La crisi dei fondamenti 2

Ravagnani Alberto

L.S. Angelo Messedaglia

La scienza nel secolo ventesimo

(Matematica, fisica ed astrofisica)

Mappa dei collegamenti

La scienza nel secolo ventesimo

(Matematica, fisica ed astrofisica)

Principali sviluppi delle tre scienze:

Matematica, fisica, astrofisica

Tra Ottocento e Novecento Tra Ottocento e Novecento Lo studio delle stelle

I problemi di Hilbert Relatività ristretta e generale La radioastronomia

Sviluppi in geometria Fisica quantistica I buchi neri

I fondamenti della matematica Principio di indeterminazione L’espansione dell’universo

Sviluppi di altre branche Elettronica La teoria del Big Bang

La nuova idea di matematica Fisica nucleare e particellare

Si rivelano contraddizioni, incompletezze, paradossi

Crisi del mondo scientifico e delle certezze

Espressioni della crisi e analisi della crisi

Surrealismo Italo Calvino

René Magritte La “sfida al labirinto”

  Le città invisibili



George Boole Epistemologia e post-positivismo

La logica applicata

 Logica ed ontologia

 Neopositivismo

 Popper

 Epistemologia post-positivistica



L’universo è scritto in lingua matematica,

e i caratteri son triangoli, cerchi,

ed altre figure geometriche.

G. Galilei

Che abbia ragion d’essere una sola interpretazione

del mondo, quella in cui voi vi sentite a posto,

quella in cui si può investigare e lavorare scientificamente,

è una balordaggine ed un’ingenuità, posto che non sia

un’infermità dello spirito, un’idiozia.

Un’interpretazione “scientifica” del mondo

potrebbe essere pur sempre una delle più sciocche,

cioè, tra tutte le possibili interpretazioni del mondo,

una delle più povere di senso.

La gaia scienza

F. Nietzsche,

La scienza nel secolo ventesimo

Indice generale

Introduzione

Le scienze

La matematica

L’eredità dell’Ottocento

Tra Ottocento e Novecento

I problemi di Hilbert (capitolo centrale)

La geometria

I fondamenti della matematica (capitolo centrale)

Analisi, algebra, topologia insiemistica e probabilità

La “nuova matematica” (capitolo centrale)

La fisica La nascita della fisica moderna

La teoria della relatività ristretta (capitolo centrale)

La teoria della relatività generale (capitolo centrale)

La fisica quantistica

Il principio di indeterminazione (capitolo centrale)

L’elettronica

La fisica nucleare

La fisica particellare

L’astrofisica Lo studio delle stelle in astrofisica

La radioastronomia

I buchi neri (capitolo centrale)

L’espansione dell’universo

La teoria del Big Bang (capitolo centrale) La scienza nel secolo ventesimo

Approfondimenti interdisciplinari

(letteratura latina)

Approfondimento primo

La scienza nel mondo classico

(letteratura italiana)

Approfondimento secondo

Italo Calvino: letteratura e scienza

(storia e filosofia)

Approfondimento terzo

L’epistemologia del XX secolo

(storia dell’arte)

Approfondimento quarto

Realtà e immagine: René Magritte

(letteratura inglese)

Approfondimento quinto

Logica e realtà secondo George Boole

Considerazioni: la scienza nel ventesimo secolo

Bibliografia La scienza nel secolo ventesimo

Introduzione

La scelta del tema “Scienza nel ventesimo secolo” è senza dubbio dovuta ad un interesse

personale, coltivato ed approfondito anche grazie a letture specifiche, tra le quali quelle citate

nella bibliografia di questo lavoro.

Trovo personalmente molto interessante approfondire gli argomenti scientifici anche da un

punto di vista filosofico, indagando i fondamenti delle discipline e il grado di verità delle

scoperte realizzate. Per valutare in modo abbastanza completo la condizione della scienza nel

secolo XX, ho scelto di approfondire gli sviluppi di tre discipline particolarmente importanti:

matematica, fisica ed astrofisica. Le prime due sono molto significative per evidenziare la

cosiddetta “crisi dei fondamenti” sia in ambito logico (matematica) sia nell’ambito delle

scienze naturali (fisica). L’astrofisica, applicazione diretta delle conoscenze fisiche, permette

di capire l’importanza pratica dell’indagine puramente teorica.

