nulla ho creato un mondo nuovo e diverso.

Já nos Bolyai.

Indice

Premessa............................................................................................................................................... 3

Introduzione ......................................................................................................................................... 4

Una verità millenaria: “Gli Elementi” di Euclide e i postulati della geometria .................................. 5

L’evoluzione del pensiero riguardante lo studio di tali postulati, da Euclide a Saccheri, fino a Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann ................................................................................................. 7

• Il dubbio di Euclide ............................................................................................................... 7
• I primi tentativi di eliminare il ricorso al postulato delle parallele .................................. 7
• Un nuovo approccio al problema: Giovanni G. Saccheri .............................................. 8
• Gauss: possono esistere altre geometrie, altrettanto valide di quella di Euclide ............. 9
• Lobacevskij e Bolyai: una rivelazione inaccettabile ...................................................... 9
• Un nuovo postulato delle parallele ............................................................................. 10
• Nuovi teoremi per la nuova geometria ............................................................................. 11
• Le conclusioni di Lobacevskij e Bolyai .......................................................................... 12
• Il problema dell’applicabilità allo spazio fisico................................................................ 12
• L’esperimento di Gauss .................................................................................................... 12
• Pregiudizi e abitudini di pensiero contro la nuova concezione dello spazio geometrico .................................................................................................................................................... 13
• Una nuova interpretazione fisica della geometria euclidea ............................... 14
• Una visualizzazione della nuova geometria ................................................................ 14
• Il significato fisico della retta ...................................................................................... 15
• Lim itatezza ed infinità della retta ............................................................................. 16
• Il postulato delle parallele di Riemann ............................................................. 16
• La rappresentazione della geometria di Riemann ....................................................... 17
• La geometria di Riemann è altrettanto valida rispetto alle altre ................................. 18
• Un’abitudine di pensiero radicata a fondo ........................................................................ 19
• Spazio matematico e spazio fisico ................................................................................ 19
• La fine di ogni certezza sulla verità ........................................................................... 20

Le nuove geometrie nate dalla negazione del V postulato di Euclide: modelli ................................. 21

• La geometria iperbolica di Bolyai-Lobacevskij-modello di Klein ........................... 21
• La geometria ellittica – modello di Riemann ........................................................... 22

Le tre ipotesi sull’evoluzione dell’Universo: il suo sviluppo in relazione alle nuove geometrie precedentemente illustrate.................................................................................................................. 24

La rappresentazione del nuovo spazio geometrico: le tassellazioni e la produzione di Escher ......... 26

• Le tassellazioni regolari ................................................................................................ 26
• Maurits Cornelis Escher ................................................................................................ 28

Bibliografia ........................................................................................................................................ 30

Sitografia ............................................................................................................................................ 30

2

Premessa

“Quella delle geometrie non euclidee fu vera rivoluzione? Semplicemente, sì. Ha cambiato in maniera decisiva il nostro modo di concepire la scienza, così come la rivoluzione attorno ad un pianeta permette di cambiare la faccia che noi ne vediamo. E non ha avuto bisogno di complesse elaborazioni teoriche: solo di prendere sul serio un nuovo punto di vista. L’analogia con le rivoluzioni astronomiche funziona ancora.”(*)

Risulta dunque di fondamentale importanza fare luce su una storia che trascende il campo della semplice matematica o della geometria, venendo trasposta su un piano più generale e diventando simbolo del superamento umano di credenze e di verità su cui, fino ai primi anni del XIX secolo, veniva fondato l’intero sistema di conoscenze e di certezze. È dunque fondamentale, in un processo così significativo quanto graduale e progressivo protrattosi dal 300 a.C. sino ai giorni nostri, individuare le tappe principali allo scopo di valutare la progressiva presa di coscienza dei matematici riguardo alla negazione di postulati, come quello delle parallele, ritenuti il fondamento dell’intera geometria e, per trasposizione, della realtà fisica che ci circonda.

Si aprono perciò nuove infinite prospettive sul mondo, altrettanto valide e veritiere rispetto a quella sviluppata dal grande matematico greco nei suoi “Elementi”, prospettive che anzi risultano trovare applicazione, modernamente, in campi in continuo sviluppo quale quello dell’astronomia, ed in particolare degli studi riguardanti il destino dell’universo.

Risulta dunque fondamentale, per comprendere gli sviluppi delle scienze moderne, ripercorrere la strada che il pensiero ha compiuto sino a giungere alle conclusioni di matematici come Bolyai e Lobacevskij, simboli immortali della curiosità matematica e della volontà indagatrice sulla realtà che, allora come oggi, è l’unico veicolo possibile per la rivelazione di verità nuove e sconvolgenti.

[*Intervista di Mauro Comoglio a Renato Betti, docente di geometria al politecnico di Milano, in occasione della pubblicazione del suo ultimo libro “Lobacevskij-L’invenzione delle geometrie non euclidee”] 3

Introduzione

Il primo uomo a sfidare Euclide fu Euclide stesso. Il creatore del sistema di pensiero accettato più ampiamente e più diffusamente dubitò dei suoi risultati prima ancora di averli resi noti al mondo.

