il caos

Percorso

Astronomia

Il moto caotico dei pianeti intorno al Sole: dal determinismo alla nascita della scienza del caos.

Le leggi di Keplero, la legge di gravitazione universale, la cometa di Lexell.

Fisica

La scienza del caos, un crollo delle certezze. Spazio delle fasi, attrattori e Butterfly effect.

I frattali: caratteristiche principali, l’insieme di Cantor, il fiocco di neve di Von Koch.

Storia

I frattali e il disordine dei mercati.

Il Big Crash, conseguenze della crisi, primi rimedi, Roosevelt e il New Deal.

Italiano

Pirandello, figlio del caos.

L’imprevedibile e il paradossale, il crollo delle certezze e il relativismo, la scomposizione dell’io.

Mattia Pascal e la crisi del personaggio.

Filosofia

Nietzsche e il carattere caotico del mondo.

Caos e ordine, tentativi di dare un ordine al caos, il superuomo e l’accettazione del caos.

Latino

Il Satyricon di Petronio e la critica al caos della società. La cena di Trimalchione. 3

Il moto dei pianeti intorno al Sole

e la nascita della scienza del Caos

Determinismo Copernico,

Il primo a riconoscere chiaramente che i pianeti ruotano intorno al Sole fu che –con il suo

sistema eliocentrico- rivoluzionò la concezione di Tolomeo, che poneva la Terra al centro dell’Universo.

Secondo Copernico, però, i pianeti seguivano orbite circolari: fu Keplero a stabilire che i pianeti

percorrono orbite a forma di ellisse, di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Pertanto il movimento dei pianeti

tre leggi di Keplero:

attorno al Sole è regolato dalle

La prima legge afferma che: I pianeti descrivono orbite ellittiche, quasi complanari, aventi tutte un

• fuoco comune in cui si trova il Sole. Il senso della rivoluzione intorno al Sole è in genere antiorario

per un osservatore che si trovi al Polo nord celeste.

La seconda legge di Keplero afferma che: Il raggio che unisce il centro del Sole al centro di un

• pianeta descrive superfici con aree uguali in intervalli di tempo uguali. Da ciò deriva che un

pianeta si muove più velocemente quando è più vicino al Sole (al perielio) e più lentamente

quando è più lontano (all’afelio).

La terza legge afferma che: I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite

• sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal Sole. Vale a dire che la velocità media di

un pianeta è tanto minore quanto più esso è lontano dal Sole.

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò uno scritto monumentale, i Philosophiae naturalis principia matematica,

nel quale veniva elaborato il modello matematico e il concetto fisico che determinava il moto dei pianeti

intorno al Sole. Già Keplero, rilevando l’orbita ellittica dei pianeti, aveva sollevato il problema di una

misteriosa forza proveniente dal Sole, che diminuisce con la distanza e obbliga tali corpi celesti ad

Newton

abbandonare il loro moto rettilineo. avanzò l’ipotesi che tale forza potesse essere la stessa che

legge della gravitazione

provoca sulla terra la caduta dei corpi e ne descrisse gli effetti attraverso la

universale, in base alla quale due corpi si attirano in modo direttamente proporzionale alla loro massa e

in ragione inversa al quadrato della loro distanza. La forza d’attrazione gravitazionale può essere espressa

con la seguente formula:

dove G è la costante di gravitazione universale (pari a 6,67 10 N m kg ), M ed m sono le masse dei

-7 2 -2

0

corpi e d è la distanza fra i loro centri. A causa della forza di gravità, quindi, ogni corpo celeste viene

attratto dalle masse circostanti e a sua volta le attrae. Un pianeta subisce perciò una forte attrazione da

parte del Sole, mentre è debolmente attratto dagli altri pianeti e dalle stelle circostanti. Tali azioni

impediscono al pianeta di muoversi con velocità costante e in linea retta, costringendolo a una continua

caduta verso il sole, in un gioco di equilibrio il cui risultato è l’orbita ellittica. Venivano così spiegate le

leggi di Keplero, il moto dei pianeti, la precessione degli equinozi, le irregolarità del moto lunare, le maree

ecc. Tuttavia la legge di gravitazione universale di Newton era in grado di descrivere l’orbita di un pianeta

intorno al Sole, ma non di giustificare la stabilità dinamica complessiva di tutto il sistema solare. Nei

