Il linguaggio universale della matematica

Il linguaggio universale della matematica

Tesina a cura di Mar Orrisi

Classe 5C

I “D.A.”

Istituto Magistrale Statale Luca degli Abruzzi, indirizzo scientifico

Progetto Brocca

Anno scolastico 2007/2008

Introduzione generale alla tesina

Scopo di questa tesina è fornire una critica e il più possibile veritiera caratterizzazione a più livelli di quella che, a mio avviso, costituisce forse una delle attività umane più stupefacenti e, al tempo stesso, meno comprese: vale a dire la Matematica. Quest’ultima, infatti, viene generalmente ritenuta una materia a sé stante e assolutamente priva, al di là delle nozioni più intuitive, di connessioni con la realtà e con il mondo in cui quotidianamente viviamo. A chi non la comprende in tutto il suo significato, la matematica sembra cioè, in sostanza, semplicemente il frutto di fredde costruzioni mentali e ragionamenti astratti e complicati che, dall’alto della loro trascendenza, non riescono a rapportarsi felicemente con la concretezza vitale del mondo terreno.

L’opposizione trascendenza-realtà terrena di cui parlo, non è solo una pura metafora di stampo metafisico; infatti, spesse volte la conoscenza matematica assume, soprattutto agli occhi dei non addetti ai lavori, il significato erroneo di conoscenza certa al cento per cento, vera ed inoppugnabile (quante volte infatti nel linguaggio comune si sente usare l’avverbio “matematicamente” in sostituzione di “certamente”!), al quale segue poi necessariamente quello di insieme di verità incontrovertibili e assolute, che perlopiù vengono (purtroppo) dogmaticamente accettate come valide.

Questo testo, in contrapposizione per certi aspetti alla mentalità del “la matematica non è un’opinione”, vuole invece in primo luogo mostrare, paradossalmente, come la matematica possa essere vista anche come un’opinione, in quanto costituita da teorie (i cosiddetti sistemi formali) che si prefiggono come scopo non la verità degli enunciati formulati, bensì la più debole coerenza sintattica degli stessi, a cui rinvia il concetto di dimostrabilità logica, a partire da principi primi arbitrari posti a fondamento delle teorie stesse.

I sistemi formali, argomento centrale della prima sezione di questa tesina, introducono dunque nell’attività matematica un forte senso di relativismo, pur mantenendo intatta la certezza e il rigore logici che da sempre sono caratteristiche peculiari della matematica (e che tuttavia, a dispetto dell’apparente onnipotenza della dimostrazione matematica, presentano anch’essi, come vedremo, notevoli limitazioni).

Il relativismo e la mancanza di fondamenti certi all’interno della matematica, argomenti già introdotti nella prima sezione sui sistemi formali, vengono poi ripresi e ampliati nella seconda sezione a carattere filosofico; in tale contesto si analizzano le cause della cosiddetta “crisi dei fondamenti” della matematica di fine Ottocento e inizio Novecento, oltre che i falliti tentativi, da parte delle scuole filosofiche logicista, intuizionista e formalista, di risolvere la crisi riducendo il complesso e multiforme edificio matematico ad una sola entità, disciplina o facoltà umana.

Dopo l’analisi critica delle possibilità e dei limiti logici e filosofici entro i quali si colloca la matematica, nella terza ed ultima sezione viene descritto, invece, il ruolo della stessa come linguaggio universale delle scienze sperimentali (da qui il titolo della tesina); infatti, come vedremo mediante alcuni esempi ricavati dalla Biologia e dalla Fisica, la matematica riesce, con i suoi potenti strumenti (tra cui gli importantissimi operatori dell’Analisi Infinitesimale), a dedurre e ad esprimere nella sua lingua tutte le leggi che regolano i fenomeni naturali, realizzando così, anche nelle sue costruzioni più astratte, una formidabile e sorprendente fusione con il mondo reale (in conformità con la visione galileiana della scienza e in contrasto con l’opinione comune delineata all’inizio di questa introduzione).

Per quanto concerne gli strumenti utilizzati per la stesura di questa tesina, la maggior parte del materiale informativo è costituito dai libri indicati nella bibliografia finale; informazioni supplementari e immagini sono state invece tratte dai siti Internet presenti nella sitografia finale.

