La matematica e il linguaggio: il problema della c

La matematica e il linguaggio: il problema della completezza

Fabio Bergamelli, 5°E, Liceo scientifico “E. Amaldi”, Alzano Lombardo, a.s. 2007-2008.

Progetto interdisciplinare

Formulazione delle geometrie non euclidee.

L’evidenza non è più garanzia di

verità e di coerenza in una teoria.

L’aritmetica come possibile fondamento della matematica.

La base della certezza matematica. Intuizionismo:

Assiomatizzazione: Henri Poincaré

Giuseppe Peano Luitzen Egbertus Brouwer

La teoria degli insiemi:

Georg Cantor

Formalismo: Logicismo:

David Hilbert Gottlob Frege

Bertrand Russell

Teoremi di

incompletezza:

Kurt Gödel Ludwig Wittgenstein

Tractatus logico - Ricerche filosofiche

philosophicus

Introduzione e motivazioni

Studiare la storia della matematica sembra essere una disciplina completamente diversa dal sapere, quasi tecnico, per cui questa materia si caratterizza. La prima infatti si contraddistingue per studiare soprattutto i contesti culturali in cui si colloca l’evoluzione di questa disciplina, apparendo quindi anche opinabile. La seconda invece ha un taglio più specialistico e per questo appare meno fallibile, appunto più “matematica”. In realtà tra queste due materie si riscontra un particolare rapporto di forza, che porta a subordinare la seconda alla prima. Questo legame evidenzia la stretta vicinanza, e spesso anche compenetrazione, esistente tra la matematica e la filosofia. Come in questa mia breve trattazione cercherò di evidenziare, i problemi di una disciplina diventano anche i problemi dell’altra.

Dopo avere definito la struttura (o per meglio dire la sintassi) che caratterizza questo mio progetto si tratta ora di esporne il contenuto. Il periodo storico scelto è quello che va dalla fine dell’Ottocento agli anni ’30 del Novecento, un lasso di tempo in cui la matematica si è evoluta in modo consistente. Il problema centrale attorno a cui verte questo sviluppo è quello della certezza che dovrebbe caratterizzare la disciplina. Con la scoperta delle geometrie non euclidee infatti venne anche meno la validità del criterio di evidenza su cui potere fondare la verità e la coerenza della geometria, così come dell’aritmetica. Nei vari tentativi che si fecero per ovviare a questo problema tre furono le vie sperimentate, che corrispondono ad altrettante “scuole”: il logicismo, il formalismo e l’intuizionismo. Paradossalmente tutte e tre però fallirono.

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Il fine di questo progetto si lega proprio a questi risultati e al suo artefice, Kurt Gödel, grazie al quale la matematica, non potendo determinare dall’interno la propria coerenza, può affermare con certezza soltanto i propri limiti. Un risultato che si unisce anche all’opera di Ludwig Wittgenstein, di cui costituisce una profonda critica: il suo fine era quello di purificare il linguaggio eliminandone gli asserti contraddittori e insensati e dandogli una forte armatura logica. Il fallimento di questo progetto è forse uno dei risultati più fecondi della matematica del Novecento.

La crisi dell’intuizione

La scoperta delle geometrie non euclidee (Gauss, Lobačevskij e Bolyaj) aveva determinato una messa in discussione dell’intera matematica, che si fondava proprio sulla geometria. Come Kant stesso aveva scritto nella Critica della

la geometria euclidea era a priori alla pari dei numeri naturali, perché direttamente derivati dai concetti di

ragion pura

spazio e tempo, anch’essi posti a priori. In queste convinzioni si faceva derivare la verità, quindi anche la coerenza dell’intera disciplina, soltanto sull’evidenza degli assiomi. Con il venir meno di questo criterio, rimaneva però inalterato l’obiettivo di dare comunque alla matematica coerenza e l’unica disciplina che poteva prendere il posto della geometria era l’aritmetica. Chiaramente la struttura fondamentale della matematica sarebbe stata costituita da assiomi scelti in modo arbitrario, purché non contraddittorio. Ma il tentativo di assolvere a questo problema avrebbe rivelato molte difficoltà.

La base su cui si cerca di definire l’aritmetica è logica e si basa sulla teoria dei sistemi formali. Un sistema formale è costituito da un linguaggio L e da un universo di oggetti U. Il linguaggio specifica quelli che sono gli usi dei suoi oggetti, i criteri con cui si uniscono le proposizioni e i diversi simboli, gli assiomi scelti e le regole di inferenza. Tra tutti i sistemi formali, quelli che sono maggiormente da considerare sono le metateorie. Una metateoria è costituita da un suo linguaggio, detto metalinguaggio e da un linguaggio–oggetto, che costituisce il suo universo, l’oggetto a cui si riferisce. L’intera trattazione verterà appunto su questo genere di teorie, in cui cioè la matematica possa parlare di se stessa. Una metateoria di T (a sua volta teoria) può a questo punto concentrarsi: sulla sintassi di T, ovvero soltanto sul suo linguaggio che punta ad essere coerente, o sulla semantica di T, ovvero sul rapporto tra linguaggio ed universo di oggetti che punta invece alla verità, all’aderenza tra oggetti e linguaggio. Altra caratteristica di una teoria è il sapere sfruttare il minor numero di assiomi, e il ricercare:

• Coerenza; non deve essere possibile che un enunciato e la sua negazione siano teoremi.
• Completezza; deve essere capace, dato un enunciato, dimostrare quello o la sua negazione.
• Decidibilità; esiste un processo meccanico che dimostri se un qualunque enunciato è un teorema.

Sono questi i tre problemi che anche la matematica, dovendo ricostruire le proprie basi, si pone. Prima però occorre definire l’evoluzione della stessa aritmetica, della teoria dei numeri, che arriva fino alla fine dell’Ottocento.

