Il linguaggio universale della matematica

(branca sulla quale, dopo la crisi innescata dalle geometrie non-euclidee, si riteneva essere fondato tutto il

sapere matematico).

Paradossalmente, proprio dedicandosi al grande programma fondazionale hilbertiano, il logico matematico

austriaco Kurt Gödel dimostrò i suoi famosi “teoremi d’incompletezza dell’Aritmetica”, i quali, mostrando

inequivocabilmente che il suddetto scopo di Hilbert non avrebbe mai potuto essere raggiunto, segnarono

definitivamente il tramonto di tutta la concezione formalistica della matematica.

Vedremo qui di seguito di ripercorrere, in maniera semplificata, lo schema generale del ragionamento fatto

da Gödel per dedurre questi teoremi (che per semplicità verranno enunciati secondo una versione di tipo

semantico), soffermandoci poi sulle loro conseguenze nei confronti del programma di Hilbert.

I teoremi di Gödel sono applicabili a teorie formalizzate T il cui grado di complessità è tale per cui essi

riescono ad esprimere una parte dell’aritmetica detta “elementare”: sistemi così definiti vengono detti

sufficientemente potenti.

Prendiamo quindi in considerazione un sistema formale T sufficientemente potente, che sarà dotato di un

proprio linguaggio e poniamo che esso sia semanticamente coerente, ossia, per quanto detto nel paragrafo

L,

precedente, che esso possa dimostrare unicamente enunciati veri nell’interpretazione di adottata.

L

Ora, supponiamo anche che si possa esprimere in una certa maniera, nel linguaggio formalizzato di T,

L

espresso come segue:

un enunciato (cioè un enunciato che si riferisce a se stesso) G

autoreferenziale T

(G ) “ G non è dimostrabile in T ”. È naturale, a questo punto, chiedersi se G sia effettivamente

T T T

dimostrabile, o meno, in T. Poniamo quindi che G sia dimostrabile; sotto questa ipotesi, allora G è falso,

T T

dal momento che sostiene di non essere dimostrabile. Questo significa dunque che il sistema formale T è

poiché consente di dimostrare un enunciato falso.

semanticamente incoerente, è vero, e perciò

Al contrario, se T è effettivamente coerente dal punto di vista semantico, l’enunciato G

T

non è dimostrabile in T; da questo si deduce quindi che T è un sistema formale semanticamente incompleto:

infatti ci troviamo nella condizione in cui esiste un enunciato vero, appunto G , che T non può dimostrare,

T

cioè che non è un teorema di T. Inoltre, poiché G è vero, la sua negazione non-G (che viene indicata

T T

simbolicamente con ¬G ) sarà falsa. Perciò, dato che nel sistema formale T, supposto coerente

T

semanticamente, gli enunciati falsi non sono dimostrabili, si deduce, per quanto discusso prima, che né

né la sua negazione ¬G sono teoremi di T, e pertanto T è anche

l’enunciato G incompleto dal punto di vista

T T

esiste infatti un enunciato, tale che né esso né la sua negazione sono dimostrabili in T. Di

sintattico:

conseguenza, per quanto detto nel precedente paragrafo, l’enunciato G è in T. Ecco quindi

indecidibile

T

dimostrata la versione semantica informale del cosiddetto il cui

Primo Teorema di Incompletezza di Gödel,

enunciato è il seguente: “Se T è un sistema formale sufficientemente potente e semanticamente coerente,

formulato nel linguaggio di T, tale che G è indecidibile in T, ossia né

allora esiste un enunciato G L

T T

dimostrabile né refutabile in T.”

Enunciati del genere di G vengono detti di un determinato sistema formale: nel caso

enunciati gödeliani

T

appena esposto, G è l’enunciato gödeliano di T.

T 8

Siamo così giunti ad affermare che, se T è un sistema formale coerente semanticamente, allora G non è

T

dimostrabile in T.