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Principia Newton affrontava, infatti, il problema dell’applicazione della legge di gravitazione universale a

più di due corpi: solo pensando a un universo costituito esclusivamente dal Sole e dal nostro pianeta

avremo delle orbite ellittiche come Keplero aveva proposto. In un sistema solare reale le orbite non si

chiudevano, rimanevano aperte, discostandosi dalle leggi di Keplero. Come spiegare dunque la stabilità

del sistema solare? Laplace,

Un secolo dopo, con l’opera di Pierre-Simon de Recherches sur le principe de la gravitation

universelle, sembrò che la scienza avesse raggiunto la capacità di giustificare con la matematica le

posizioni dei pianeti. L’opera, pubblicata nel 1773, lasciò un’enorme impronta nel pensiero occidentale, in

quanto introduceva il calcolo delle perturbazioni: un metodo matematico che permetteva di prevedere

con grande precisione le orbite planetarie perturbate dalle reciproche interazioni gravitazionali. Il

problema appariva essere solo di complessità di calcolo. Con una sola legge, quella di gravitazione, si

potevano dunque prevedere, almeno in linea teorica, gli eventi dell’universo con una precisione illimitata.

Laplace scrive: “Un’intelligenza che, per un istante dato, potesse conoscere tutte le forze da cui la natura è

animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono e che inoltre fosse abbastanza grande

da sottomettere questi dati all’analisi… nulla le risulterebbe incerto, l’avvenire come il passato sarebbe

determinismo

presente ai suoi occhi”. Con questa frase si è inteso far nascere l’emblema del nel pensiero

scientifico moderno. Anche se Laplace specificò che quell’intelligenza doveva ritenersi al di là della

portata umana, a partire dalla fine del XVIII secolo nella cultura occidentale si affermò sempre più l’idea

che tutto l’universo potesse essere descritto come un’immensa macchina.

I grandi successi dell’astronomia, dalle previsioni del ritorno della cometa di Halley, alla scoperta del

pianeta Nettuno sembravano dunque confermare la veridicità di questo assunto. Persino nei giorni nostri

appare sinonimo di scienza la capacità di prevedere i processi della natura. In realtà da un paio di decenni

è iniziata una rivoluzione del pensiero scientifico, era il 1978 quando fu creato un nuovo termine nella

fisica moderna: caos.

La cometa di Lexell

Se il mondo occidentale ha ricevuto quel testo che per primo fornì il nuovo sistema del mondo costruito

con tutta la forza e la completezza della dimostrazione matematica, ovvero i Principia, lo si deve

presumibilmente all’astronomo inglese Edmond Halley. Fu lo scopritore dell’omonima cometa a recarsi a

Cambridge per domandare a Newton se fosse possibile spiegare le tre leggi Keplero con una forza diretta

verso il Sole, inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La risposta di Newton fu immediata:

certo le cose stavano così, lo aveva in effetti

dimostrato già da qualche tempo. Qualche mese

dopo la dimostrazione arrivò a Halley, il quale poi

spronò Newton a sviluppare maggiormente la

questione, tanto da finanziare i Principia. Fu proprio

cometa di Halley,

con il ritorno della dopo un

cammino di più di settanta anni, così come nelle

previsioni dell’astronomo amico di Newton, che fu

dimostrata la grande efficacia della nuova legge che

regolava i cieli.

Ma fu proprio una cometa, apparsa pochi anni dopo il ritorno di quella di Halley, a suggerire che le cose

forse non erano proprio così semplici. Il 4 giugno 1770 fu scoperta una cometa all’Osservatorio di Cluny.

