Linguaggio della Matematica, tesina

Andrea De Vittori

Definizione Pag.15

7. moderna

rigorosa di

numero.

(matematica)

I limiti del

8. Pag. 18

linguaggio

matematico.

(matematica)

9. Conclusioni Pag. 22

Bibliografia e Pag. 23

10. sitografia 3

Andrea De Vittori Introduzione :

Il mondo dei numeri è un mondo avventuroso, paradossale, pieno di sorprese; può capitare di

perdersi in labirinti intricati poi individuare un filo, una traccia,un sentiero per uscire di nuovo alla

luce.

Il lavoro che voglio presentare nasce dalla mia grande passione, la matematica, che in questi anni si

è resa sempre più concreta. Ciò che mi ha sempre attratto di tale disciplina è la sua capacità di

descrivere attraverso un linguaggio, una formulazione, il mondo che ci circonda nella sua fisicità.

Raggiunto ormai un grado di conoscenza che mi permette di comprendere come funzioni e come

proceda il ragionamento matematico, ho voluto intraprendere un viaggio a ritroso verso l'origine e

l'essenza di questa materia, alcune volte dato per scontato, indagando sul suo linguaggio.

Il mio percorso inizia con una introduzione storica in cui analizzo come sia stato concepito

nell’antichità il numero e il suo stretto legame con la teologia e l’ambito religioso.

Come secondo punto ho analizzato sia la filosofia pitagorica con il concetto di numero da essa

enunciata e come esso possa descrivere il variare della natura, rappresentarla spazialmente e perfino

per certi aspetti esplicitare la vita dell’uomo.

Si osserva che la matematica greca si fonda sulla concezione di numero naturale e che i numeri

siano finiti, ma tale convinzione decade con la scoperta della incommensurabilità.

Dato che la matematica è stata sempre considerata uno strumento d’indagine per la realtà, essa con

la rivoluzione scientifica, attraverso le formulazioni di carattere matematico, riesce ad esprimere la

realtà nella sua materialità.

Tra l’ 800’ e il 900’ risulta necessario rifondare i principi su cui si struttura la matematica, tra cui

rientra la stessa definizione di numero. Grazie al brillante lavoro di un matematico di nome Kantor,

si è potuto appunto definire cosa sia il numero razionale, ponendo finalmente anche una risoluzione

al problema della incommensurabilità.

La matematica si dimostra sempre più nel 900’ come una scienza non esatta:infatti matematici del

calibro di Gödel dimostrano che molti principi su cui essa poggia non sono dimostrabili

logicamente.

Essa risulta fondamentale per lo sviluppo di una nuova disciplina, la cibernetica, il cui scopo è

quello di esprimere attraverso il linguaggio matematico, la mente umana e di ricostruirla

artificialmente all’interno dei robot.

Dato che la matematica, come la storia ha dimostrato, è imperfetta, il tentativo formalizzare la

nostra intelligenza e di rendere i robot “macchine pensanti”, coscienti di sé, fallisce, in quanto esse

opereranno sempre secondo uno schema prefissato, a differenza dell’uomo il quale si realizza

attraverso la creatività e l’ingegno. 4

Andrea De Vittori

Definizione di linguaggio

matematico ed introduzione

storica:

Quale è il significato e la funzione dei numeri?

Una risposta ovvia sarebbe che i numeri servono a contare innanzitutto degli oggetti. Questa

formulazione tradirebbe in parte la vera essenza del numero che la storia ci ha tramandato. Numero

come simbolo, come segno, come astrazione, come processo di calcolo, come informazione, come

emblema: sono questi i connotati del numero, conosciuti in parte a partire fin dall'antichità.

Esiste una ragione specifica che ci permetta di comprendere il motivo per cui i numeri siano stati

concepiti proprio in quel modo? A quali domande dovessero rispondere le formule aritmetiche ,

oltre al loro senso immediato ed alla loro coerenza di semplici formule?

Si osserva che i numeri non sono semplicemente delle entità individuali, ma si presentano come

termini di sequenze, progressioni, preposti alla rappresentazione di fenomeni di diminuzione e

accrescimento di grandezze. La più semplice progressione era quella dei numeri naturali :1,2,3,4... a

partire questa semplice enunciazione si mettono in evidenza schemi di ragionamento che

risultarono fondamentali per uno sviluppo successivo della matematica.

