il caos

“È possibile che il battito d’ali di una farfalla in Brasile sia in grado di provocare un uragano in Texas?”

[Edward Lorenz]

Il caos

Giulia Degli Angeli VEb

Liceo Scientifico “A. Righi”

Anno Scolastico 2008/2009 0

Introduzione

Questo lavoro nasce dal desiderio di approfondire il tema del caos, sotto il profilo delle diverse discipline.

La scienza del caos, nata negli anni Sessanta del Novecento, ha segnato una svolta nel pensiero occidentale che fino a quel momento considerava il sapere scientifico come fonte di certezze universalmente valide. Si credeva che la scienza fosse in grado di sondare ogni mistero più recondito della natura e di prevedere con estrema precisione cosa ci avrebbe riservato il futuro. Questa concezione deterministica ha però dovuto lasciare il posto ad una visione del mondo meno semplicistica. Oggi, ad esempio, sappiamo che il moto dei pianeti intorno al Sole è di tipo caotico. Tuttavia la Terra negli ultimi quattro miliardi di anni non può essersi mai allontanata o avvicinata troppo dal Sole, altrimenti la vita sul nostro pianeta sarebbe scomparsa. Evidentemente essa orbita in una regione di caos confinato, cosicché le probabilità di allontanarsi molto da una posizione media intorno al Sole risulti tendente a zero. Tuttavia non siamo ancora in grado di descrivere il moto del nostro pianeta intorno al Sole, possiamo solo dire che per tempi brevi esso descrive un’approssimata orbita kepleriana.

A partire dalla scoperta del caos la scienza non offre più verità assolute e inattaccabili, ma si riduce ad essere solo uno dei possibili discorsi sul mondo. La scienza contemporanea scopre così il carattere imprevedibile di alcuni fenomeni. È in questo contesto che si parla di Butterfly effect (“è possibile che il battito d’ali di una farfalla in Brasile sia in grado di provocare un uragano in Texas?”) che mette in evidenza come qualcosa di insignificante posto all’inizio di un processo possa influenzarlo fino a cambiare esponenzialmente le sue conseguenze nel corso del tempo. Le leggi fisiche diventano dunque soltanto la descrizione di una possibilità che le cose accadano.

Si apre così davanti a noi un mondo imprevedibile, il cui carattere fondamentale è il caos. In un mondo così configurato qualsiasi avvenimento, persino il più impensabile, potrebbe accadere, come la storia ci ha più volte insegnato. Basti pensare al crollo della borsa del 1929, verificatosi nel bel mezzo di un’euforia che sembrava inarrestabile, eppure il crollo era imminente.

Il crollo delle certezze che caratterizza la scienza del Novecento investe tutti gli ambiti di pensiero e viene espresso dai maggiori pensatori. Come scrive Pirandello nella premessa filosofica al Fu Mattia Pascal, Copernico, con la sua teoria eliocentrica, ha negato alla Terra il ruolo centrale che per secoli essa aveva occupato, riducendola a “un’invisibile trottolina [...] un granellino di sabbia impazzito”. L’uomo dunque non si trova più al centro dell’Universo, non è altro che un puntino insignificante nell’immensità sterminata di ciò che lo circonda, un “vermuccio” per usare le parole dell’autore. Le condizioni dell’esistere sono mutate così radicalmente che le forme tradizionali di letteratura non hanno più senso, rese anacronistiche dal loro stesso impianto composto e armonico, che si scontra con la caoticità del reale. Non è più possibile l’esistenza di un eroe risoluto, sostituito ora da un antieroe, un inetto.

Inoltre Nietzsche riflette forse più di ogni altro il crollo delle certezze che invade ogni ambito culturale. Di fronte ad un universo che danza sui piedi del caso, ad una realtà contraddittoria e disarmonica, gli uomini per poter sopravvivere hanno dovuto convincere se stessi che il mondo segua una logica ben precisa. Tramite la filosofia essi hanno dunque cercato di impartire un senso stabile alle cose e di trovare una spiegazione ad eventi altrimenti incomprensibili. Da ciò il proliferare delle metafisiche e delle religioni, che vengono considerate da Nietzsche solo decorazioni della realtà e bugie di sopravvivenza. La realtà è caos e contraddizione, e in ciò è talmente complessa che ogni tentativo di imporle un ordine fallisce, diventa una menzogna consolatoria. Ecco allora che tutta la filosofia occidentale, ogni menzogna religiosa e filosofica, ogni sistema morale e metafisico, non è altro che un rimedio il cui scopo è rendere la vita più sopportabile, non rispecchiando però la complessità della realtà.