Le ricerche svolte su tali discipline non vogliono essere esaustive circa gli argomenti trattati,

talmente vasti che richiederebbero libri interi per una trattazione completa, ma intendono

riportare, non senza descrizioni e particolarità, le più importanti “tappe” dell’evoluzione

scientifica.

La matematica

La matematica può essere definita

la materia in cui noi non sappiamo mai

di che cosa stiamo parlando

né se quello che stiamo dicendo è vero.

B. Russell

La matematica

Indice

Cap. 1) L’eredità dell’Ottocento

1. Sviluppi dell’analisi

2. Le geometrie non euclidee

3. L’algebra

4. L’aritmetica

Cap. 2) Tra Ottocento e Novecento

1. Disquisizioni sulla natura della matematica

2. Bertrand Russell

3. Poincaré

Cap. 3) I problemi di Hilbert (capitolo centrale)

1. Il Congresso di Parigi del 1900

2. Il primo problema di Hilbert

3. Il secondo problema di Hilbert

4. Dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Goedel

5. Dimostrazione del secondo teorema di Goedel e conseguenze

6. Altri problemi di Hilbert

Cap. 4) La geometria

1. La struttura assiomatica della geometria

2. Le curve di Hilbert e di Helge von Koch

Cap. 5) I fondamenti della matematica (capitolo centrale)

1. Il dibattito

2. L’intuizionismo

3. Il formalismo

4. Il logicismo

Cap. 6) Analisi, algebra, topologia insiemistica e probabilità

1. Nuovi metodi di integrazione

2. L’algebra astratta

3. La topologia insiemistica

4. La teoria della probabilità e la sua fortuna nelle scienze

Cap. 7) La “nuova matematica” (capitolo centrale)

1. Bourbaki

2. Una nuova idea di matematica

3. La “profezia” di Carl Boyer La matematica

Cap. 1) L’eredità dell’Ottocento

Par. 1) Sviluppi dell’analisi

Nel XIX secolo l’analisi matematica costituì un campo di ricerca molto importante cui si dedicarono

vari pensatori. Nel 1821 il matematico francese Augustin-Louis Cauchy propose un nuovo

approccio al calcolo infinitesimale, formulato in funzione di sole quantità finite e del concetto di

limite, in modo che soddisfacesse tutte le esigenze di rigore precedentemente emerse. Tale

formulazione pose però il problema della definizione logica di numero reale. Fu il tedesco Julius

W.R. Dedekind a trovare una definizione esauriente di quest’ultimo concetto, espressa in termini di

numeri razionali. Tale definizione, comunque, fu in seguito affiancata da altre proposizioni

introdotte dai matematici tedeschi Georg Cantor e Karl T.W. Weierstrass.

Il matematico tedesco Peter G.L. Dirichlet propose la definizione tuttora riconosciuta di funzione:

Definizione di funzione

Si definisce funzione una relazione matematica mediante la quale si stabilisce una corrispondenza

tra gli elementi del dominio (l’insieme di definizione) e quelli del codominio (l’insieme dei valori)

della funzione.

Oltre a rafforzare le fondamenta dell’analisi, i matematici del XIX secolo compirono importanti

progressi in questo campo della matematica: all’inizio del secolo Carl Friedrich Gauss si occupò

della definizione dei numeri complessi, che in seguito costituirono un nuovo campo del calcolo

infinitesimale, al quale lavorarono Cauchy, Weierstrass e il matematico tedesco Georg B. Riemann.

Un’altra importante conquista dell’analisi fu lo studio di Fourier delle serie infinite a termini

trigonometrici, che rappresentano ancor oggi potenti strumenti della matematica pura e applicata.

Par. 2) Le geometrie non euclidee

Un’altra importante scoperta del XIX secolo, accolta dapprima con accuse di scarsa concretezza e

inutilità, fu quella delle geometrie non euclidee, nate dalla negazione del quinto postulato di

Euclide (secondo cui per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela a quella

data). Il primo matematico a interessarsi dello sviluppo delle geometrie non euclidee fu il tedesco

Carl Friedrich Gauss, che però temette le controversie che la pubblicazione dei suoi studi avrebbero

potuto suscitare. Le geometrie non euclidee vennero studiate in generale da Riemann, i cui studi

trovarono importanti applicazioni nella teoria della relatività sviluppata da Albert Einstein nel XX

secolo.

