La matematica e il linguaggio: il problema della c

Discorsi sull’infinito

La domanda fondamentale che a questo punto si pone è relativa alla “quantità” dei numeri razionali in relazione agli

altri. Una prima dimostrazione del genere la si può riscontrare in Duns Scoto, che aveva cercato di dimostrare come le

circonferenze non fossero costituite da punti perché altrimenti tutte ne avrebbero la stessa quantità. Infatti si può

realizzare una corrispondenza biunivoca tra i punti di una circonferenza e quelli di un’altra concentrica.

Un altro esempio è quello della dimostrazione, data da Galileo, che esistono tanti numeri

pari quanti dispari e quanti quadrati. Paradossalmente quindi viene a cessare uno degli

assiomi euclidei, l’ottavo, che afferma che “la parte è minore del tutto”. Il problema

eventualmente stava nella correttezza nell’applicare le stesse proprietà del finito all’infinito

(“illusione naturale della ragione” kantiana). Nel 1816 John Farey mostrò come i numeri

razionali potessero essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali

orinandoli nel modo seguente: 1/1 1/2, 2/1 1/3, 2/2, 3/1 1/4, 2/3, 3/2, 4/1 …

Un altro modo per ordinarli è quello di realizzare una tabella in cui i margini di riga e colonna siano numeri naturali e i

vari valori inseriti nella tabella siano ottenuti facendo il rapporto tra intestazione di riga e quella di colonna. I numeri

così ottenuti vengono ordinati tramite una linea diagonale serpeggiante, tenendo conto che devono essere eliminati i

numeri che vengono ripetuti. Il risultato evidente è che esistono tanti numeri interi quanti numeri razionali, quanti

numeri naturali. Diverso è il discorso per i numeri irrazionali, che sono caratterizzati da un infinito “più grande” di

quello dei numeri razionali. La dimostrazione che prova questa affermazione fu data da Cantor con il famoso

Si procede in questo modo: si scriva una lista di numeri a caso compresi tra 0 e 1;

argomento diagonale.

indipendentemente dalla lunghezza di questo elenco esiste sempre almeno un valore che non è stato considerato, e lo si

ottiene (considerando che i numeri tra 0 e 1 siano in ordine crescente) scrivendo un numero che ha la prima cifra

decimale diversa dalla prima cifra decimale del primo numero della serie, la seconda cifra decimale diversa dalla

seconda cifra decimale del secondo numero e così via. E’ un numero che non appartiene alla lista perché ha almeno una

cifra diversa da tutti quelli contenuti. Quindi ne deriva che i numeri reali non sono numerabili, non esiste una

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Tuttavia considerando i numeri irrazionali algebrici è possibile creare

una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, in quanto essi sono legati ad una terna di coefficienti, quelli

dell’equazione algebrica di cui sono soluzione. Quindi ne deriva che sono solo i numeri irrazionali trascendenti a non

א quella dei

essere numerabili. Nel tentativo di indicare la cardinalità dei diversi insiemi numerici, Cantor definì con 0

א א א , א ,

numeri naturali. è poi solo il primo della successione dei numeri transfiniti … che sono collegati alle

0 0 1 2

diverse versioni di infinito. A tal proposito Cantor formulò quella che poi fu definita secondo la

ipotesi del continuo,

א , il transfinito immediatamente successivo a quello che indica la cardinalità dei

quale la cardinalità dei numeri reali è 1

numeri naturali (che poi Paul Cohen, dimostrò essere indecidibile) (a tal proposito anche Giordano Bruno aveva

indicato l’esistenza di due diverse infinità, ne immaginando di allontanarsi dalla Terra e di

La cena delle ceneri

continuare a vederla, all’infinito la vedrebbe soltanto per metà, andando oltre l’infinito immagina invece di poterla

vedere tutta, coprendo anche l’altra metà nascosta). Le conseguenze di questa trattazione indicano che i punti su un

segmento sono innumerabili (come i numeri reali), e si ha sempre la stessa innumerabilità indipendentemente dalla

lunghezza del segmento considerato. Lo stesso numero di punti è anche contenuto in un quadrato di lato qualunque così

come in un cubo con spigolo qualunque, appunto perché è possibile creare una corrispondenza biunivoca tra i punti di

uno e i punti di un altro.