Il carattere caotico del mondo è da sempre stato ravvisato dagli intellettuali. Già nel mondo latino Petronio criticava il caos della società in cui viveva. Una società dominata dalla corruzione e da personaggi squallidi e opportunisti, che traggono soddisfazione solo dai piaceri esistenziali. I personaggi petroniani sono tutti succubi dei loro desideri sessuali, in una società dove la ricchezza si erge come unico parametro di valutazione dell’uomo. Petronio descrive inoltre l’ascesa sociale dei liberti e la sostituzione del denaro alla virtù senza espliciti moralismi, ma semplicemente delineando il quadro di una società degenerata e avvolta nel caos più totale.

Questo mondo caotico ci priva di ogni certezza e ci lascia nella più completa oscurità. Tuttavia come dice Albert Einstein “la più bella sensazione è il lato misterioso della vita”. Non possiamo più affidarci a previsioni certe e rassicuranti, ma possiamo vivere nella consapevolezza che tutto può accadere quando meno ce l’aspettiamo. 2

Percorso

Astronomia

• Il moto caotico dei pianeti intorno al Sole: dal determinismo alla nascita della scienza del caos.
• Le leggi di Keplero, la legge di gravitazione universale, la cometa di Lexell.

Fisica

• La scienza del caos, un crollo delle certezze. Spazio delle fasi, attrattori e Butterfly effect.
• I frattali: caratteristiche principali, l’insieme di Cantor, il fiocco di neve di Von Koch.

Storia

• I frattali e il disordine dei mercati.
• Il Big Crash, conseguenze della crisi, primi rimedi, Roosevelt e il New Deal.

Italiano

• Pirandello, figlio del caos.
• L’imprevedibile e il paradossale, il crollo delle certezze e il relativismo, la scomposizione dell’io.
• Mattia Pascal e la crisi del personaggio.

Filosofia

• Nietzsche e il carattere caotico del mondo.
• Caos e ordine, tentativi di dare un ordine al caos, il superuomo e l’accettazione del caos.

Latino

• Il Satyricon di Petronio e la critica al caos della società. La cena di Trimalchione. 3

Il moto dei pianeti intorno al Sole e la nascita della scienza del caos

Determinismo

Copernico, il primo a riconoscere chiaramente che i pianeti ruotano intorno al Sole, fu che, con il suo sistema eliocentrico, rivoluzionò la concezione di Tolomeo, che poneva la Terra al centro dell’Universo.

Secondo Copernico, però, i pianeti seguivano orbite circolari: fu Keplero a stabilire che i pianeti percorrono orbite a forma di ellisse, di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Pertanto il movimento dei pianeti attorno al Sole è regolato dalle tre leggi di Keplero:

• La prima legge afferma che: I pianeti descrivono orbite ellittiche, quasi complanari, aventi tutte un fuoco comune in cui si trova il Sole. Il senso della rivoluzione intorno al Sole è in genere antiorario per un osservatore che si trovi al Polo nord celeste.
• La seconda legge di Keplero afferma che: Il raggio che unisce il centro del Sole al centro di un pianeta descrive superfici con aree uguali in intervalli di tempo uguali. Da ciò deriva che un pianeta si muove più velocemente quando è più vicino al Sole, al perielio, e più lentamente quando è più lontano, all’afelio.
• La terza legge afferma che: I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal Sole. Vale a dire che la velocità media di un pianeta è tanto minore quanto più esso è lontano dal Sole.

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò uno scritto monumentale, i Philosophiae naturalis principia mathematica, nel quale veniva elaborato il modello matematico e il concetto fisico che determinava il moto dei pianeti intorno al Sole. Già Keplero, rilevando l’orbita ellittica dei pianeti, aveva sollevato il problema di una misteriosa forza proveniente dal Sole, che diminuisce con la distanza e obbliga tali corpi celesti ad abbandonare il loro moto rettilineo. Newton avanzò l’ipotesi che tale forza potesse essere la stessa che provoca sulla Terra la caduta dei corpi e ne descrisse gli effetti attraverso la legge della gravitazione universale, in base alla quale due corpi si attirano in modo direttamente proporzionale alla loro massa e in ragione inversa al quadrato della loro distanza. La forza d’attrazione gravitazionale può essere espressa con la seguente formula:

