Linguaggio della Matematica, tesina

Andrea De Vittori

Indice

Andrea De Vittori Indice

1. Introduzione Pag. 2

2. Definizione Pag. 3 di linguaggio matematico ed introduzione storica.

La crescita e la diminuzione.

3. Pag. 4 (filosofia)

I numeri pitagorici.

4. Pag. 5 (filosofia)

I problemi della matematica greca.

5. Pag. 7 (matematica)

La matematizzazione delle scienze. (fisica) 2

Andrea De Vittori

Definizione moderna rigorosa di numero. Pag. 15

7. (matematica)

I limiti del linguaggio matematico.

8. Pag. 18 (matematica)

9. Conclusioni Pag. 22

Bibliografia e sitografia

10. Pag. 23 3

Introduzione

Andrea De Vittori Introduzione:

Il mondo dei numeri è un mondo avventuroso, paradossale, pieno di sorprese; può capitare di perdersi in labirinti intricati poi individuare un filo, una traccia, un sentiero per uscire di nuovo alla luce.

Il lavoro che voglio presentare nasce dalla mia grande passione, la matematica, che in questi anni si è resa sempre più concreta. Ciò che mi ha sempre attratto di tale disciplina è la sua capacità di descrivere attraverso un linguaggio, una formulazione, il mondo che ci circonda nella sua fisicità.

Raggiunto ormai un grado di conoscenza che mi permette di comprendere come funzioni e come proceda il ragionamento matematico, ho voluto intraprendere un viaggio a ritroso verso l'origine e l'essenza di questa materia, alcune volte dato per scontato, indagando sul suo linguaggio.

Il mio percorso inizia con una introduzione storica in cui analizzo come sia stato concepito nell'antichità il numero e il suo stretto legame con la teologia e l'ambito religioso.

Come secondo punto ho analizzato sia la filosofia pitagorica con il concetto di numero da essa enunciata e come esso possa descrivere il variare della natura, rappresentarla spazialmente e perfino per certi aspetti esplicitare la vita dell'uomo.

Si osserva che la matematica greca si fonda sulla concezione di numero naturale e che i numeri siano finiti, ma tale convinzione decade con la scoperta della incommensurabilità.

Dato che la matematica è stata sempre considerata uno strumento d'indagine per la realtà, essa con la rivoluzione scientifica, attraverso le formulazioni di carattere matematico, riesce ad esprimere la realtà nella sua materialità.

Tra l'800' e il 900' risulta necessario rifondare i principi su cui si struttura la matematica, tra cui rientra la stessa definizione di numero. Grazie al brillante lavoro di un matematico di nome Kantor, si è potuto appunto definire cosa sia il numero razionale, ponendo finalmente anche una risoluzione al problema della incommensurabilità.

La matematica si dimostra sempre più nel 900' come una scienza non esatta: infatti matematici del calibro di Gödel dimostrano che molti principi su cui essa poggia non sono dimostrabili logicamente.

Essa risulta fondamentale per lo sviluppo di una nuova disciplina, la cibernetica, il cui scopo è quello di esprimere attraverso il linguaggio matematico, la mente umana e di ricostruirla artificialmente all'interno dei robot.

Dato che la matematica, come la storia ha dimostrato, è imperfetta, il tentativo formalizzare la nostra intelligenza e di rendere i robot “macchine pensanti”, coscienti di sé, fallisce, in quanto esse opereranno sempre secondo uno schema prefissato, a differenza dell'uomo il quale si realizza attraverso la creatività e l'ingegno. 4

Definizione di linguaggio matematico ed introduzione storica

Andrea De Vittori

Definizione di linguaggio matematico ed introduzione storica:

Quale è il significato e la funzione dei numeri?

Una risposta ovvia sarebbe che i numeri servono a contare innanzitutto degli oggetti. Questa formulazione tradirebbe in parte la vera essenza del numero che la storia ci ha tramandato. Numero come simbolo, come segno, come astrazione, come processo di calcolo, come informazione, come emblema: sono questi i connotati del numero, conosciuti in parte a partire fin dall'antichità.

Esiste una ragione specifica che ci permetta di comprendere il motivo per cui i numeri siano stati concepiti proprio in quel modo? A quali domande dovessero rispondere le formule aritmetiche, oltre al loro senso immediato ed alla loro coerenza di semplici formule?