Il programma del logicismo

Dopo avere definito i diversi insiemi numerici e le loro cardinalità si tratta ora di considerare la definizione stessa di

numero, che sta alla base del ragionamento precedente. La base sicuramente è data dalla teoria degli insiemi di Cantor

che venne poi ripresa da Peano e Frege. Il primo cercò di assiomatizzare l’aritmetica con soli cinque enunciati:

Zero è un numero.

• Il successore di un numero è un numero.

• Zero non è il successore di alcun numero.

• Due numeri, i cui successori siano uguali, sono anch’essi uguali.

• Se un insieme N di numeri contiene zero e contiene anche il successore di ogni numero contenuto in N, allora ogni

• numero è contenuto in N.

L’ultimo asserto costituisce il principio di induzione matematica, applicato ad una particolare proprietà: “x appartiene a

N”. I limiti di questi assiomi sono legati al fatto che Peano si proponeva di caratterizzare univocamente i numeri

naturali, ma come Bertrand Russell notò è possibile ottenere una qualsiasi successioni di numeri dagli stessi assiomi

sostituendo per esempio allo zero un qualsiasi altro numero, così come a “a+1 successore di a”, “a+2 successore di a”.

Quindi se un problema sta nel non avere definito cosa si intenda per successore di un numero, un altro limite sta nel non

avere definito il numero stesso. Questi due problemi sarebbero poi stati risolti da Gottlob Frege sfruttando la teoria degli

insiemi di Cantor, poi raffinata da Zermelo e Fraenkel. Il cardine della sua trattazione è il concetto di estensione di una

proprietà, che è l’insieme di tutti gli oggetti che godono della stessa. Inoltre sono equipotenti gli insiemi che hanno la

stessa cardinalità. Così Frege puntava a definire i numeri naturali:

0 è la cardinalità dell’insieme vuoto, estensione della proprietà “x diverso da x”.

• 3 - 9

1 è la cardinalità dell’insieme costituito dall’insieme 0.

• 2 è la cardinalità dell’insieme costituito dagli insiemi 0 e 1.

•

In questo modo tutti i numeri naturali vengono definiti sulla base della teoria insiemistica. Un altro aspetto rilevante

emerge: l’insieme è definito come estensione di una proprietà, quindi è collegato alla logica. La convinzione di Frege a

questo punto era quella di ridurre l’aritmetica proprio alla logica, come emerge in (“Ideografia”), in cui si

Begriffschrift

proponeva una formalizzazione del linguaggio imitando quello aritmetico e rifacendosi alla characteristica universalis

di Leibniz. Frege quindi credeva di potere costruire la teoria degli insiemi sulla base della logica, a sua volta l’aritmetica

sulla teoria degli insiemi e la teoria dei numeri sull’aritmetica: quindi la matematica sulla logica. Tuttavia fu questo un

risultato tutt’altro che raggiunto. Frege si era infatti illuso di potere ricondurre la complessità dell’aritmetica ad una

logica più ampia di quella aristotelica, basata sull’utilizzo di soggetti multipli (un po’ come il superamento dell’ars

con l’ars La crisi del suo programma fu evidente poco prima della pubblicazione, nel 1902, del

iudicandi inveniendi).

secondo volume del ovvero “i principi dell’aritmetica”, in una lettera che Bertrand

Die Grundgesetze der Arithmetik,

Russell inviò proprio a Frege. Nella lettera Russell diede una delle tante formulazioni equivalenti del paradosso che

porta il suo nome; la sua forza fu tale da abbattere l’intero programma fregeano. Nella lettera Russell parla di:

Sia ω il predicato: essere un predicato che non può essere predicato di se stesso.

Può ω essere predicato di se stesso?