dove G è la costante di gravitazione universale, pari a 6,67 10 N m kg, M ed m sono le masse dei corpi e d è la distanza fra i loro centri. A causa della forza di gravità, quindi, ogni corpo celeste viene attratto dalle masse circostanti e a sua volta le attrae. Un pianeta subisce perciò una forte attrazione da parte del Sole, mentre è debolmente attratto dagli altri pianeti e dalle stelle circostanti. Tali azioni impediscono al pianeta di muoversi con velocità costante e in linea retta, costringendolo a una continua caduta verso il Sole, in un gioco di equilibrio il cui risultato è l’orbita ellittica. Venivano così spiegate le leggi di Keplero, il moto dei pianeti, la precessione degli equinozi, le irregolarità del moto lunare, le maree ecc. Tuttavia la legge di gravitazione universale di Newton era in grado di descrivere l’orbita di un pianeta intorno al Sole, ma non di giustificare la stabilità dinamica complessiva di tutto il sistema solare.

Nei Principia Newton affrontava, infatti, il problema dell’applicazione della legge di gravitazione universale a più di due corpi: solo pensando a un universo costituito esclusivamente dal Sole e dal nostro pianeta avremo delle orbite ellittiche come Keplero aveva proposto. In un sistema solare reale le orbite non si chiudevano, rimanevano aperte, discostandosi dalle leggi di Keplero. Come spiegare dunque la stabilità del sistema solare?

Un secolo dopo, con l’opera di Pierre-Simon de Laplace, Recherches sur le principe de la gravitation universelle, sembrò che la scienza avesse raggiunto la capacità di giustificare con la matematica le posizioni dei pianeti. L’opera, pubblicata nel 1773, lasciò un’enorme impronta nel pensiero occidentale, in quanto introduceva il calcolo delle perturbazioni: un metodo matematico che permetteva di prevedere con grande precisione le orbite planetarie perturbate dalle reciproche interazioni gravitazionali. Il problema appariva essere solo di complessità di calcolo. Con una sola legge, quella di gravitazione, si potevano dunque prevedere, almeno in linea teorica, gli eventi dell’universo con una precisione illimitata.

Laplace scrive: “Un’intelligenza che, per un istante dato, potesse conoscere tutte le forze da cui la natura è animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono e che inoltre fosse abbastanza grande da sottomettere questi dati all’analisi… nulla le risulterebbe incerto, l’avvenire come il passato sarebbe presente ai suoi occhi”. Con questa frase si è inteso far nascere l’emblema del determinismo nel pensiero scientifico moderno. Anche se Laplace specificò che quell’intelligenza doveva ritenersi al di là della portata umana, a partire dalla fine del XVIII secolo nella cultura occidentale si affermò sempre più l’idea che tutto l’universo potesse essere descritto come un’immensa macchina.

I grandi successi dell’astronomia, dalle previsioni del ritorno della cometa di Halley, alla scoperta del pianeta Nettuno sembravano dunque confermare la veridicità di questo assunto. Persino nei giorni nostri appare sinonimo di scienza la capacità di prevedere i processi della natura. In realtà da un paio di decenni è iniziata una rivoluzione del pensiero scientifico, era il 1978 quando fu creato un nuovo termine nella fisica moderna: caos.

La cometa di Lexell

Se il mondo occidentale ha ricevuto quel testo che per primo fornì il nuovo sistema del mondo costruito con tutta la forza e la completezza della dimostrazione matematica, ovvero i Principia, lo si deve presumibilmente all’astronomo inglese Edmond Halley. Fu lo scopritore dell’omonima cometa a recarsi a Cambridge per domandare a Newton se fosse possibile spiegare le tre leggi di Keplero con una forza diretta verso il Sole, inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La risposta di Newton fu immediata: certo le cose stavano così, lo aveva in effetti dimostrato già da qualche tempo. Qualche mese dopo la dimostrazione arrivò a Halley, il quale poi spronò Newton a sviluppare maggiormente la questione, tanto da finanziare i Principia.

Fu proprio con il ritorno della cometa di Halley, dopo un cammino di più di settanta anni, così come nelle previsioni dell’astronomo amico di Newton, che fu dimostrata la grande efficacia della nuova legge che regolava i cieli.