Dietro questa visione dei numeri, dietro i meccanismi e le immagini a loro associate, si intravvede

una forte connessione con la concezione di cosmo e natura. Platone(427,428 a.C-348,347 a.C)

percepisce all'interno delle progressioni numeriche, i caratteri stampati della natura e nelle loro

proprietà di ripetizione ciclica, una espressione simbolica dei cicli che regolavano i movimenti

delle costellazioni.

Un’ idea è soprattutto l'idea che ricorre in questi primi algoritmi numerici, cioè il fatto che esista

un qualcosa che, crescendo o diminuendo in grandezza, mantiene la propria forma. Più che dal

modo ovvio e diretto di considerare la successione dei numeri naturali, questa idea nacque

verosimilmente dall'elaborazione di immagini simboliche che provenivano dalla mediazione

teologica e rituale. La speculazione del numero ebbe un impulso anche grazie ad una teologia ed ad

un ' esperienza rituale nelle quali era insistentemente presente l'idea che il carattere polimorfo e

dinamico delle divinità e della natura dipendesse, in ultima analisi, da un unico medesimo atto, nel

quale si riassumeva la potenza unificante di quello che in Grecia si chiamava logos. Come accade

per il dio che, accrescendosi o rimpicciolendosi, rimaneva uguale a sè stesso, così accade per il

numero , il quale finisce per riflettersi nell' immagine di una forma che varia in grandezza senza

variare aspetto.

Fin dalle origini dunque è evidente una forte connessione tra la matematica e la teologia . Da

antiche fonti risulta che divinità o eroi quali Hermes e Prometeo, Apollo e Palamede, Thoth e

Osiride, Agni e Prajati, svolsero un ruolo fondamentale per la formulazione dei primi problemi

matematici. Lo stesso Pitagora era considerato un semidio, un' incarnazione vivente di Apollo.

Seppur la matematica, sviluppatasi in occidente negli ultimi secoli, sia superiore sotto molti aspetti

rispetto a quella antica, essa non può prescindere da quelle verità elementari che stanno alla base

della stessa. Se ci si interroga sulla natura delle operazioni elementari che più hanno contribuito

all’invenzione dei moderni formalismi e sulle principali motivazioni che le hanno promosse, è

difficile prescindere la matematica dagli dei.

Le prime costruzione geometriche ed i primi algoritmi numerici, che si trovano nelle diverse

tradizioni ( India, Grecia , Mesopotamia; Egitto), contengono infatti gli stessi ingredienti. Il primo

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Andrea De Vittori

metodo generale per risolvere un'equazione algebrica, elaborato nel 600', si fonda su alcuni

algoritmi ben più antichi.

Il carattere costruttivo della geometria antica, strutturata su due strumenti, riga e compasso e sulla

Con il termine gnomone,

figura dello gnomone, ha portato allo sviluppo della algebra geometrica..

oltre ad una valenza astronomica, si denotava ogni grandezza lineare o piana che potesse

aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche, mantenendone inalterata la forma

nell'antichità .

Esso si rivela uno strumento imprescindibile per lo sviluppo non solo della algebra geometrica, ma

anche dell' aritmetizzazione della matematica, riconducibile ad operazioni sui numeri interi.

L'esempio dello gnomone, insieme ad altri, ci fa intuire come la matematica antica si strutturi su

una immaginazione di tipo geometrico, legata a proprietà di semplici figure dello spazio euclideo.

La crescita e la diminuzione :

Fin dal pitagorismo si cercava di spiegare, con l’ausilio dell'aritmetica e della geometria, come si

potessero legare questi due aspetti: il mutare, l'accrescere ed il diminuire delle grandezze, con

l'esperienza dell'identico e dell'invariante. 1

Un celebre detto pitagorico afferma:” Tutte le cose si paragonano al numero” . Esso si fonda su

una comunicazione che si condensa tra le forme materiali e corruttibili e le forme intelligibili,

incorporee quali i numeri. Questa possibilità di raffronto viene chiamata dai pitagorici :”

2

imitazione”: Platone invece, per esprimere la stessa idea, preferiva :” partecipazione” .