Si osserva che i numeri non sono semplicemente delle entità individuali, ma si presentano come termini di sequenze, progressioni, preposti alla rappresentazione di fenomeni di diminuzione e accrescimento di grandezze. La più semplice progressione era quella dei numeri naturali: 1, 2, 3, 4... a partire questa semplice enunciazione si mettono in evidenza schemi di ragionamento che risultarono fondamentali per uno sviluppo successivo della matematica.

Dietro questa visione dei numeri, dietro i meccanismi e le immagini a loro associate, si intravvede una forte connessione con la concezione di cosmo e natura. Platone (427, 428 a.C.-348, 347 a.C.) percepisce all'interno delle progressioni numeriche, i caratteri stampati della natura e nelle loro proprietà di ripetizione ciclica, una espressione simbolica dei cicli che regolavano i movimenti delle costellazioni.

Un'idea è soprattutto l'idea che ricorre in questi primi algoritmi numerici, cioè il fatto che esista un qualcosa che, crescendo o diminuendo in grandezza, mantiene la propria forma. Più che dal modo ovvio e diretto di considerare la successione dei numeri naturali, questa idea nacque verosimilmente dall'elaborazione di immagini simboliche che provenivano dalla mediazione teologica e rituale. La speculazione del numero ebbe un impulso anche grazie ad una teologia ed ad un'esperienza rituale nelle quali era insistentemente presente l'idea che il carattere polimorfo e dinamico delle divinità e della natura dipendesse, in ultima analisi, da un unico medesimo atto, nel quale si riassumeva la potenza unificante di quello che in Grecia si chiamava logos. Come accade per il dio che, accrescendosi o rimpicciolendosi, rimaneva uguale a sé stesso, così accade per il numero, il quale finisce per riflettersi nell'immagine di una forma che varia in grandezza senza variare aspetto.

Fin dalle origini dunque è evidente una forte connessione tra la matematica e la teologia. Da antiche fonti risulta che divinità o eroi quali Hermes e Prometeo, Apollo e Palamede, Thoth e Osiride, Agni e Prajati, svolsero un ruolo fondamentale per la formulazione dei primi problemi matematici. Lo stesso Pitagora era considerato un semidio, un'incarnazione vivente di Apollo.

Seppur la matematica, sviluppatasi in occidente negli ultimi secoli, sia superiore sotto molti aspetti rispetto a quella antica, essa non può prescindere da quelle verità elementari che stanno alla base della stessa. Se ci si interroga sulla natura delle operazioni elementari che più hanno contribuito all'invenzione dei moderni formalismi e sulle principali motivazioni che le hanno promosse, è difficile prescindere la matematica dagli dei.

Le prime costruzioni geometriche ed i primi algoritmi numerici, che si trovano nelle diverse tradizioni (India, Grecia, Mesopotamia; Egitto), contengono infatti gli stessi ingredienti. Il primo metodo generale per risolvere un'equazione algebrica, elaborato nel 600', si fonda su alcuni algoritmi ben più antichi. 5

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Il carattere costruttivo della geometria antica, strutturata su due strumenti, riga e compasso e sulla figura dello gnomone, ha portato allo sviluppo della algebra geometrica.

Con il termine gnomone, oltre ad una valenza astronomica, si denotava ogni grandezza lineare o piana che potesse aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche, mantenendone inalterata la forma nell'antichità.

Esso si rivela uno strumento imprescindibile per lo sviluppo non solo della algebra geometrica, ma anche dell'aritmetizzazione della matematica, riconducibile ad operazioni sui numeri interi.

L'esempio dello gnomone, insieme ad altri, ci fa intuire come la matematica antica si strutturi su una immaginazione di tipo geometrico, legata a proprietà di semplici figure dello spazio euclideo.

