Ipercubo - Tesina per liceo scientifico

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Mappa 2

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Indice

Introduzione da “The Cube” alla quarta dimensione p.

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Matematica

la quarta dimensione e il tetraspazio p.7

1. l’ipercubo e i suoi numeri p.9

2. le rappresentazioni dell’ipercubo: come disegnarlo p.12

3.

Arte un Dalì mistico e scientifico nell’opera “Corpus Hypercubus” p.19

Conclusioni p.24

Bibliografia, sitografia e filmografia p.25 3

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Introduzione da “The Cube” alla quarta dimensione

“L’ipercubo è soltanto un postulato teorico della fisica quantistica, ma se fosse invece già realtà?”.

Queste sono le parole con cui termina il film The cube 2: Hypercube, che è ambientato nella quarta

dimensione, più specificatamente in un ipercubo. Inizialmente l’ipercubo potrebbe apparire come

un semplice, enorme cubo contenente al suo interno molti altri cubi più piccoli, collegati tra di loro

con delle porte a sensore-sfioramento poste nel mezzo di ogni faccia. Ma dopo molte ipotesi,

notando che le stanze, ossia i cubi, sono a velocità-tempo variabile, i protagonisti capiscono di

trovarsi all’interno di un tesseratto: l’ipercubo a quattro dimensioni, in cui i sistemi di riferimento a

tre dimensioni (lunghezza, larghezza e profondità) sono molteplici e quindi possono variare nel

tempo e nello spazio, creando così una sorta di prigione piena di trappole.

La vicenda del film si sviluppa tutta all’interno di questo ipercubo, il quale sembra essere un posto

dal quale non si può uscire, poiché ogni stanza-cubo appare uguale all’altra, le persone che vi si

trovano sembrano non conoscersi e non avere nulla a che fare con quella reclusione. Nemmeno le

loro competenze di tipo tecnico-scientifico sono in grado di far loro trovare una via d’uscita dal

misterioso ipercubo dove andranno incontro alla morte. I protagonisti sono tutti

inconsapevolmente legati tra loro poiché collaboratori della Izon, una società produttrice di armi.

Izon è riuscita a realizzare un prototipo di ipercubo dalle conseguenze spaventose e inimmaginabili.

Per mantenere il segreto della progettazione, Izon mette all’interno dell’ipercubo tutti gli scienziati

che avevano preso parte al progetto.

Osserviamo come il regista abbia saputo creare una scenografia che rende visibile, almeno in

parte, un modello teorico e prettamente matematico, cioè non reale.

Nell’ipercubo ogni sottosistema ha le proprie regole gravitazionali ma anche temporali e dunque

spaziali. Qui è davvero impossibile uscire o comunque comprendere il sistema, poiché in ogni cella

le leggi cambiano, tutte senza eccezioni. L’unica certezza è che è ancora possibile percepire le

mutazioni delle condizioni degli ambienti contigui. Le sei possibilità di uscita, date dalle sei porte al

centro di ogni faccia del cubo-stanza, divengono sei possibilità di ingresso in nuove dimensioni per

ogni porta, che è un vero e proprio buco nero che conduce a mondi paralleli, possibili ma non

unici.

L’ipercubo e la quarta dimensione con le sue leggi fisiche sono utilizzate dal regista per creare

nuovi tipi di “trappole” sconosciute ai protagonisti, così da ingannarli senza dare loro la possibilità

di capire come scappare e come riuscire a difendersi. I personaggi si trovano in una realtà che non

è la loro, in un sistema in cui non potranno mai essere i padroni delle leggi che lo governano né

uscirne poiché fanno parte di un sottosistema infinitesimale. In effetti non sarebbe per noi

concepibile far “vivere” un segmento all’interno del nostro mondo: esso rischierebbe la vita e non

avrebbe mai la possibilità di uscire da un sistema superiore al suo, che è regolato da leggi diverse e

impensabili per un essere appartenente al sottosistema. Così spiegava nel 1884 Edwin Abbott in

Flatland, il racconto fantastico a più dimensioni: “… In una dimensione un Punto in movimento

non generava una linea con due Punti terminali? In tre Dimensioni, un Quadrato in movimento