È universalmente noto che la geometria euclidea è fondata su postulati la cui verità è tanto evidente che nessuna persona sensata oserebbe metterli in dubbio. Partendo da questa solida base, una logica impeccabile produsse ulteriori “verità”, altrettanto affascinanti e immediatamente accettabili degli assiomi.

Due millenni di applicazioni culminati nei successi dell’era newtoniana aggiunsero prove praticamente inconfutabili della loro validità e attendibilità. Un secolo dopo l’altro sostennero la logica con l’esperienza e il buon senso con la tradizione, finché il sistema di Euclide acquistò una santità inviolata.

Attorno all’anno 1800 le persone colte avrebbero probabilmente preferito giurare sui teoremi di Euclide che non su asserzioni contenute nella Bibbia. Sia che una persona si appellasse all’esperienza, sia che accettasse la filosofia kantiana, la conclusione inevitabile sembrava essere che Euclide era la verità e che la verità si identificava con Euclide. 4

Una verità millenaria: “Gli Elementi” di Euclide e i postulati della geometria

Euclide, il matematico greco vissuto attorno al 300 a.C., diede nei suoi “Elementi” una sistemazione teorica alla geometria destinata a durare per oltre due millenni.

Tuttavia l’importanza degli “Elementi” di Euclide va al di là della geometria: in tale testo, infatti, il “metodo ipotetico-deduttivo” viene per la prima volta utilizzato nella costruzione di un sistema teorico di vasto respiro. Tale metodo è stato, fino ai primi decenni del XX secolo, il modello a cui si è ispirata tutta la matematica.

Ognuno dei tredici libri in cui si articolano gli “Elementi” comincia con i “termini”, che corrispondono a ciò che oggi noi chiamiamo “definizioni”. All’inizio del primo libro compaiono poi gli “assiomi” o “nozioni comuni” ed i “postulati”.

Sia assiomi che postulati sono asserzioni la cui verità è considerata da Euclide come “evidente”. I postulati riguardano concetti strettamente geometrici, mentre gli assiomi sono enunciati matematici di carattere più generale. (Oggi non si fa più alcuna distinzione fra assiomi e postulati, tanto che i due termini, nella matematica moderna, sono divenuti sinonimi.)

Per Euclide, assiomi e postulati sono asserzioni la cui verità è garantita dall’evidenza intuitiva, senza che sia necessaria alcuna dimostrazione. Ogni altra asserzione (“proposizione” nella terminologia euclidea) è invece dimostrata.

In questo modo il ricorso all’intuizione come garanzia di verità, se da un lato è reso esplicito, dall’altro è circoscritto e limitato al massimo. Questo atteggiamento di “scarsa fiducia” nei confronti della pur necessaria intuizione ha improntato tutta la storia della matematica: teorie già note sono state sottoposte a ripetuti riesami critici allo scopo non solo di modificarne o di ampliarne i risultati, quanto di renderli più rigorosi eliminando il più possibile il ricorso all’intuizione. Questa sorte, come vedremo, non ha risparmiato neppure la geometria euclidea.

Euclide dunque, per evitare ulteriori appelli all’evidenza intuitiva, in ogni dimostrazione ammette come veri solo gli assiomi, i postulati e le proposizioni precedentemente già dimostrate.

L’intera teoria viene dunque a poggiare sugli assiomi e sui postulati come un edificio poggia sulle fondamenta: la verità degli assiomi e dei postulati, insieme alla correttezza delle dimostrazioni, garantisce la verità dell’intera teoria.

Ecco per esempio alcuni termini, assiomi e postulati citati da Euclide nei suoi “Elementi”:

Termini

1. Punto è ciò che non ha parti.

2. Linea è una lunghezza senza larghezza.

…

23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano tra loro in nessuna delle due parti.

Assiomi

1. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche fra loro.

2. Se cose eguali sono addizionate a cose eguali, le somme sono eguali.

3. Se da cose eguali sono sottratte cose eguali, le differenze sono eguali.

4. Se cose eguali sono addizionate a cose diseguali, le somme sono diseguali.

5. I doppi di una stessa cosa sono eguali fra loro.

6. Le metà di una stessa cosa sono eguali fra loro.

7. Cose che coincidono tra loro sono fra loro eguali.

8. Il tutto è maggiore della parte.

Postulati

1. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto. 5

2. E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta.

3. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4. E che tutti gli angoli retti siano eguali tra loro.

5. E che, se una retta venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte la cui somma sia minore dei due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli la cui somma è minore dei due retti.

Il ruolo che Euclide attribuisce ai “termini” non coincide completamente con quello che modernamente si dà alle definizioni.

Le nostre definizioni, com’è noto, constano di due parti: il “definiendum”, che è il nuovo concetto che si vuole definire, e il “definiens”, che è la locuzione con cui viene individuato il significato di tale concetto.

