John Nash - Tesina

INDICE

JOHN NASH:

★ GIOCHI

○ Il punto di partenza………………………………….……….....…pag.3

○ L’idea………………………………………………………...……..pag.3

○ L’equilibrio di Nash in economia………………………………....pag.4

○ Gli anni seguenti all’elaborazione della sua tesi……………......pag.4

○ La probabilità……………………...………………………...……..pag.5

○ Blaise Pascal…………………………………………...……….....pag.6

■ La genèse du calcul des probabiltés…………………......pag.7

■ Le contexte historique……………………………….……..pag.7

■ Les sollicitations d'un ami joueur………………………….pag.8

■ Les contributions de Pascal au calcul des probabilité….pag.8

★ CONFLITTI

○ La RAND e l’ inizio della malattia……………………….………..pag.9

○ La guerra fredda……………………………………….………….pag.10

○ La

Russia……………………………………………………………...pag.12

○ Martin Luther King………………………………………...……….pag.13

○ La pop art americana………………………………….………….pag.14

★ STRATEGIE

○ Per risolvere malattia e giochi……………………………...…….pag.16

○ Sistema nervoso e schizzofrenia………………………..………pag.16

○ Alda Merini…………………………………………………………pag.18

■ “Il manicomio”…………………………...…………………pag.19

○ Epilogo……………………………………………………..………pag.20

Biblio­sitografia………………………………………….………………………pag.21

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GIOCHI

Il punto di partenza

John passò tutta la sua infanzia a Bluefield. Ebbe un’infanzia molto serena,

trascorsa sempre con i genitori e nonni; già da piccolo appariva “diverso” dagli

altri: era asociale, infatti preferiva, ai giochi “normali” magari all’aria aperta

insieme ai suoi coetanei, esperimenti di chimica e fisica o leggere libri. Si

annoiava molto a scuola e i suoi voti erano più bassi rispetto alla media. La sua

prima adolescenza fu simile alla sua infanzia.

Con il liceo la sua vita cambiò. La sua superiorità intellettuale rispetto ai suoi

coetanei emerse e gli servì per ottenere rispetto. Durante quegli anni accettò

una borsa di studio offerta dall’ università di Carnegie, per studiare ingegneria

chimica. Dopo qualche anno di studi, si rese conto che il suo vero interesse era

la matematica, gli interessava molto la risoluzione di problemi complessi.

Decise così, insieme ai suoi professori, di cambiare indirizzo di studi. Ottenne

la laurea matematica nel 1948. Successivamente, vista la sua bravura, ottenne

diverse proposte di specializzazione matematica dalle università più importanti

d‘america. Scelse l‘università di Princeton, dove conoscerà, fra gli altri, Albert

Einstein e John Von Neumann.

L’idea

Negli anni a Princeton, John si dimostrò un grande matematico polivalente.

Infatti si interessava di geometria algebrica, topologia, logica e talvolta di teoria

dei giochi. Un giorno dopo aver seguito un seminario di teoria dei giochi diretto

da John Von Neumann (allora considerato il più grande esperto di teoria dei

giochi), gli venne una brillante idea che, oltre ad essere l’oggetto della sua tesi

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di dottorato, gli valse dopo 45 anni, il premio nobel per l’economia nel 1994.

John von Neumann si era occupato, in particolare, dei giochi a somma zero

(dove cioè la vincita o la perdita di un giocatore è perfettamente bilanciata dalla

perdita o vincita dell’altro giocatore) e informazione perfetta (i giocatori sono a

conoscenza delle possibili mosse dell’avversario); aveva dimostrato il teorema

del minimax, stabilendo che esiste una strategia che permette ad entrambi i

giocatori di minimizzare le perdite.