Si può dimostrare, inoltre, che la tesi riguardante l’indimostrabilità di G vale anche se si assume l’ipotesi

T

più debole che il sistema formale T sia solo Infatti, ponendo per ipotesi G

sintatticamente coerente. T

dimostrabile in T, da ciò verrebbe dimostrata la negazione di G (che, per come è stato definito G , afferma

T T

appunto che G è dimostrabile in T). Pertanto, sia G sia ¬G sarebbero dimostrabili, e ciò darebbe origine

T T T

ad una contraddizione logica e quindi all’incoerenza sintattica di T. Da qui si inferisce che, se un sistema

formale vuole essere sintatticamente coerente, allora G non può essere un teorema di T.

T

Analizziamo ora il il cui enunciato in versione semantica

Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel,

informale è il seguente: “ Se T è un sistema formale sufficientemente potente e semanticamente coerente,

allora T non può dimostrare la propria coerenza.”. Supponiamo che, per ipotesi, T possa dimostrare la

propria coerenza (cioè sia possibile, all’interno del sistema formale T, dimostrare l’enunciato “T è

coerente”). Allora l’enunciato “T è coerente” costituirebbe l’ipotesi del teorema sopra dimostrato “Se T è

non è dimostrabile in T”, il quale, per come è stato definito G , equivale all’enunciato

coerente, allora G

T T

“Se T è coerente, allora G ”. Da qui, applicando la semplice regola di inferenza del (la quale è

modus ponens

T

descritta informalmente dal ragionamento: “Se B è conseguente logicamente da A, e A è dato per ipotesi,

si potrebbe dimostrare G . Ma questa è una conclusione assurda in quanto esclusa dal

allora si deduce B”), T

Primo Teorema d’Incompletezza: l’ipotesi da cui si è partiti dunque è falsa in quanto porta a contraddizione

logica, pertanto è dimostrata la sua negazione, cioè che T, nelle ipotesi fatte, può dimostrare la propria

non

coerenza (questa regola di inferenza, molto usata nelle dimostrazioni matematiche, viene denominata

– riduzione all’assurdo- e dimostra un enunciato A, mostrando logicamente che la sua

reductio ad absurdum

negazione ¬A conduce ad una contraddizione rispetto a ipotesi di partenza ritenute vere, e che pertanto

quest’ultima è falsa).

Dopo aver enunciato e dimostrato, in via semplificata, il contenuto dei due Teoremi di Incompletezza,

vediamo, infine, in che senso essi decretano il fallimento definitivo del programma di Hilbert.

Come si è visto, Hilbert si proponeva di dimostrare la coerenza dell’aritmetica formalizzata utilizzando

ragionamenti di tipo metamatematico; nelle intenzioni fin troppo ottimiste del formalista tedesco, questa

dimostrazione metamatematica avrebbe dovuto essere formalizzabile in un sistema in grado di esprimere la

stessa aritmetica, cioè con le stesse caratteristiche del sistema formale T di cui sopra. Tuttavia, in virtù del

Secondo Teorema di Incompletezza, queste intenzioni sono impossibili da realizzare: infatti, stando al

teorema, la dimostrazione di coerenza di T (sistema formale contenente l’aritmetica) non è formalizzabile in

T. Pertanto, T non può auto-dimostrare dall’interno la propria coerenza, per la dimostrazione della quale si

ha necessariamente bisogno di un’altra teoria formale, più ricca di T assiomaticamente e dal punto di vista

del linguaggio, ma comunque anch’essa inevitabilmente soggetta alle medesime limitazioni imposte dai due

Teoremi di Gödel. 9

1.3. C : L

ONSIDERAZIONI CONCLUSIVE A MATEMATICA FORMALIZZATA TRA RIGORE E LIMITE

In conclusione, si può quindi delineare un sintetico quadro d’insieme degli aspetti più importanti della

matematica che emergono da questa prima sezione:

a) l’attività matematica consta in larga misura di un momento logico-deduttivo, attraverso cui, a partire

da un certo numero di espressioni e proprietà fondamentali (gli assiomi) attribuite agli enti di cui

parla, ne deduce proprietà più complesse mediante la dimostrazione;

b) le teorie matematiche vengono rese più rigorose da un punto di vista logico mediante la

formalizzazione, la quale rende espliciti gli enti a cui la teoria è riferita, i simboli su cui è basato il

linguaggio formale utilizzato, le regole di formazione delle espressioni, gli assiomi, e le regole

logiche di deduzione su cui si impernia il momento dimostrativo della teoria stessa;