Nel “definiens” è per noi lecito utilizzare esclusivamente termini definiti in precedenza. Per evitare una regressione all’infinito è dunque necessario partire da “concetti primitivi”. Tali sono considerati, per esempio, i concetti di punto, retta, piano ecc. Il loro significato è considerato intuitivamente evidente senza bisogno di alcuna definizione.

Euclide invece, con i suoi “termini”, non vuole definire nuovi concetti, bensì rendere riconoscibili oggetti: punti, rette, piani ecc., da noi considerati esclusivamente come astrazioni matematiche, sono per lui enti già esistenti, a cui la definizione assegna un nome.

Quanto agli “assiomi”, osserviamo che il concetto euclideo di eguaglianza comprende i nostri concetti di congruenza ed equivalenza.

Gli assiomi 1 e 7 ne esprimono rispettivamente la proprietà transitiva e riflessiva, mentre la proprietà simmetrica è sottintesa. Gli assiomi 4, 5 e 6 sono invece probabilmente interpolazioni posteriori ad Euclide.

Dai “postulati” 1, 2 e 5 si deduce chiaramente che Euclide, con il termine “retta”, designa ciò che modernamente viene chiamato “segmento di retta”.

Dunque la retta illimitata, come la intendiamo noi oggi, per Euclide non esiste “in atto”, ma solo “in potenza”, in quanto ogni segmento di retta può essere prolungato a piacere (postulato 2).

Il numero totale dei postulati espressi da Euclide è tuttavia maggiore dei cinque formulati negli “Elementi”. La critica moderna ha infatti evidenziato, nella trattazione euclidea, diversi “postulati sottintesi”, di cui Euclide fa uso senza enunciarli esplicitamente.

Si ricorderà, ad esempio, il postulato “per due punti distinti passa una e una sola retta”: il postulato di Euclide afferma l’esistenza di una tale retta, mentre la sua unicità viene assunta implicitamente.

Tali pecche in ogni caso non inficiano il sostanziale rigore della costruzione teorica di Euclide.

Il postulato 1, come già detto, afferma l’esistenza di una retta passante per due punti distinti qualsiasi.

Il secondo postulato equivale ai moderni postulati di illimitatezza della retta.

Il terzo postulato, negli attuali trattati, è spesso enunciato in forma diversa come “postulato del trasporto del segmento”.

Il quarto postulato non ha equivalenti nei moderni manuali di geometria: a Euclide esso è necessario perché egli non considera, fra gli angoli, l’angolo piatto.

Il quinto postulato viene oggi formulato in modo diverso: “Per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela a tale retta”. 6

L’evoluzione del pensiero riguardante lo studio di tali postulati, da Euclide a Saccheri, fino a Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann

Il dubbio di Euclide

Nonostante la generale accettazione, che caratterizzò la storia della geometria euclidea fin dal principio e che il tempo accentuò, alcuni pensatori, incluso Euclide stesso, non erano del tutto a loro agio a causa fondamentalmente di due postulati, quello affermante che un segmento di linea può essere esteso entrambe le direzioni ed il postulato delle parallele, il quale dice che per un punto P non giacente su una linea L passa una e una sola linea M (nel piano di P e di L) che non incontri L per quanto M e L vengano prolungate.

Se i postulati della geometria euclidea vengono accettati in quanto l’esperienza con lo spazio fisico giustifica la nostra accettazione, allora tali postulati sono soggetti a qualche dubbio.

Nessun uomo ha un’esperienza diretta di ciò che accade nello spazio a più di alcuni chilometri di distanza dalla Terra, e tutto ciò che possiamo dire in verità è che tali postulati appaiono esser veri nelle regioni limitate in cui noi di fatto ci muoviamo.

Ma neppure qui possiamo essere certi delle nostre asserzioni poiché noi non vediamo mai linee parallele neppure nella parte di spazio che ci circonda immediatamente. Quando noi seguiamo con lo sguardo linee che secondo la geometria di Euclide sono definite parallele, tali linee ci paiono incontrarsi a distanza.

Euclide rivela fin da principio la sua preoccupazione a proposito di questi postulati: egli non utilizza il quinto postulato, il più discutibile fra i due, finché non ha dimostrato tutti i teoremi possibili senza di esso.

Egli è altrettanto prudente circa l’illimitata possibilità di estensione della linea retta. Un esame dei teoremi della sua geometria dimostra, come già abbiamo evidenziato parlando dei postulati, che egli usa segmenti di linea (parti di linea compresi fra due punti) ma non suppone mai di dover prendere l’avvio da una linea retta infinita.

Quando è necessario, estende un segmento in una direzione o nell’altra ma solo nella misura richiesta dal teorema. Non se ne dovrebbe inferire che Euclide dubitasse della verità di questi postulati; tuttavia, a causa delle loro implicazioni, apparentemente gravi, egli avrebbe preferito senza dubbio derivarne i contenuti come conseguenze di postulati più semplici.