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non generava – e questo mio occhio non l'ha forse contemplato – quell'Essere benedetto, un

Cubo, con otto punti terminali? E in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento non darà origine –

ahimè per l'Analogia e ahimè per il Progresso della Verità se così non fosse! – non darà origine,

dicevo, il movimento di un cubo divino, a un Organismo più divino con sedici punti terminali? E

perciò non ne segue, necessariamente, che il rampollo più divino del divino Cubo nella Terra delle

Quattro Dimensioni ("The divine Cube in the Land of Four Dimensions") dovrà essere delimitato da

otto Cubi: e non è anche questo, come il mio signore mi ha insegnato a credere, in stretto accordo

con l'analogia?".

Per capire l’ipercubo occorre descrivere il mondo in cui l’ipercubo vive: un mondo a quattro

dimensioni.

Una serie di regole aiuta a spiegare in modo scientifico questa condizione.

Prima regola: IL TEMPO È LA PRIMA DIMENSIONE DELLO SPAZIO. Infatti il tempo non è

assolutamente una quarta dimensione dello spazio, ma è l'unico modo per descriverlo.

Da qui deriva che LO SPAZIO È UN INTERVALLO PERCORRIBILE e che quindi la sua minima

dimensione è quella di una linea, di conseguenza il PUNTO È CIÒ CHE NON HA SPAZIO NÉ TEMPO.

Il tempo non solo è la prima dimensione dello spazio, ma è anche lo strumento fondamentale per

comprendere mondi a meno dimensioni della terza e immaginare mondi a più dimensioni.

Inoltre, OGNI SISTEMA DI RIFERIMENTO INFERIORE È CONTENUTO IN UNO SUPERIORE, DA UN

SISTEMA INFERIORE SI HA PROIEZIONE DI UNO DI LIVELLO SUPERIORE e OGNI SISTEMA DI

RIFERIMENTO È VALIDO AL SUO INTERNO E HA UNO SPAZIO E UN TEMPO AUTONOMI.

Quindi nei diversi sistemi di riferimento a uno, due o tre dimensioni i tempi sono "diversi". Per

capire meglio il concetto si può prendere un foglio di carta e tracciare un segmento tra A e B

chiamandolo t: esso è percorribile unicamente da un punto (zero dimensioni) oppure da una

stessa linea (due dimensioni), che, per conoscere t, deve compiere il percorso da A a B in un certo

tempo. Quindi t è conoscibile come intervallo temporale. Se si curva il foglio, si nota che la

lunghezza t, anche se curva, non varia. Il percorso da A a B rimanendo nella seconda dimensione è

sempre segnato dalla stessa linea, anche se è diventata una linea curva. Se si fanno toccare i punti

A e B curvando totalmente il foglio, si nota che la lunghezza t è sempre la via migliore, in quanto il

percorso più breve, in un sistema a due dimensioni; ma se si osserva quel percorso da un punto di

vista tridimensionale si noterà che il modo più breve per andare da A e B non è il segmento curvo

t, ma il percorso tracciato da un nuovo segmento r che collega i punti A e B compiendo un ideale

salto, uscendo dal foglio, senza passare per t.

Osservando il tutto dalla terza dimensione, non solo si risolve diversamente il problema, MA

QUELLO CHE È EVIDENTE È CHE SONO PROPRIO I TEMPI AD ESSERE DIVERSI: r è molto più corto di

t, quindi anche i tempi di percorrenza saranno molto diversi. Ecco dunque dimostrato che non vi è

affatto uno spazio e un tempo assoluto: ciascun sistema è spazio-temporalmente autonomo e

dipendente dal sistema di riferimento usato. La figura del salto è fondamentale per percepire

un'altra dimensione, per comprendere e per vedere allo stesso tempo la propria. 5

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Per capire uno spazio a quattro dimensioni bisogna perciò aggiungere un’altra formulazione: IN

OGNI SISTEMA DI LIVELLO SUPERIORE COESISTONO INFINTI SISTEMI DI RIFERIMENTO DI LIVELLO

INFERIORE. Più semplicemente, in uno spazio a quattro dimensioni coesistono più sistemi di

riferimento a tre. Così, se in uno spazio a tre dimensioni coesistono infiniti piani, nello spazio a

quattro coesistono infiniti cubi!