Nella sua tesi di dottorato, Nash, esprime il concetto di equilibrio nei giochi non

cooperativi per più giocatori ; dimostra che in un gioco in cui i partecipanti non

cooperano fra di loro e che non variano le loro decisioni in base al

comportamento dei rivali, vi è sempre un equilibrio, che si ottiene quando ogni

partecipante attua una strategia che mira a massimizzare il suo payoff (numero

che rappresenta la valutazione del risultato ottenuto considerando tutte le

possibili scelte dei giocatori) . Questo equilibrio viene chiamato ”equilibrio di

Nash”, l’idea più importante di tutta la teoria dei giochi, poichè si rivelerà

applicabile in moltissimi settori.

L’equilibrio di Nash in Economia

Nelle applicazioni economiche, la teoria dei giochi è utilizzata per analizzare

situazioni in cui, non essendovi né concorrenza perfetta né monopolio, le

decisioni di ogni agente economico sono condizionate dalle scelte degli altri nel

mercato Quindi, la definizione di equilibrio di Nash in questo settore, dove l’

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interesse di una popolazione o di una nazione è di accrescere il proprio

patrimonio, a volte a scapito di altri, è molto importante.

Un esempio semplice per capire l’ utilizzo dell’equilibrio di Nash è il dilemma del

prigioniero, proposto da Albert Tucker nel 1950. 4

II dilemma del prigioniero narra di due uomini che, dopo una rapina, vengono

arrestati e condotti in due celle separate, senza poter comunicare fra di loro, per

cercare di farli confessare. Vengono loro dare le seguenti possibilità:

1) confessare tutti e due ed avere sei anni di reclusione;

2) non confessare entrambi, ed avere un anno di reclusione ciascuno;

3) se uno confessa e l’altro no, quello che confessa è libero, mentre, colui che

non confessa avrà 7 anni di reclusione.

Ovviamente i giocatori devono essere razionali e conoscere il gioco alla stessa

maniera per evitare di commettere errori. Quindi ogni prigioniero rischia 0 o 6

anni se confessa, 1 o 7 anni se non confessa.

Visto che ognuno cerca di minimizzare il tempo da trascorrere in carcere,

l’opzione più giusta, che rappresenta l’equilibrio di Nash, è quindi quella di

confessare! Ogni prigioniero non confessando rischia 7 anni di carcere poichè

l’altro potrebbe confessare, quindi il suo “massimo profitto” si ha confessando a

prescindere dalle scelte dell’altro prigioniero. E’, a questo punto, ovvio che non

è detto che l’equilibrio di Nash sia la soluzione migliore per tutti, ogni giocatore

troverà comunque preferibile non rischiare e giocare la propria strategia

dominante, la soluzione del gioco resterà comunque l'equilibrio di Nash, anche

se non garantisce il massimo guadagno possibile.

Il dilemma del prigioniero è un chiaro esempio di come l’equilibrio di Nash

agisca in economia. In economia infatti, sono molto importanti i bisogni

individuali e collettivi e molto spesso ci si trova ad essere come in un gioco non

cooperativo dove ognuno cerca di aumentare i propri beni attuando una propria

strategia, ma il guadagno di una azienda, in generale, dipende non solo dalla

propria strategia ma anche dalle strategie scelte dalle aziende avversarie.

Gli anni seguenti all’elaborazione della sua tesi

L’interesse da parte di Nash per la teoria dei giochi non era molto chiaro a tutti.

A quei tempi i teorici dei giochi non erano considerati dei veri e propri

matematici e si dava più rispetto a logici, topologi o a chi si occupava di altre

branche di matematica pura. Forse John era attratto dalla teoria dei giochi

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perchè con altri matematici a Princeton giocavano molto spesso a giochi da

tavolo in cui la matematica e la strategia erano sempre presenti. Comunque,

negli anni seguenti si interessò molto di topologia, geometria algebrica e di

probabilità. Proprio quest’ultima (le distribuzioni di probabilità) sono alla base

della teoria dei giochi. Nash e i suoi colleghi la analizzavano e “applicavano” a

Princeton nella stanza di Fine Hall, la stanza dedita al tempo ricreativo. Il loro

interesse li portò anche ad inventare un gioco da tavolo ancora oggi esistente,

l’Hex, anche se, probabilmente, lo stesso gioco fu inventato pochi mesi prima

in Danimarca. Per i ragazzi di Fine Hall era molto intrigante la probabilità, che poi

veniva applicata in teoria dei giochi, perché con essa si poteva decidere se una

strategia potesse dare frutto o no. I giochi in cui la probabilità entrava erano i

giochi a informazione perfetta, cioè dove ogni giocatore conosce la strategia

del suo avversario in tempo reale, come il poker, l’hex, la dama e gli scacchi.