Paradosso che può essere anche spiegato in questo modo: si consideri un aggettivo, esso può essere autologico se si

applica a se stesso (es. “astratto” è astratto), eterologico se non si applica a se stesso. Allora che tipo si aggettivo è

“eterologico”? Non può essere autologico perché si applicherebbe a se stesso, ma non può neppure essere eterologico,

perché altrimenti si applicherebbe a se stesso. A livello insiemistico invece questo paradosso si esprime come: l’insieme

degli insiemi che non appartengono a se stessi, appartiene a se stesso? Anche in questo caso non è risolvibile, perché se

l’insieme appartiene a se stesso allora non dovrebbe appartenere a se stesso per definizione, se invece non appartenesse

a se stesso dovrebbe appartenere a se stesso sempre per la sua definizione. Questo paradosso ha anche le sue versioni

divertenti, come nel caso del paradosso del barbiere: una comunità ha un solo barbiere, che rade gli uomini che non

riescono a farsi la barba da soli, il problema si pone se ci chiediamo: chi fa la barba al barbiere? Lo sviluppo del

paradosso è esattamente identico alle altre versioni prima affrontate.

Al di là delle versioni divertenti di questo asserto, la sua forza è però tale da avere messo in crisi l’intero logicismo.

Infatti se partendo da assiomi prestabiliti, come quelli dell’insiemistica, si raggiungono contraddizioni, è un teorema

della logica che tutti gli enunciati del sistema sono teoremi. Infatti, si parte dal teorema:

( )

p p q

⊃ ⊃



p implica che non-p implica q

Infatti se dagli assiomi si deriva una contraddizione, nel caso specifico p e non-p, allora il teorema si riduce a q, dato

che p e non-p sono validi. Q è valido allora indipendentemente dal suo enunciato. Russell, nonostante le profonde

critiche portate alla teoria fregeana, non si allontanò per nulla dal programma logicista, tanto che i suoi testi redatti ad

inizio Novecento si collocano nel solco di quelli di Frege. L’unica differenza sta nel fatto che Russell puntava a

superare la sua stessa antinomia. La soluzione che credeva di avere trovato è nota come e venne formulata

teoria dei tipi

nei insieme a Whitehead. Questa teoria crea una gerarchia tra i diversi elementi logici, per cui

Principia Mathematica

un insieme può contenere soltanto elementi di ordine inferiore e si evita l’autoreferenzialità che è alla base del

paradosso russelliano. Più che risolvere problemi però questa teoria ne crea di nuovi. Anzitutto non era in grado di

affrontare altri paradossi come quello di Berry:

Si considerino tutte le frasi che definiscono numeri interi positivi e

sia K l’insieme costituito dalle frasi che con meno (per esempio) di 50 parole definiscono i numeri naturali.

Tale insieme è finito e possiamo individuare il più grande dei numeri interi in esso definito, che indichiamo con b.

Allora esiste l’enunciato:

b+1 è il successore del numero più grande definibile con una frase di 50 parole al massimo.

Questa è una frase di 17 parole e quindi anch’essa dovrebbe appartenere a K.

Russell dovette risolvere questo paradosso ricorrendo alla teoria ramificata dei tipi, che però aveva la caratteristica di

essere una ipotesi Le sue debolezze sono legate al fatto che non sia possibile dire che ogni numero naturale ha

ad hoc.

un successore, né che esiste una infinità di numeri naturali (in questo modo si ovviava al paradosso di Berry). Per

questo era necessario introdurre l’assioma (che afferma che l’infinito esiste), l’assioma per

dell’infinito di riducibilità

definire i numeri naturali. Forse il più complesso è però l’assioma che afferma che data una famiglia di

di scelta,

insiemi non vuoti e tra loro disgiunti è possibile creare un nuovo insieme prendendo un elemento da ciascuno degli

insiemi di partenza. La paradossale neutralità di questo assioma viene presto abbandonata quando si considerano le sue

conseguenze con gli insiemi infiniti. Infatti, considerando l’insieme degli infiniti numeri reali compresi tra 0 e 1, quello

dei numeri reali compresi tra 1 e 2, e così via, non è possibile scrivere alcun insieme in quanto i suoi elementi sono