Per gli stessi pitagorici il numero costituiva il principio, sia in quanto materia per le cose, sia

quanto costituente delle loro modificazioni e dei loro stati permanenti.

Anche per Platone esiste questa affinità tra i numeri e le forme, sostenendo che i primi fossero :”

3

principali casuali delle altre cose” . Se si dovessero riassumere gli elementi ultimi di tutto ciò che

esiste, ci si potrebbe basare sia sulle forme che sui numeri. Entrambi venivano ricondotti da questo

L’Uno di cui qui si parla,

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filosofo a due principi fondamentali: “il grande e piccolo” e” l’uno” .

non è, ovviamente, l’uno matematico ma l’Uno metafisico, Principio da cui deriva ogni forma di

unità, a tutti i livelli. Analogamente la Diade o Dualità indeterminate non è il numero due, ma è il

Principio e la radice della molteplicità degli esseri. Essa è concepita come Dualità di grande e

piccolo, in quanto è tendenza all’infinitamente grande ed all’infinitamente piccolo (per questo è

indefinita). Essa è come una materia intelligibile che, fungendo da sostrato all’azione dell’Uno,

produce la molteplicità in tutte le sue forme, sia in senso orizzontale, sia anche in senso gerarchico

verticale. La pluralità delle Idee e la loro gradazione gerarchica nascono dall’azione dell’Uno che

determina il principio opposto della Diade, che è molteplicità indeterminata. I numeri in sé sono

regolati da questi due principi, in quanto il loro sviluppo spaziale è regolato da incrementi o

contrazioni- (il grande e piccolo)- secondo una legge- (l’uno)- che ne mantiene inalterata la forma.

La correlazione tra le figure spaziali ed i numeri, l’equivalenza, l’invarianza o la permanenza dei

rapporti nelle operazioni, sono state usate per mettere in relazioni grandezze diverse. Dunque

l’invarianza e permanenza (l’uno), come superamento della dualità e della diversità (grande e

piccolo): a questo puntavano le costruzioni geometriche ed i loro corrispondenti processi numerici.

Il fulcro della dottrina pitagorica era infatti l’idea del mutamento, la natura come regno di forze

contrastanti tra di loro e di incessanti processi di trasformazione. L’anima che trasmigra da un corpo

1 Giambico, Vita pitagorica, 162.

2 Aristotele, Metafisica, 987 b 11-12 ed. W. Jager, Oxford, 1957

3 Metafisica, 987 b 24-25 e 987 b 18

4 Metafisica, 987 b 18-21 6

Andrea De Vittori

all’altro, l’uomo che muta nelle diverse fasi della vita, nulla permane .” Nulla perisce nel grande

universo e ogni cosa assume un nuovo aspetto” Il numero cresce, diminuisce senza interruzione,

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alludendo proprio alla vita dell’uomo .

I numeri pitagorici :

I numeri, come affermato nella introduzione, non si possono solo ridurre a materia. È importante

ricordare che l’aritmetica greca non concepisce lo 0 né tantomeno i numeri negativi. Questo

attribuisce all’1 uno statuto particolare:esso è un’entità indivisibile, sorgente di tutti i numeri a cui

nulla è antecedente. I numeri a loro volta si suddividono in due classi, pari e dispari, che i pitagorici

limite.

chiamano con l’illimitato ed il L’uno non lo si può qualificare né come numero pari né

parimpari:

come numero dispari, ma come infatti se si aggiunge 1 ad un numero pari, esso diverrà

dispari, viceversa se aggiungiamo ad un numero dispari 1, si otterrà un numero pari. Il dispari a sua

volta, se viene diviso in due , lascia sempre come resto un’unità che permane come limite, mentre

ciò non avviene nel caso del pari, che è identificato con l’illimitato. Ciascun numero è dotato di una

propria individualità, anche se non tutti i numeri si equivalgono per importanza. I numeri

costituiscono una gerarchia di valore ed alcuni di essi assurgono a simbolo di altre entità, fisiche o