Infine, il motivo che mi ha spinto a intraprendere questo insolito percorso multidisciplinare sulla matematica consiste fondamentalmente nella mia grande passione per questa disciplina, in virtù delle stupefacenti connessioni che essa organicamente crea tra tutte le sue parti, e in virtù di quelle che essa crea tra le varie scienze. Tuttavia, lontano dallo scrivere un riduttivo elogio ai meri aspetti positivi e perfetti, ho voluto fornire, in questa tesina, una critica visione a tutto tondo della matematica, rappresentandola sì come l’attività umana più impressionante e potente nell’ambito della comprensione scientifica della Natura, ma anche come un’attività che, tanto quanto la ragione umana che l’ha creata, risulta essere irrimediabilmente limitata.

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1. La matematica come sistema logico deduttivo

1.1. Introduzione ai sistemi formali

Il metodo scientifico elaborato da Galileo Galilei nel XVI secolo, il quale è la base delle moderne scienze naturali (come ad esempio la fisica, la chimica, la biologia, la geologia etc…), prevede un primo momento induttivo basato sull’osservazione dei fenomeni naturali e sulla raccolta di dati quantitativi relativamente alle grandezze caratterizzanti i fenomeni stessi, un secondo momento deduttivo di interpretazione matematica dei dati raccolti, e un terzo momento induttivo di verifica sperimentale delle ipotesi matematiche formulate.

L’interpretazione matematica è quella che consente allo scienziato di stabilire, entro i limiti degli inevitabili errori sperimentali di misura, in quali rapporti si trovino le grandezze misurate, e dunque di dedurre, a partire da questi, una legge atta a definire univocamente, in termini per l’appunto matematici, le proprietà e le relazioni causa-effetto che legano tra loro i corpi o i sistemi che partecipano al fenomeno osservato. Da questo punto di vista, è ovviamente essenziale che la teoria matematica descrivente un certo fenomeno naturale sia in perfetto accordo con l’esperienza che si ha del fenomeno stesso, cioè che la deduzione non contrasti l’induzione, pena la perdita di validità del suddetto modello matematico. Nelle scienze sperimentali forgiate secondo il metodo galileiano, dunque, si può ragionevolmente affermare che sia l’induzione il principale criterio di verità nell’analisi delle dinamiche dei fenomeni naturali. Rispetto ad essa il momento deduttivo matematico risulta solamente essere un utile mezzo per interpretare, capire e descrivere la Natura in una maniera il più possibile oggettiva, semplice, chiara e universalmente valida, al di là dei singoli casi e delle singole tipologie di fenomeni.

All’interno della matematica stessa, invece, l’induzione e la deduzione giocano ruoli estremamente diversi. La matematica, come si è detto, è il codice lingua attraverso cui si interpretano gli eventi che avvengono in natura, ed è costituito da molteplici e specifiche entità astratte che, come le parole che comunemente si usano per comunicare, descrivono il mondo senza però farne fisicamente parte a guisa di entità reali e percepibili mediante l’esperienza sensibile. Pertanto le proprietà di questi enti e le loro reciproche relazioni non possono essere determinate secondo un metodo induttivo-deduttivo di tipo galileiano, bensì mediante metodi più propriamente deduttivi alla cui base si pone la scienza del linguaggio per definizione, vale a dire la logica. Questo segue appunto dal fatto che, non essendo reali gli enti di cui la matematica parla, il criterio fondamentale di verità non può più trovarsi nell’evidenza del mondo reale, ma nell’evidenza logica, cioè nella validità logica del ragionamento deduttivo.

Il ragionamento deduttivo rappresenta una delle parti più importanti, se non forse la più importante, del fare matematica, cioè del produrre teorie matematiche. È in definitiva lo strumento principe attraverso il quale, a partire da alcuni principi primi indimostrabili e assunti come veri, si perviene a considerazioni più complesse che discendono logicamente da questi. I principi primi indimostrabili posti a fondamento della teoria matematica vengono detti postulati o assiomi, mentre le considerazioni da essi derivate vengono dette teoremi.