La probabilità

Il concetto di probabilità, utilizzato a partire dal Settecento ,è diventato con il

passare del tempo, una delle “questioni” matematiche più importanti e con

molti campi di applicabilità scientifici e non.

La probabilità ha tre definizioni:

1. probabilità classica;

2. probabilità frequentistica;

3. probabilità soggettiva.

❖ La probabilità che si verifichi un dato evento (E), nella sua definizione

classica, è il rapporto fra il numero (s) dei casi favorevoli all'evento stesso

e il numero (n) dei casi possibili, purché tutti i casi considerati siano

ugualmente probabili.

❖ In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse

condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza

relativa che è presso a poco uguale alla sua probabilità.

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L'approssimazione cresce ordinariamente con il numero delle prove;

questa definizione viene enunciata come probabilità frequentista.

❖ Per probabilità soggettiva, intendiamo la misura del grado di fiducia che

un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle

sue conoscenze.

Blaise Pascal

La genèse du calcul des probabiltés

Quand on étudie le calcul des probabilités au XXI siècle, on ne peut éviter de

penser au Père de ce calcul qui est Blaise Pascal.

Philosophe de renom, auteur des célèbres Pensées, mathématicien et

physicien il vécut au XVII siècle.

Sa mère mourut alors qu'il n'avait que 3 ans; il fut élevé et instruit par son

père Étienne Pascal, mathématicien reconnu.

A 12 ans, Blaise découvrait et démontrait des théorèmes classiques de

géométrie euclidienne.

A 19 ans, il mit au point et fit construire, en plusieurs exemplaires, une à

machine calculer.

Outre ses brillants travaux en calcul infinitésimal et en géométrie, Pascal sera

un pionnier dans le calcul des probabilités qu'il introduisit avec Fermat (1654)

en étudiant des problèmes de jeux et d'espérance de gain.

Le contexte historique

On ne peut pas quantifier le hasard.

Le hasard dont nous allons parler ici est essentiellement celui des jeux de

hasard en général et du jeu de dés en particulier.

Des notions telles que "la probabilité de gagner" ou "l'espérance de gain" nous

paraissent si familières qu'il nous est difficile de penser que, au début du XVII

siècle, on considérait comme impossible de quantifier la probabilité. Il revient à

Pascal et à quelques autres, dont Fermat, de mathématiser le hasard, ce qui

donnera naissance à une nouvelle discipline appelée à un grand avenir : le

calcul des probabilités. 7

Les sollicitations d'un ami joueur

L'expérience a appris aux joueurs que le jeu de dés obéit à certaines

régularités. Par exemple, le Chevalier de Méré avait remarqué que, à choisir

entre les deux jeux

1. obtenir au moins un six en lançant 4 fois un dé,

2. obtenir au moins un double six en lançant 24 fois une paire de dés, il gagnait

plus souvent au premier qu'au second.

Ne trouvant pas d'explication satisfaisante, le Chevalier de Méré sollicita l'aide

du mathématicien Pascal pour résoudre l'énigme. C'est encore M. de Méré qui

demanda à Pascal comment partager les mises entre les joueurs lorsqu'un jeu

devait être interrompu avant la fin.

Voilà, Les contributions de Pascal au calcul des probabilités :

* le problème des dés, dont la solution de Pascal est dénommée méthode des

dés;

il s'agit du premier exemple traité avec ce qu'on appelle aujourd'hui les