Il mondo delle curve

“L'universo… è scritto in linguaggio matematico, e le lettere sono triangoli, cerchi ed altre

figure geometriche, senza le quali è umanamente impossibile comprendere una singola

parola”. Galileo Galilei

Diamo una definizione matematica di curva:

Per curva si intende un oggetto unidimensionale e continuo (curve

semplici possono essere la retta o la circonferenza) che può

giacere nel piano o nello spazio tridimensionale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria

descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità

in qualche spazio. SPIRALE.

Iniziamo il nostro viaggio nel mondo delle curve, parliamo della

La spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato

punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi

progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

Alcuni tipi di spirali bidimensionali più importanti sono:

•SPIRALE ARCHIMEDEA

•SPIRALE IPERBOLICA

•SPIRALE LOGARITMICA

S P I R A L E A R C H I M E D E A

spirale Archimedea spirale di Archimede

Una o è una curva che può essere descritta in coordinate polari

(r, θ) dalla seguente equazione: r = a + bθ

dove il parametro fa ruotare la spirale, mentre controlla la distanza tra i bracci.

a b

Un tipo particolare di spirale archimedea è la spirale di Fermat o spirale parabolica.

L’equazione in coordinate polari è:

r² = α² θ

Nell’equazione assume due valori, uno positivo e l’altro negativo. Pertanto la curva

r

presenta due bracci che si sviluppano in direzioni opposte, senza mai intersecarsi.

È proprio il modello per le spirali estive contro le zanzare!

S P I R A L E I P E R B O L I C A

L’equazione in coordinate polari è:

r = a

θ

spirale iperbolica

Una è una curva piana nota come spirale reciproca ed è l’inversa della spirale di

Archimede.

La curva si avvolge sempre più velocemente al polo mentre si avvicina e la lunghezza totale del

percorso è infinita. S P I R A L E L O G A R I T M I C A

L’equazione in coordinate polari è:

r 



log

=  

θ b a 



da cui il nome “logaritmica”.

Il parametro ruota la spirale mentre

a b

controlla quanto è stretta e in quale

direzione si avvolge.

La natura ci offre molti esempi di strutture a forma di spirale. Analizziamone alcune tra le più affascinanti.

L’universo e le galassie spirali:

LA VIA LATTEA

Via Lattea,

La nostra galassia, la è una spirale barrata formata da quattro bracci spirali

principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi.

galassia

Una è un sistema costituito da stelle, gas interstellare e polveri che sono legati tra loro

attraverso l’azione della forza di gravità.

Nella sequenza di Hubble la nostra galassia, la Via Lattea, è una spirale con classificazione

SBb, per la presenza di una piccola barra vicino al bulge.

galassia spirale

Una è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

•È composta da un centrale circondato da un disco;

bulge

•È popolata da giovani stelle azzurre, localizzate in particolare

nei bracci.

I cicloni tropicali: GLI URAGANI

I cicloni tropicali sono perturbazioni caratterizzate da venti fortissimi e piogge violente.

spirale

I venti che si vengono a formare possono superare i 300 Km/h e convergono a verso il

centro. Un particolare tipo di fossile:

L’AMMONITE

Si definisce fossile (dal latino fòdere = scavare) qualsiasi resto o traccia di organismo vegetale

o animale vissuto in epoche anteriori all’attuale e conservato nelle rocce della crosta terrestre.

Ammoniti

Le sono un gruppo di animali marini estinti appartenente alla sottoclasse

Ammonoidea. L’animale vivente più simile è il moderno Nautilus.

spirali

Le conchiglie di questo tipo di fossili hanno la forma di avvolte su un piano ed è proprio

questa caratteristica ad aver determinato il loro nome.

L’aspetto di questi animali ricorda quello del corno di un montone.

Plinio il Vecchio definì i fossili di questi animali ammonis cornua,

“corno di Ammone”.

Una delle sue opere fondamentali è la che si presenta

“Naturalis historia”

come una ricerca a carattere enciclopedico sui fenomeni naturali.

La forza di Lorentz:

MOTO DI UNA PARTICELLA IN UN CAMPO

MAGNETICO

Una carica in moto immersa in un campo magnetico subisce l’azione di una forza, detta

q

forza di Lorentz, la cui espressione è: F q v B

= ∧

In particolare, una particella carica che entra in un campo magnetico uniforme con velocità

non perpendicolare e non parallela al campo stesso, compie una traiettoria elicoidale,

combinazione di un moto circolare uniforme e di un moto rettilineo uniforme e

perpendicolare al primo.

La particella quindi si muove descrivendo una spirale nello spazio formata da un susseguirsi

di circonferenze secondo un moto costante. CONICHE.

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo delle curve, parliamo ora delle

Si definisce conica una curva piana che sia luogo dei punti

ottenibili come rappresentazione della superficie di un cono,

o doppio cono, tagliato da un piano intersecante.

E L L I S S E

L’ellisse è definita come il luogo dei punti, in un piano, la cui somma delle distanze da due punti

fissi dati (detti fuochi) è costante. L’equazione cartesiana dell’ellisse è:

2 2

x y 1

+ =

2 2

a b

L’ellisse:

L’ORBITA DEI PIANETI

PRIMA LEGGE DI KEPLERO

L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due

fuochi.

SECONDA LEGGE DI KEPLERO

Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive

aree uguali in tempi uguali.

TERZA LEGGE DI KEPLERO

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali

ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

In termini matematici la legge si può scrivere come:

2 3

T K a

= ⋅

dove K è una costante che dipende dal corpo celeste che si prende in

considerazione. La Terra:

ELLISSOIDE O GEOIDE?

ELLISSOIDE A TRE ASSI

Definito da un’equazione

matematica ma poco rispondente

alla realtà.

GEOIDE

Non ha un’equazione matematica

ma è costruito con misurazioni

che fanno riferimento alla forza

di gravità, per questo più fedele

alla realtà.