In quattro dimensioni è possibile cambiare continuamente volume, cioè sistema di riferimento

tridimensionale. La navigabilità di base di un mondo a quattro è quella che permette di saltare da

un mondo a tre dimensioni a un altro mondo a tre, e questo "salto" non è solo spaziale, ma spazio-

temporale.

Per concludere, i passaggi da un sistema spazio-temporale ad un altro non sono assoluti, ma

ciascuno ha il proprio sistema interno, con proprie leggi che possono essere infrante solo da un

livello superiore. Tutto ciò è in qualche modo dipendente anche dal corpo che percepisce, dato

che uno spazio non è legato oggettivamente all'essenza delle cose, ma ad una caratteristica

"fisica" degli uomini, i quali percepiscono e si muovono su tre dimensioni. Lo spazio a tre

dimensioni è legato al limite fisico dell’uomo. Il limite è "oggettivo" perché l'uomo è, per sua

natura, un sistema a tre dimensioni e non a quattro. Non è detto, peraltro, che un sistema a più

dimensioni non possa esistere. 6

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Matematica

1. la quarta dimensione e il tetraspazio:

La quarta dimensione è solita essere considerata come quel fattore che all’interno del sistema

ortogonale (perpendicolare) tridimensionale permette l’evoluzione temporale di esse, quindi è

comunemente interpretata come il tempo, il quale permette alle tre dimensioni di evolversi e

cambiare in una situazione spazio-temporale. Invece più scientificamente è accettata la visione di

quarta dimensione come quella dimensione ortogonale alle prime tre e che continua idealmente

la progressione euclidea di lunghezza x, altezza y e profondità z. La quarta dimensione è una

quarta retta ideale perpendicolare alle tre esistenti nel sistema di riferimento cartesiano, quindi

una dimensione totalmente spaziale e non temporale. Questo spazio è definito Tetraspazio.

Il sistema di riferimento del tetraspazio è cartesiano ed ortogonale, che è possibile poiché i

concetti di punto, linea e retta sono validi anche per uno spazio quadrimensionale. Quindi

l'estensione al tetraspazio è perfettamente definibile come metrico e vettoriale, analogamente a

quello tridimensionale

Un punto P di questo spazio sarà indicato con una quadrupletta (x,y,z,t) con x, y, z e t numeri reali.

Le direzioni degli assi di regola il piano xy del sistema di riferimento è considerato perpendicolare

al suolo e posto in modo tale che l'osservatore guardi in direzione dell'asse z. In questo modo

l'osservatore in un sistema quadrimensionale si muoverà a destra per le x positive, a sinistra per le

x negative, in su per le y positive in giù per le y negative, in avanti per le z positive e in dietro per le

z negative. Per quanto riguarda la direzioni positiva e negativa nella quarta dimensione si

utilizzano rispettivamente i termini ana e kata (rispettivamente su e giù in greco antico).

Le definizioni anche in sistema a quattro dimensioni rimangono le medesime di un sistema a tre,

infatti:

- iperspazio è ogni spazio che ha dimensioni superiori alla terza, in particolare tetraspazio

quello a quattro dimensioni.

- iperpiano è un insieme infinito e continuo di punti non curvato e non limitato in uno spazio

n-dimensionale: un iperpiano monodimensionale corrisponde ad una retta e un iperpiano

bidimensionale corrisponde ad un piano.

- ipersuperficie un insieme infinito e continuo di punti in uno spazio n-dimensionale: una

ipersuperficie monodimensionale è una linea e una ipersuperficie bidimensionale è una

superficie. Quindi un iperpiano è un particolare tipo di ipersuperficie. 7

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- ipersfera è il luogo dei punti dell'iperspazio equidistanti da un punto di questo, essa

coincide con la circonferenza nello spazio bidimensionale e con la sfera in quello

tridimensionale.

- bulk è di un solido quadrimensionale generico

- Politopo è un solido n-dimensionale convesso, analogo al poliedro in tre dimensioni e al

poligono in due dimensioni. 8

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2. l’ipercubo e i suoi numeri:

L'ipercubo è un politopo che generalizza in una dimensione più alta i concetti di punto, segmento,