Un teorema è un enunciato condizionale, cioè del tipo “se T allora A”, dove T sono gli assiomi della teoria e A è la conclusione conseguente logicamente da T. Il teorema è inoltre anche un enunciato formale, cioè una formula costituita da un linguaggio simbolico artificiale, costruita rispettando solo regole di correttezza logico-sintattica e priva di un significato intrinseco (relativamente a questi aspetti, vedremo in seguito cosa s’intenda con i termini sintassi e semantica).

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A questo proposito, nel prossimo paragrafo approfondiremo proprio quelle che vengono chiamate teorie matematiche formali o sistemi formali, a cui abbiamo fatto brevemente riferimento.

1.2. I sistemi formali

Una teoria matematica T è detta formalizzata quando sono definiti il suo linguaggio L e l’universo U di oggetti a cui essa si riferisce. La teoria, simbolicamente rappresentata dall’espressione T = (L, U), si dice allora teoria formale o sistema formale.

Il linguaggio L deve specificare:

• I simboli con cui vengono espressi gli enunciati della teoria;
• I criteri di formazione delle espressioni, cioè le regole con cui i simboli si possono combinare tra loro per produrre espressioni corrette all’interno del linguaggio;
• Le espressioni scelte come assiomi (i quali, come già detto, vengono assunti come veri senza però dover necessariamente trovare un riscontro con la realtà contingente e con il “senso comune”);
• Le regole di deduzione per mezzo delle quali, a partire dagli assiomi, si ricavano altre espressioni.

Come già anticipato, le espressioni che, attraverso una sequenza di deduzioni, possono essere derivate logicamente a partire dagli assiomi vengono dette teoremi. La sequenza logica attraverso cui un teorema viene dedotto si chiama invece dimostrazione.

Quando l’insieme di oggetti di U è definito in modo da dare un significato ai simboli del linguaggio L si ha una interpretazione di L. Un’interpretazione che rende veri tutti gli assiomi di L è detta modello di L.

1.2.1. La teoria e la metateoria

Una teoria matematica formale, che studia le proprietà di determinati oggetti o enti matematici, può essere a sua volta oggetto di studio di una seconda teoria detta metateoria e indicata con il simbolo MT. MT è dotata di un proprio linguaggio ML e studia le proprietà di L. Costituisce pertanto, per quanto sopra affermato, l’universo di MT, e viene perciò detto linguaggio-oggetto. Utilizzando l’espressione simbolica di prima si avrà dunque MT = (ML, L).

Spesso linguaggio-oggetto e metalinguaggio (linguaggio proprio della metateoria) risultano essere coincidenti, ad esempio nel caso in cui si usa l’italiano (linguaggio della metateoria) per descrivere aspetti linguistici che caratterizzano la lingua italiana stessa (linguaggio-oggetto): è ovviamente importante, nell’analisi dei sistemi formali, saper bene distinguere tra linguaggio della teoria e metalinguaggio.

1.2.2. La sintassi e la semantica

Lo studio metateorico di una teoria T può svilupparsi in due direzioni diverse: la sintassi e la semantica.

La sintassi di T è l’analisi del linguaggio della teoria, indipendentemente dall’universo di oggetti a cui T fa riferimento, condotta occupandosi solo della sua struttura e delle regole a cui esso obbedisce (un esempio di sintassi è dato dal caso, analogo a quello discusso nel precedente paragrafo, in cui vengono definiti gli elementi grammaticali di un linguaggio come l’italiano).

La semantica di T è invece l’analisi dello stesso linguaggio della teoria rapportato all’universo U, considerando cioè la verità o la falsità dei suoi enunciati rispetto al mondo degli oggetti di cui parla (un esempio di semantica è dato dal caso in cui si costruiscono espressioni del tipo “L’enunciato snow is white è vero nella lingua inglese”).