Ma fu proprio una cometa, apparsa pochi anni dopo il ritorno di quella di Halley, a suggerire che le cose forse non erano proprio così semplici. Il 4 giugno 1770 fu scoperta una cometa all’Osservatorio di Cluny. Dopo averne calcolata l’orbita, la meccanica newtoniana e le orbite di Keplero dimostrarono che l’astro chiomato sarebbe ritornato dopo cinque anni, ma così non avvenne: la cometa, infatti, non fu vista mai più.

Fu l’astronomo francese Lexell a riuscire a svelare negli anni successivi che cosa fosse successo. Ne aveva studiato accuratamente il moto, dimostrando che la detta cometa, poi chiamata di Lexell, prima del 1767 seguiva una lunga orbita al di là di quella di Marte, invisibile persino con i più potenti telescopi. In quell’anno un passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato la sua orbita spostandola verso il Sole. Si era così originata una nuova orbita ellittica, con periodo di cinque anni e mezzo, capace di portare la cometa vicino al nostro pianeta e permettendone così la scoperta tre anni dopo.

Ancora pochi anni però e un ulteriore passaggio ravvicinato a Giove aveva modificato ulteriormente l’orbita dell’astro, sbalzandolo al di là di Plutone. Lexell aveva scoperto un tipico esempio di dinamica caotica, ovvero di grande sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali. Tuttavia tutto fu dimenticato, poiché nessuno avrebbe voluto fare a meno della potenza predittiva della meccanica newtoniana, che aveva trovato numerose conferme.

Non bastò dunque l’evidenza osservativa e, cento anni ancora dopo, nemmeno la mente di uno dei più grandi matematici mai esistiti sembrò riuscire a scalfire l’idea della scienza verso un mondo semplice e prevedibile. La storia racconta che il re di Svezia Oscar II indisse verso la fine dell’Ottocento un premio per chi avesse trovato la soluzione del problema dei tre corpi. Il matematico italiano Giuseppe Luigi Lagrange aveva già dimostrato nel 1772 che tre corpi di massa arbitraria, liberamente orbitanti tra loro, si possono muovere mantenendo inalterata la loro posizione, se sono posti ai vertici di un triangolo equilatero.

Il premio fu aggiudicato a Henri Poincaré, la cui soluzione consisteva nel dimostrare che la soluzione generale non esisteva. Fino allora, nell’impossibilità di avere a disposizione la soluzione esatta delle equazioni descriventi il moto dei pianeti, in accordo con la legge di Newton, il problema era stato risolto ricorrendo a metodi approssimati di calcolo, del tutto sufficienti per le previsioni astronomiche a distanza di decenni o secoli, come Laplace aveva insegnato.

Negli anni successivi Poincaré andò ancora oltre nei suoi studi, fino a giungere all’affermazione che i modelli dinamici sono molto meno prevedibili nel loro moto di quanto si fosse pensato fino allora. Essi risentono, infatti, di un’estrema sensibilità alle condizioni iniziali. Cambiamo di pochissimo le posizioni dei corpi tra loro orbitanti ed ecco che con il passare del tempo le posizioni risultanti saranno molto diverse. Un minimo errore di misurazione delle posizioni iniziali, quasi inevitabile, e il sistema si troverà in condizioni finali molto diverse da quello che avevamo dedotto con i nostri calcoli. Nel 1912 Poincaré moriva lasciando alle stampe la sua ultima memoria sul problema dei tre corpi: la complessità del problema rimaneva con le sue difficoltà insormontabili.

Nonostante Lexell e nonostante Poincaré, la visione di un semplice e prevedibile mondo deterministico rimaneva incontrastata nel pensiero scientifico.

Nasce la scienza del caos

Negli ultimi decenni, però, la visione del mondo sta totalmente cambiando. Quel mondo deterministico, dove il principio lineare che lega causa ed effetto ci permetteva di determinare con illimitata precisione il futuro o il passato di un fenomeno fisico, risulta oggi per molti solamente “il risultato di una fisica idealizzata che si poggiava su una matematica idealizzata” e che ha “sapientemente occultato le mille irregolarità e imprevedibilità dei sistemi reali” (G. Zanarini, “Finestre sulla complessità”, Ed. Scienza, laboratorio dell’immaginario scientifico, 1994).