Par. 3) L’algebra

Notevoli progressi furono fatti anche nel campo dell’algebra, che si trasformò da studio dei polinomi

a studio della struttura dei sistemi algebrici. Un rilevante passo avanti in questa direzione fu lo

sviluppo dell’algebra simbolica che ebbe luogo in Inghilterra, per merito di George Peacock.

Friedrich Gauss dimostrò nella sua tesi di dottorato il teorema fondamentale dell’algebra, oggi così

formulato:

Teorema fondamentale dell’algebra

n n

Un’equazione di grado ha sempre soluzioni nell’insieme dei numeri complessi. La matematica

Par. 4) L’aritmetica

Un enorme contributo alla matematica in genere si deve a una formulazione rigorosa degli assiomi

dell’aritmetica. Nel 1889 il matematico italiano Giuseppe Peano si occupò di stabilire cinque assiomi

che ancora oggi costituiscono i fondamenti della scienza dei numeri.

Assiomi di Peano

1. Zero è un numero.

a a

2. Se è un numero, il successivo di è un numero.

3. Zero non è il successivo di alcun numero.

4. Due numeri, i cui successivi sono uguali, sono essi stessi uguali.

S

5. Se un insieme di numeri contiene zero e contiene anche il successivo di ogni numero contenuto

S, S.

in allora ogni numero è contenuto in principio di induzione

Il quinto assioma di Peano è equivalente all’odierno se assunto con la seguente

formulazione:

Principio di induzione

P 0

Se una proprietà è posseduta dallo ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale

P, P

che possiede la proprietà allora la proprietà è posseduta da tutti i numeri naturali.

In simboli si ha che: [ ]

{ ( ) ( ) } ( )

( )

P 0 n P n P n 1 n P n

∧ ∀ ⇒ + ⇒ ∀ La matematica

Cap. 2) Tra Ottocento e Novecento

Par. 1) Disquisizioni sulla natura della matematica

Una delle acquisizioni definitive del XIX secolo fu il riconoscimento che la matematica non è una

scienza naturale, ma una creazione dell’intelletto umano. Gli scienziati iniziarono dunque a

considerare la matematica come una forma di pensiero assiomatico, in cui a partire da premesse

arbitrarie si traggano conclusioni valide, sia che i postulati siano veri in senso scientifico, sia che siano

falsi. Nonostante la concordanza degli scienziati su quanto appena detto, restavano comunque degli

studiosi favorevoli alla concezione intuizionistica della matematica. Ancora oggi esistono diverse

“scuole di pensiero” che risolvono la questione in modi diversi, a favore dell’intuizionismo o del

rigore assiomatico.

Par. 2) Bertrand Russell

Bertrand Russell fu matematico e filosofo e si occupò principalmente di definire le basi logiche della

matematica e i suoi principi primi. L’attività dello studioso coinvolgeva evidentemente sia

Principi

matematica che filosofia. Celebre è la sua definizione di “matematica” pubblicata nel 1903 in

della matematica.

Definizione di matematica secondo Russell q”, p q

La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni aventi la forma “p implica dove e sono

proposizioni contenenti una o più variabili, le quali sono le stesse in entrambe le proposizioni, e né

p q

né contengono alcuna costante a eccezione delle costanti logiche.

Con tale definizione la matematica sembra trovare il suo fondamento nella logica razionale. Oggi

esiste una branca della matematica, detta metamatematica, che si occupa proprio di indagare le radici

logiche e filosofiche della disciplina.

Par. 3) Poincaré

Henri Poicaré, figura di transizione tra Ottocento e Novecento, ebbe il merito di rivolgere i suoi

interessi a moltissime diverse branche della matematica. I suoi studi per il dottorato in scienze lo

( )

f z

portarono a formulare di fatto la teoria delle funzioni automorfe. Una funzione automorfa della

z

variabile complessa è una funzione analitica invariante rispetto ad un gruppo numerabilmente

infinito di trasformazioni lineari frazionarie del tipo

az b

+

′

z = cz d

+

Poicaré anticipò inoltre quell’interesse per la topologia che si sarebbe diffuso poi nel XX secolo,

Analysis situs.

