La crisi dei fondamenti

La crisi dei fondamenti

Di

Gironella Fabio

Liceo Scientifico Galileo Galilei

(Macerata)

2008-2009

La crisi dei fondamenti

Con l’espressione “crisi dei fondamenti” si indica quel periodo di crisi degli inizi del XX sec. in cui la matematica viene minata proprio alle radici, ritenute, fino al secolo precedente, completamente indistruttibili.

In primo luogo, è necessario precisare che il fatto che questa profonda crisi si manifesti proprio agli inizi del XX sec. non è affatto un caso; nel corso del XIX sec., infatti, si erano ottenuti importantissimi risultati:

• Nascita dell’analisi moderna, grazie alle migliorie apportate da Lagrange, Weierstrass e altri matematici all’analisi sviluppata da Newton e da Leibniz già nel 1600;
• Scoperta delle geometrie non euclidee, le quali, dopo numerosi anni di dibattiti matematici e filosofici in seguito alla pubblicazione degli scritti in cui Lobacevskij, Bólyai e, parallelamente, altri studiosi le avevano teorizzate, iniziavano ad essere accettate come geometrie valide in quanto prive di contraddizioni (anche se non evidenti);
• Nascita della logica matematica per opera di Boole, che mette in evidenza come il pensiero matematico si serva di segni riuniti nella forma di stringhe (per cui è importante la successione di essi piuttosto che l’oggetto reale in esse significato), portando al progetto di logicizzazione dell’aritmetica, a cui contribuiscono Peano, con i suoi assiomi dell’aritmetica, Frege e Dedekind;
• Introduzione della formalizzazione della geometria, ad opera di Hilbert, che rielabora la geometria Euclidea conferendole un assetto formale.

La crisi nasce, perciò, in un momento di grande fermento della matematica, dovuto soprattutto alla necessità di puntualizzare e formalizzare i risultati fino a quel momento ottenuti.

Questa necessità di chiarire le basi della matematica, arrivati ad uno sviluppo così notevole, porta a due principali linee di pensiero:

• Logicismo;
• Formalismo.

Il formalismo e David Hilbert

Nell’ambito del formalismo, il personaggio di maggior rilievo è stato, senza dubbio, il matematico tedesco David Hilbert (1862-1943). Nei “Fondamenti della geometria” del 1899, Hilbert aveva ridotto il problema della coerenza della geometria a quello della coerenza dell’insieme dei numeri reali. Studiando assiomaticamente i numeri reali si era dimostrato che la coerenza della loro teoria discendeva dalla coerenza dell’aritmetica, cioè dal sistema di assiomi, proposti dal matematico italiano G. Peano, che definiscono l’insieme dei numeri interi naturali.

Dunque, nell’agosto del 1900, Hilbert, partecipando al Congresso internazionale di matematica di Parigi, nel suo intervento, presentò una lista di problemi che la matematica era chiamata a risolvere. La lista contava 23 problemi che apparivano, all’attuale stato della scienza matematica, irrisolti (alcuni di essi sono tuttora irrisolti). Il secondo di questi problemi era, appunto, l’Entscheidungsproblem (letteralmente “problema della decisione”): dimostrare cioè, come si era fatto per gli assiomi della geometria euclidea, che gli assiomi dell’aritmetica dei numeri naturali sono coerenti. Questa questione coinvolgeva direttamente i fondamenti stessi della matematica. Fino ad allora le prove di non-contraddittorietà erano sempre state prove di coerenza relativa, cioè avevano semplicemente ridotto la coerenza di un certo sistema di assiomi a quella di un altro. Hilbert si rese conto che con l’aritmetica non si poteva più fare riferimento a un altro sistema di assiomi, si era giunti cioè al fondamento logico della matematica e a quel punto bisognava affrontare il problema in termini del tutto generali, non più relativi.

Il logicismo e la crisi di Frege

I logicisti, parallelamente, pensavano che, come nel caso della geometria, i problemi e le ambiguità dell’aritmetica fossero dovuti all’utilizzo di concetti d’uso quotidiano anziché di termini rigidamente fondati sulla logica. Essi cercavano di attuare un’opera di sistematizzazione della matematica attraverso la sua “traduzione” nella logica stessa: il sistema formale risultante sarebbe, allora, stato scevro da imperfezioni. Tale tentativo, tuttavia, presenta ben presto dei problemi.

Quando, infatti, il matematico tedesco Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) tenta di basare tutta la costruzione della matematica sulla logica, ponendo le basi per il suo progetto nel primo volume dell’opera “I fondamenti dell’aritmetica” (1893), il matematico gallese Bertrand Russell (1872-1970) stronca alla base il suo tentativo in una lettera inviatagli poco prima della pubblicazione del secondo volume. È lo stesso Frege a commentare: “A uno scienziato non può capitare praticamente nulla di meno desiderabile che vedersi crollare le fondazioni del proprio lavoro proprio quando era terminato. Sono stato posto in questa posizione da una lettera del signor Bertrand Russell quando il mio lavoro era praticamente in corso di stampa.”