Lo studio sintattico pone l’accento sul problema della correttezza logico-formale e quindi sulla coerenza sintattica (cfr. paragrafo seguente) di T, mentre lo studio semantico concentra la propria attenzione sulla verità di T, cioè sull’aderenza delle sue affermazioni alle proprietà degli oggetti di U. Mentre fino agli inizi dell’Ottocento, il modo di intendere gli assiomi delle teorie matematiche era fondato su un approccio semantico, dopo la nascita delle geometrie non euclidee si assistette invece allo sviluppo, da parte del matematico formalista David Hilbert (1862-1943), di una prospettiva moderna in base a cui si poneva l’attenzione sullo studio sintattico delle teorie.

La distinzione tra sintassi e semantica permette di chiarire il significato di due concetti che, per la loro affinità, sono stati spesso confusi nel corso della storia della matematica: dimostrabilità e verità.

Di un’espressione s’intende una proprietà puramente sintattica, la quale indica l’esistenza di una catena di espressioni che, a partire dagli assiomi, per mezzo delle regole di deduzione ammesse in L, conduce all’espressione che si vuole dimostrare. La dimostrabilità è invece un concetto semantico, che stabilisce una relazione tra un’espressione di L e le proprietà degli oggetti dell’universo U a cui la teoria formale si riferisce.

Mentre la dimostrabilità è una proprietà intrinseca al linguaggio L, la verità dipende dall’interpretazione di L, cioè dal rapporto tra L e U. In tal modo, nell’espressione “per x e y qualunque si ha che: [(x # successore di y) = (successore di x # y)]”, si ha che, se interpretiamo la funzione # come addizione, l’espressione è vera; è falsa se la stessa funzione è interpretata come moltiplicazione.

1.2.3. Alcune proprietà dei sistemi formali: coerenza (sintattica e semantica), completezza (sintattica e semantica), decidibilità

Le più importanti proprietà di cui possono godere i sistemi formali sono coerenza sintattica, coerenza semantica, completezza sintattica, completezza semantica e decidibilità.

Una teoria T si dice coerente sintatticamente se non esiste in essa alcun enunciato A tale che A e non-A (negazione di A) siano entrambi teoremi di T: non è cioè possibile dedurre dagli assiomi di T sia l’enunciato A sia l’enunciato non-A e arrivare dunque ad una contraddizione logica.

Una teoria T si dice invece coerente semanticamente (o corretta) se essa è tale da poter dimostrare solo enunciati veri (come abbiamo visto infatti, la verità è un concetto di carattere tipicamente semantico, discendente dall’interpretazione del linguaggio e non ha nulla a che vedere con la dimostrabilità sintattica).

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Una teoria T si dice completa sintatticamente se, per ogni enunciato A, essa è capace di dimostrare A oppure non-A: gli assiomi della teoria consentono dunque di dimostrare qualunque enunciato A oppure la sua negazione.

Una teoria T si dice invece completa semanticamente se essa riesce a dimostrare ogni enunciato vero (in relazione all’interpretazione di L adottata); in questo caso dunque non è possibile che un enunciato vero A non sia un teorema di T.

Infine, una teoria T si dice decidibile se esiste un procedimento meccanico per dimostrare, in un numero finito di passaggi, se un qualsiasi enunciato A è un teorema di T oppure no, cioè se esiste una sua dimostrazione (o una sua refutazione, cioè la dimostrazione della sua negazione non-A) a partire dagli assiomi. In caso contrario, se la teoria è indecidibile, questa procedura meccanica non esiste e la dimostrazione dei teoremi può richiedere una certa dose di ingegno.

È importante notare che la coerenza semantica è una proprietà più forte della coerenza sintattica, in quanto la prima implica la seconda (in generale non vale però il viceversa); infatti se un sistema formale T è sintatticamente incoerente, a partire dai suoi assiomi è possibile dimostrare sia un enunciato A sia la sua negazione non-A, arrivando pertanto ad una contraddizione. Dato inoltre che una contraddizione logica non può mai essere vera, quale che sia l’interpretazione del linguaggio del sistema formale in questione, T è anche semanticamente incoerente, proprio in quanto dai suoi assiomi deriva una conseguenza sicuramente falsa. In generale invece se un sistema formale T è semanticamente incoerente, non è detto che lo sia anche da un punto di vista sintattico; infatti esso può dimostrare enunciati falsi (secondo una certa interpretazione del linguaggio della teoria) senza condurre per questo necessariamente a contraddizioni.