Dai numeri naturali ai complessi

Kronecker sosteneva come “Dio ha dato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo”. Questa potente affermazione la si può giustificare considerando come, a partire dai numeri naturali, vengano poi definiti tutti gli altri.

Gli strumenti di cui ci si serve sono le operazioni tra i vari numeri, per esempio sfruttando la moltiplicazione si definiscono diverse proprietà dei numeri naturali, a partire dalla sottoclasse dei numeri primi, a proposito della quale occorre ricordare alcuni teoremi e congetture:

• Teorema fondamentale dell’aritmetica di Euclide: ogni numero naturale è scomponibile univocamente in un prodotto di numeri primi.
• Congettura dei numeri primi gemelli, per cui non solo i numeri primi sono infiniti, ma sono infinite anche le coppie di numeri primi che differiscono di due unità.
• Congettura di Goldbach, ogni numero pari è la somma di due numeri primi.
• Congettura di Goldbach, ogni numero dispari è la somma di tre numeri primi.

Sfruttando le operazioni tra numeri naturali si definiscono i numeri razionali, che si ottengono dalla divisione tra due numeri naturali. Mentre irrazionali sono quei numeri che non sono esprimibili sotto forma di frazione. È ancora più evidente come, partendo dai numeri naturali si definiscano tutti gli altri, se si considerano i numeri irrazionali algebrici, che sono le soluzioni di equazioni algebriche, ovvero equazioni definite da coefficienti interi. Il quadro dei numeri irrazionali è completato da quelli trascendenti. I numeri irrazionali vennero per la prima volta definiti da Richard Dedekind nel 1858. Egli notò che dei numeri irrazionali si utilizzano sempre le approssimazioni razionali, di conseguenza definì gli irrazionali come quei numeri che causano delle “sezioni” nella sequenza dei razionali. Un esempio può essere la radice quadrata di 2, essa separa i numeri che hanno quadrato maggiore e minore di 2.

Chiaramente questa è una operazione che confonde le cause con gli effetti, in quanto non afferma che la radice quadrata di 2, nel nostro esempio, causa una suddivisione nei numeri razionali, ma è la suddivisione suddetta. Georg Cantor propose poi un’alternativa a questa definizione, caratterizzando i numeri irrazionali come le successioni convergenti di due numeri razionali la cui distanza tenda a zero. Oltre i numeri reali si collocano i numeri immaginari, ovvero le soluzioni di equazioni che sarebbero impossibili se considerate nell’ambito dell’insieme R. Quindi: i = √(-1). Ne derivano i numeri complessi, che sono anch’essi soluzioni di equazioni algebriche, e sono composti da una parte reale e da una immaginaria. È importante per la successiva trattazione evidenziare come, se i numeri reali si ordinano su una retta, i numeri complessi si collocano sul piano (e le coordinate sono date dalla parte reale e da quella immaginaria rispettivamente).

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Discorsi sull’infinito

La domanda fondamentale che a questo punto si pone è relativa alla “quantità” dei numeri razionali in relazione agli altri. Una prima dimostrazione del genere la si può riscontrare in Duns Scoto, che aveva cercato di dimostrare come le circonferenze non fossero costituite da punti perché altrimenti tutte ne avrebbero la stessa quantità. Infatti si può realizzare una corrispondenza biunivoca tra i punti di una circonferenza e quelli di un’altra concentrica.

Un altro esempio è quello della dimostrazione, data da Galileo, che esistono tanti numeri pari quanti dispari e quanti quadrati. Paradossalmente quindi viene a cessare uno degli assiomi euclidei, l’ottavo, che afferma che “la parte è minore del tutto”. Il problema eventualmente stava nella correttezza nell’applicare le stesse proprietà del finito all’infinito (“illusione naturale della ragione” kantiana). Nel 1816 John Farey mostrò come i numeri razionali potessero essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali orinandoli nel modo seguente: 1/1 1/2, 2/1 1/3, 2/2, 3/1 1/4, 2/3, 3/2, 4/1 …

Un altro modo per ordinarli è quello di realizzare una tabella in cui i margini di riga e colonna siano numeri naturali e i vari valori inseriti nella tabella siano ottenuti facendo il rapporto tra intestazione di riga e quella di colonna. I numeri così ottenuti vengono ordinati tramite una linea diagonale serpeggiante, tenendo conto che devono essere eliminati i numeri che vengono ripetuti. Il risultato evidente è che esistono tanti numeri interi quanti numeri razionali, quanti numeri naturali. Diverso è il discorso per i numeri irrazionali, che sono caratterizzati da un infinito “più grande” di quello dei numeri razionali. La dimostrazione che prova questa affermazione fu data da Cantor con il famoso

Si procede in questo modo: si scriva una lista di numeri a caso compresi tra 0 e 1;

argomento diagonale.

Indipendentemente dalla lunghezza di questo elenco esiste sempre almeno un valore che non è stato considerato, e lo si ottiene (considerando che i numeri tra 0 e 1 siano in ordine crescente) scrivendo un numero che ha la prima cifra decimale diversa dalla prima cifra decimale del primo numero della serie, la seconda cifra decimale diversa dalla seconda cifra decimale del secondo numero e così via. È un numero che non appartiene alla lista perché ha almeno una cifra diversa da tutti quelli contenuti. Quindi ne deriva che i numeri reali non sono numerabili, non esiste una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Tuttavia considerando i numeri irrazionali algebrici è possibile creare una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, in quanto essi sono legati ad una terna di coefficienti, quelli dell’equazione algebrica di cui sono soluzione. Quindi ne deriva che sono solo i numeri irrazionali trascendenti a non essere numerabili.