occupandosi prevalentemente di topologia combinatoria nel suo trattato La topologia

combinatoria è oggi una branca della matematica che si occupa delle proprietà geometriche che

rimangono inalterate quando lo spazio viene deformato mediante trasformazioni biunivoche e

continue. Questo concetto può essere chiarito con un esempio: una circonferenza divide un piano

in due regioni, una interna e una esterna; di conseguenza un punto esterno non può essere

connesso a uno dei punti interni da una linea continua che non attraversi la curva. Se deformiamo

opportunamente il piano, la circonferenza può diventare, ad esempio, un’ellisse (topologicamente

equivalente alla circonferenza di partenza) e quindi possono variare le caratteristiche metriche,

quali la lunghezza e la forma, ma la proprietà di dividere la superficie a cui appartiene in due

regioni distinte si conserva inalterata; essa è infatti una proprietà topologica. La matematica

Cap. 3) I problemi di Hilbert (capitolo centrale)

Par. 1) Il Congresso di Parigi del 1900

Il secolo XX si apre, matematicamente parlando, con il congresso ufficiale di matematica tenutosi a

Parigi nel 1900. A tale congresso David Hilbert, matematico tedesco e famoso professore a Gottinga,

presentò una relazione nella quale tentava di prevedere quali sarebbero stati i problemi che

avrebbero impegnato i matematici nel corso del 1900. Ancora oggi i problemi posti da Hilbert sono di

notevole interesse e alcuni devono ancora trovare risposta.

Par. 2) Il primo problema di Hilbert

La prima questione sollevata dal matematico riguardava i numeri reali ed il problema si componeva

di due parti:

• Esiste un numero transfinito compreso tra il numero di un insieme numerabile e il numero del continuo?
• Il continuo dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato?

Il primo quesito può essere compreso solamente dopo una spiegazione sintetica dei numeri

transfiniti.

Numeri transfiniti

cardinalità

Due insiemi hanno la stessa se e solo se i loro elementi possono essere messi in

equipotenti.

corrispondenza biunivoca; in tal caso i due insiemi sono Se un insieme è finito, la sua

{ }

cardinalità può essere espressa mediante un numero intero. Ad esempio l’insieme A a ; b ; c ; d ; e

=

ha cardinalità perché ha cinque elementi. L’insieme dei numeri naturali è però infinito, e la

A 5

=

sua cardinalità non può essere espressa con un numero naturale. Si ricorre allora a numeri

transfiniti per esprimere la numerosità anche degli insiemi infiniti. Tali numeri sono necessari

N

perché esistono diversi gradi di infinito. La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali è

espressa dal primo numero cardinale transfinito (Aleph-zero), mentre la cardinalità

ℵ 0

R

dell’insieme dei numeri reali è (Aleph-uno).

ℵ

1

Il punto 1 equivale dunque a chiedersi se esista un numero transfinito compreso tra e , dal

ℵ

ℵ 1

0

momento che un insieme si definisce numerabile se i suoi elementi possono essere messi in

N.

corrispondenza biunivoca con gli elementi dell’insieme

L’ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa

strettamente tra quella dell’insieme dei numeri interi e quella dell’insieme dei numeri reali. Goedel e

Cohen hanno dimostrato che l’ipotesi non può essere né dimostrata né confutata. Non esiste un

consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.

Il punto 2 chiede, in sostanza, se la totalità di tutti i numeri reali possa essere ordinata in un’altra

maniera in modo che ogni insieme parziale possegga un primo elemento. Anche questo problema è

stato affrontato senza però giungere ad una soluzione definitiva.

Par. 3) Il secondo problema di Hilbert

Il secondo problema di Hilbert chiedeva se fosse possibile dimostrare che gli assiomi dell’aritmetica

sono compatibili, ossia che partendo da essi e procedendo attraverso un numero finito di passaggi

logici non si può mai giungere a risultati contraddittori. Dieci anni dopo l’esposizione del problema

Principia matematica

vide la luce il primo volume dei di B. Russell e A. Whitehead, il quale

La matematica

riformulava le nozioni fondamentali dell’aritmetica a partire da un insieme ben definito di assiomi.

Tale opera era basata sugli assiomi di Peano già descritti e tendeva a far coincidere matematica e

logica. In tale ottica la risposta al secondo problema di Hilbert sembra essere affermativa, ma la

questione non si poteva considerare chiusa.

Nel 1931 infatti, un giovane matematico austriaco, Kurt Goedel, dimostrò il contrario di ciò che

teoremi di Goedel

pareva esser stato scoperto da Russell e Whitehead. I celebri vengono trattati nei

paragrafi seguenti.

Par. 4) Dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Goedel