Dopo averne calcolata l’orbita, la meccanica newtoniana e le orbite di Keplero dimostrarono che l’astro

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chiomato sarebbe ritornato dopo cinque anni, ma così non avvenne: la cometa, infatti, non fu vista mai

più. Fu l’astronomo francese Lexell a riuscire a svelare negli anni successivi che cosa fosse successo. Ne

cometa, di Lexell,

aveva studiato accuratamente il moto dimostrando che la detta poi prima del 1767

seguiva una lunga orbita al di là di quella di Marte, invisibile persino con i più potenti telescopi. In

quell’anno un passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato la sua orbita spostandola verso il Sole. Si

era così originata una nuova orbita ellittica, con periodo di cinque anni e mezzo, capace di portare la

cometa vicino al nostro pianeta e permettendone così la scoperta tre anni dopo. Ancora pochi anni però e

un ulteriore passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato ulteriormente l’orbita dell’astro, sbalzandolo

al di là di Plutone. Lexell aveva scoperto un tipico esempio di dinamica caotica, ovvero di grande

sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali. Tuttavia tutto fu dimenticato, poiché nessuno

avrebbe voluto fare a meno della potenza predittiva della meccanica newtoniana, che aveva trovato

numerose conferme.

Non bastò dunque l’evidenza osservativa e, cento anni ancora dopo, nemmeno la mente di uno dei più

grandi matematici mai esistiti sembrò riuscire a scalfire l’idea della scienza verso un mondo semplice e

prevedibile. La storia racconta che il re di Svezia Oscar II indisse verso la fine dell’Ottocento un premio per

chi avesse trovato la soluzione del problema dei tre corpi. Il matematico italiano Giuseppe Luigi Lagrange

aveva già dimostrato nel 1772 che tre corpi di massa arbitraria, liberamente orbitanti tra loro, si possono

muovere mantenendo inalterata la loro posizione, se sono posti ai vertici di un triangolo equilatero. Il

Henri Poincaré,

premio fu aggiudicato a la cui soluzione consisteva nel dimostrare che la soluzione

generale non esisteva. Fino allora, nell’impossibilità di avere a disposizione la soluzione esatta delle

equazioni descriventi il moto dei pianeti, in accordo con la legge di Newton, il problema era stato risolto

ricorrendo a metodi approssimati di calcolo, del tutto sufficienti per le previsioni astronomiche a distanza

di decenni o secoli, come Laplace aveva insegnato. Negli anni successivi Poincaré andò ancora oltre nei

suoi studi, fino a giungere all’affermazione che i modelli dinamici sono molto meno prevedibili nel loro

moto di quanto si fosse pensato fino allora. Essi risentono, infatti, di un’estrema sensibilità alle condizioni

iniziali. Cambiamo di pochissimo le posizioni dei corpi tra loro orbitanti ed ecco che con il passare del

tempo le posizioni risultanti saranno molto diverse. Un minimo errore di misurazione delle posizioni

iniziali, quasi inevitabile, e il sistema si troverà in condizioni finali molto diverse da quello che avevamo

dedotto con i nostri calcoli. Nel 1912 Poincaré moriva lasciando alle stampe la sua ultima memoria sul

problema dei tre corpi: la complessità del problema rimaneva con le sue difficoltà insormontabili.

Nonostante Lexell e nonostante Poincaré, la visione di un semplice e prevedibile mondo deterministico

rimaneva incontrastata nel pensiero scientifico.

Nasce la scienza del caos

Negli ultimi decenni, però, la visione del mondo sta totalmente cambiando. Quel mondo deterministico,

dove il principio lineare che lega causa ed effetto ci permetteva di determinare con illimitata precisione il

futuro o il passato di un fenomeno fisico, risulta oggi per molti solamente “il risultato di una fisica

idealizzata che si poggiava su una matematica idealizzata” e che ha “sapientemente occultato le mille

irregolarità e imprevedibilità dei sistemi reali” (G. Zanarini “Finestre sulla complessità”, Ed. Scienza,

laboratorio dell’immaginario scientifico, 1994). È sempre forzato voler trovare un momento preciso in cui

una rivoluzione scientifica avviene. Porremo comunque come inizio della rivoluzione per la nuova fisica

Edward Lorenz,

del caos, un giorno di dicembre dell’anno 1961 e come luogo, i laboratori ove operava