La crescita e la diminuzione

Fin dal pitagorismo si cercava di spiegare, con l'ausilio dell'aritmetica e della geometria, come si potessero legare questi due aspetti: il mutare, l'accrescere ed il diminuire delle grandezze, con l'esperienza dell'identico e dell'invariante. 1

Un celebre detto pitagorico afferma: “Tutte le cose si paragonano al numero”. Esso si fonda su una comunicazione che si condensa tra le forme materiali e corruttibili e le forme intelligibili, incorporee quali i numeri. Questa possibilità di raffronto viene chiamata dai pitagorici: “imitazione”: Platone invece, per esprimere la stessa idea, preferiva: “partecipazione”. 2

Per gli stessi pitagorici il numero costituiva il principio, sia in quanto materia per le cose, sia quanto costituente delle loro modificazioni e dei loro stati permanenti.

Anche per Platone esiste questa affinità tra i numeri e le forme, sostenendo che i primi fossero: “principali casuali delle altre cose”. 3 Se si dovessero riassumere gli elementi ultimi di tutto ciò che esiste, ci si potrebbe basare sia sulle forme che sui numeri. Entrambi venivano ricondotti da questo filosofo a due principi fondamentali: “il grande e piccolo” e “l'uno”. 4

L'Uno di cui qui si parla, non è, ovviamente, l'uno matematico ma l'Uno metafisico, Principio da cui deriva ogni forma di unità, a tutti i livelli. Analogamente la Diade o Dualità indeterminate non è il numero due, ma è il Principio e la radice della molteplicità degli esseri. Essa è concepita come Dualità di grande e piccolo, in quanto è tendenza all'infinitamente grande ed all'infinitamente piccolo (per questo è indefinita). Essa è come una materia intelligibile che, fungendo da sostrato all'azione dell'Uno, produce la molteplicità in tutte le sue forme, sia in senso orizzontale, sia anche in senso gerarchico verticale. La pluralità delle Idee e la loro gradazione gerarchica nascono dall'azione dell'Uno che determina il principio opposto della Diade, che è molteplicità indeterminata. I numeri in sé sono regolati da questi due principi, in quanto il loro sviluppo spaziale è regolato da incrementi o contrazioni (il grande e piccolo) secondo una legge (l'uno) che ne mantiene inalterata la forma.

La correlazione tra le figure spaziali ed i numeri, l'equivalenza, l'invarianza o la permanenza dei rapporti nelle operazioni, sono state usate per mettere in relazioni grandezze diverse. Dunque l'invarianza e permanenza (l'uno), come superamento della dualità e della diversità (grande e piccolo): a questo puntavano le costruzioni geometriche ed i loro corrispondenti processi numerici.

Il fulcro della dottrina pitagorica era infatti l'idea del mutamento, la natura come regno di forze contrastanti tra di loro e di incessanti processi di trasformazione. L'anima che trasmigra da un corpo all'altro, l'uomo che muta nelle diverse fasi della vita, nulla permane. “Nulla perisce nel grande universo e ogni cosa assume un nuovo aspetto”. Il numero cresce, diminuisce senza interruzione, alludendo proprio alla vita dell'uomo. 5

1 Giambico, Vita pitagorica, 162.

2 Aristotele, Metafisica, 987 b 11-12 ed. W. Jager, Oxford, 1957

3 Metafisica, 987 b 24-25 e 987 b 18

4 Metafisica, 987 b 18-21 6

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I numeri pitagorici

I numeri, come affermato nella introduzione, non si possono solo ridurre a materia. È importante ricordare che l'aritmetica greca non concepisce lo 0 né tantomeno i numeri negativi. Questo attribuisce all'1 uno statuto particolare: esso è un'entità indivisibile, sorgente di tutti i numeri a cui nulla è antecedente.

I numeri a loro volta si suddividono in due classi, pari e dispari, che i pitagorici chiamano con l'illimitato ed il limite. L'uno non lo si può qualificare né come numero pari né come numero dispari, ma come parimpari: infatti se si aggiunge 1 ad un numero pari, esso diverrà dispari, viceversa se aggiungiamo ad un numero dispari 1, si otterrà un numero pari.

Il dispari a sua volta, se viene diviso in due, lascia sempre come resto un'unità che permane come limite, mentre ciò non avviene nel caso del pari, che è identificato con l'illimitato. Ciascun numero è dotato di una propria individualità, anche se non tutti i numeri si equivalgono per importanza.