c) le teorie matematiche formali possono godere di determinate proprietà, come la coerenza (sintattica e

semantica), la completezza (sintattica e semantica) e la decidibilità;

d) i Teoremi di Incompletezza di Gödel rivestono un’importanza fondamentale, in quanto svelano

l’illusoria velleità hilbertiana di poter dare stabilità al corpo delle conoscenze matematiche basandolo

sulla coerenza e sulla completezza dell’aritmetica elementare formalizzata, ma soprattutto perché,

più in generale, rendono evidente la limitatezza intrinseca della matematica descritta da sistemi

formali sufficientemente potenti: in virtù di questi teoremi, se un sistema formale di questo tipo è

coerente, non è completo (non potrà dunque dimostrare ogni enunciato espresso nel linguaggio del

sistema, o la sua negazione); viceversa, se un sistema formale è completo, perde in coerenza (dando

quindi luogo a contraddizioni); infine, se un sistema formale è coerente, non può dimostrare

dall’interno la sua coerenza (e si ha quindi bisogno di teorie formali più ricche e complesse,

anch’esse però ugualmente limitate dai due teoremi). 10

2. L ‘900: ,

A MATEMATICA NEL DIBATTITO FILOSOFICO DEL PRIMO LOGICISMO

FORMALISMO E INTUIZIONISMO

In questa seconda sezione si cercherà di definire sinteticamente il concetto di “crisi dei fondamenti della

matematica”, delineandone brevemente le cause. In seguito, verranno descritte tre tra le più importanti scuole

di filosofia della matematica dei primi decenni del Novecento (logicismo, formalismo e intuizionismo),

relativamente alle risposte da esse fornite per tentare di superare la crisi stessa.

2.1. L “ ”

A CRISI DEI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

2.1.1. Che cos’è la crisi dei fondamenti della matematica

Con crisi dei fondamenti della matematica si vuole indicare l'ampio dibattito che ha coinvolto l'intera

comunità dei matematici, e dei filosofi, nel primo trentennio del XX secolo, incentrato sulla natura della

matematica, cioè su quali siano, se ci sono, gli enti primitivi indimostrabili che costituiscono il punto di

partenza di questa disciplina.

Come già accennato, le posizioni filosofiche più innovatrici diedero vita a vere e proprie scuole

matematiche: l'Intuizionismo, il Formalismo e il Logicismo. Dalle nuove impostazioni epistemologiche

derivò addirittura la nascita di nuove discipline, come la formalista "teoria della dimostrazione" o

"metamatematica", ed il consolidamento di quelle emergenti, come la logica matematica (discipline alle quali

abbiamo già fatto in parte riferimento nella sezione precedente, relativamente ai sistemi formali).

Nel prossimo paragrafo cercheremo di fare un sintetico e il più possibile chiaro resoconto della crisi,

analizzandone le cause principali.

2.1.2. Le cause della crisi dei fondamenti della matematica

Le cause ultime della crisi dei fondamenti della matematica vanno senza dubbio ricercate nelle radicali

trasformazioni che il corpo delle conoscenze matematiche ha subito nel corso del XIX secolo.

Queste profonde trasformazioni sono principalmente costituite dalla nascita delle geometrie non-euclidee,

dalla dalla dall’aritmetizzazione

formalizzazione della geometria, nascita dell’analisi moderna, dell’analisi,

dalla dalla e infine dalla

nascita della teoria degli insiemi, nascita della logica matematica, logicizzazione

Vediamo di descriverle in maniera abbastanza schematica.

dell’aritmetica.

a) La nascita delle geometrie non-euclidee

Le geometrie non-euclidee propongono, attraverso i loro più importanti ideatori János Bólyai (1802-1860),

Nicolaj Ivanovič Lobacevskij (1793-1856) e Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), una visione

del tutto nuova della geometria, la quale, fino all’Ottocento, era tradizionalmente identificata con il

celeberrimo sistema assiomatico non formale degli dell’alessandrino Euclide (dominante da quasi

Elementi

due millenni, e la cui autorità e solidità logico-intuitiva erano così grandi, da fungere da fondamento di tutto

il matematico, e tali che non pareva immaginabile costruire geometrie diverse e altrettanto coerenti).

corpus