I numeri costituiscono una gerarchia di valore ed alcuni di essi assurgono a simbolo di altre entità, fisiche o concettuali. Per esempio la giustizia con la quale si attribuisce uguale ad uguale, è rappresentabile con il numero 4 o 9, ovvero i quadrati del primo numero pari e del primo numero dispari. Così il 5, somma del primo numero pari e del primo numero dispari, raffigura il matrimonio. La conoscenza di questo universo di relazione tra numeri e cose costituisce il vertice dell'apprendimento.

Nella matematica pitagorica i numeri si disponevano secondo delle successioni serialmente, seguendo delle precise leggi. Si poteva denotare ciascun numero mediante un insieme di punti, una collezione di unità disposte nello spazio secondo un ordine prefissato. Lo spazio complessivo occupato dai punti era il numero, rappresentabile tramite una figura geometrica.

Per i pitagorici esistevano i cosiddetti numeri lineari, caratterizzati da una sequenza di punti. Generalmente erano rappresentati in tale modo i numeri primi, ovvero quei numeri non ottenibili dal prodotto di altri.

Per esempio il numero 5 era rappresentato dai punti

Figura 1 – Esempio di numero 5

Altri numeri si potevano ricavare tramite il prodotto di numeri più piccoli: essi potevano essere rappresentati da figure piane o solide e si chiamavano numeri piani e numeri solidi. Un esempio sono i numeri 6 e 9.

5 Ovidio, Metamorfosi, XV, vv. 24-25 7

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Figura 2 – Esempio di numeri piani

I numeri piani potevano risultare inoltre, oltre che dalla moltiplicazione, anche dalla somma di numeri più piccoli, in modo tale da essere rappresentati spazialmente come delle progressioni aritmetiche. Tali numeri venivano anche chiamati poligonali.

Per esempio i numeri triangolari si ottenevano sommando i numeri successivi naturali a partire da uno, in modo che l'n-esimo numero triangolare fosse la somma dei primi n numeri naturali (es. 6 come somma di 1+2+3). Questa serie è caratterizzata da ragione pari a 1.

Figura 3 - Esempio di numeri triangolari

Un'altra successione, quella dei numeri pentagonali, era ottenibile tramite un procedimento analogo. Tale progressione avveniva con una ragione di 3, costituita dai numeri: 1, 4, 7, 10. Questa sequenza presenta delle proprietà: è formata da tre triangoli con proprietà della specie prima considerata, c'è una costante ripetizione della forma triangolare.

Figura 4 - Esempio di numeri pentagonali

I numeri che si possono rappresentare spazialmente attraverso dei quadrati presentano una progressione aritmetica pari a due, in cui le somme parziali corrispondono ad una successione di quadrati ottenibili l'uno dall'altro con una cornice di punti a forma di squadra, che prende il nome di gnomone. Con il termine gnomone, oltre a una valenza astronomica, si denotava ogni grandezza lineare o piana che potesse aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche mantenendone inalterata la forma.

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I numeri quadrati essendo simili tra di loro, riportano all'identità e alla permanenza nel divenire, invece i numeri rettangolari avendo i rapporti tra lato minore e maggiore diversi simboleggiano la dualità indefinita.

Figura 5 - Esempio di numeri quadrati e di numeri rettangolari

Questa tecnica di accrescimento (o diminuzione) di forme spaziali come mezzo di generazione dei numeri finì per rappresentare la chiave stessa di concepire il numero e la misura in Occidente. Il numero, confrontato con la sensazione e con l'anima, è il punto d'incontro tra il conosciuto e conoscente ed è anche il mezzo per rendere conoscibili le cose ed avvicinarle l'uno all'altra, stabilendo tra di loro un rapporto di accordo reciproco.

Esso va pensato in conformità alla natura dello gnomone. La matematica dunque è quell'atto costruttivo che permette di comprendere il diverso e di armonizzarlo, stabilendo, come affermava Eraclito (535 a.C.-475 a.C.): “tra le cose estranee in cui siamo soliti imbatterci rapporti o relazioni di reciproca similarità”. 6 Solo se in una serie di cose riconosciamo un principio d'identità, l'anima può aderirvi, riconoscendo l'invarianza nell'altro.

Pensando alla natura dello gnomone essa è capace di connettere le cose l'una con l'altra e con l'anima, spiegando quei passaggi che permettevano possibili relazioni di equivalenza tra diverse grandezze. 7

Una frequente connotazione delle successioni numeriche era la circolarità.